2019학년도 상산고 1학기 중간고사 및 풀이

 

 

 

 

1. $\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} +xy \left ( x+y \right ) +yz \left ( y+z \right ) +zx \left ( z+x \right )$을 두 다항식의 곱으로 인수분해하시오. [3.2점]

 

 

 

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$\displaystyle \left ( x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} \right ) \left ( x+y+z \right )$

https://youtu.be/pbDXIQFyqgQ

 

 

2. 네 다항식 $\displaystyle A=x ^ {2} -2xy+3y ^ {2} ,B=y ^ {2} +3xy-2x ^ {2}$, $\displaystyle C=xy-4y ^ {2} +3x ^ {2} ,~D=5x ^ {2} -2y ^ {2}$에 대하여$\displaystyle A+B-C-D$를 간단히 하시오. [3.1점]

 

 

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$\displaystyle -9x ^ {2} +10y ^ {2}$

https://youtu.be/PoiJtYAjeeM

 

 

 

3. $\displaystyle a+b=1,~a ^ {2} +b ^ {2} =2$일 때, $\displaystyle a ^ {5} +b ^ {5}$의 값을 구하시오. [3.1점]

 

 

 

 

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$\displaystyle \frac {19} {4}$

https://youtu.be/4qeYew76yR8

 

 

 

4. 이차방정식 $\displaystyle x ^ {2} +2x+3-a=0$이 실근을 갖도록 실수 $\displaystyle a$의 값 또는 범위를 정하시오. [3.1점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 2\leq a$

https://youtu.be/WHiemXWKATw

 

 

 

5. 연립방정식 $\displaystyle \begin {cases} 2x ^ {2} -3xy-2y ^ {2} =0\\ x ^ {2} +xy+y ^ {2} =21 \end {cases}$의 해를 $\displaystyle x=a,~y=b$라 할 때, $\displaystyle a+b$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>0,~b>0$이다.) [3.2점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 3 \sqrt {3}$

https://youtu.be/oaedxNqSMsg

 

 

 

 

6. 연립부등식 $\displaystyle   \begin {cases} x ^ {2} -2x-3>0   \\ \left ( x+a \right ) \left ( x-5 \right ) \leq 0  \end {cases}$의 해가 $\displaystyle 3<x \leq 5$일 때, 실수 $\displaystyle a$의 값의 범위를 구하시오. [3.2점]

 

 

 

 

 

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$\displaystyle -3 \leq a \leq 1$

https://youtu.be/MB-ZnDyziXM

 

 

 

7. 복소수 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle \alpha ^ {2} =3-4i$일 때, $\displaystyle \alpha \overline {\alpha }$의 값을 구하여라. (단, $\displaystyle \overline {\alpha }$는 $\displaystyle \alpha$의 켤레복소수이다.) [3.3점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 5$

https://youtu.be/4GRPG4g5-O4

 

 

 

8. 아래쪽 그림과 같이 반구를 원기둥 위에 올려놓은 모양의 용기를 만들려고 한다. 이 용기의 전체 부피는 $\displaystyle \frac {76} {3} \pi \mathrm { cm }^ {3}$이고, 원기둥 부분의 높이는 밑면의 반지름의 길이보다 $\displaystyle 3 \mathrm { cm}$더 길다고 한다. 밑면의 반지름의 길이를 구하시오. (단, 반구의 반지름의 길이와 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 같고, 용기의 두께는 무시한다.) [3.4점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 2\mathrm { cm}$

https://youtu.be/OqGeZokq8AM

 

 

 

 

9. $\displaystyle \left ( x ^ {2} +4x+3 \right ) \left ( x ^ {2} +12x+35 \right ) +k$가 완전제곱식이 되도록 하는 상수 $\displaystyle k$의 값을 구하시오. [3.3점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 16$

https://youtu.be/VrkcpFVXR-s

 

 

 

 

10. 다항식 $\displaystyle f ( x)=x ^ {3} +x ^ {2} +x+1$이라고 할 때, $\displaystyle f \left ( x ^ {8} \right )$을 $\displaystyle f \left ( x \right )$로 나눈 나머지를 구하시오. [3.4점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 4$

https://youtu.be/oaedxNqSMsg

 

 

 

 

11. 두 복소수 $\displaystyle a,~b$가  $$\displaystyle a+b=1,~a ^ {2} +b ^ {2} =-1$$ 을 만족할 때, $\displaystyle a ^ {20} +b ^ {26}$의 값을 구하시오. [3.3점]

 

 

 

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$\displaystyle -1$

https://youtu.be/VSkyzfoHK3o

 

 

 

 

12. $\displaystyle x$에 대한 두 부등식 $$\displaystyle \left | 2x+1 \right | -3 \left | x-2 \right | \geq 1,~5x ^ {2} -ax+b \leq 0$$ 의 해가 일치할 때, $\displaystyle a+b$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a,~b$는 상수이다.) [3.4점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 72$

https://youtu.be/BVscfpOkGBc

 

 

 

13. 다항식 $\displaystyle 3x ^ {4} +2x ^ {3} +37x ^ {2} +94x+m$이 $\displaystyle x ^ {2} -x+n$으로 나누어떨어진다고 할 때, $\displaystyle m+n$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle m,~n$은 상수이다.) [3.4점]

 

 

 

 

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$\displaystyle -136$

https://youtu.be/Go6f_9cKDNs

 

 

 

14. $\displaystyle \left ( n-10 \right ) \left ( n+11 \right )$의 값이 음수가 되게 하는 모든 정수 $\displaystyle n$에 대하여 다음 [보기] 중에서 그 값이 항상 음수인 것을 모두 고르시오. [3.3점]

ㄱ. $\displaystyle \left ( n-9 \right ) \left ( n+10 \right )$	ㄴ. $\displaystyle \left ( n+9 \right ) \left ( n+10 \right )$
ㄷ. $\displaystyle \left ( n-8 \right ) \left ( n+10 \right )$	ㄹ. $\displaystyle \left ( n-11 \right ) \left ( n+12 \right )$
ㅁ. $\displaystyle \left ( n-12 \right ) \left ( n+13 \right )$	ㅂ. $\displaystyle \left ( n-13 \right ) \left ( n-15 \right )$

 

 

 

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ㄹ, ㅁ

https://youtu.be/jwOaTv07LEQ

 

 

 

 

15. $\displaystyle 0 \leq x \leq 2$에서 이차함수$\displaystyle f ( x)=x ^ {2} +2ax+a ^ {2} -1$의 최솟값이 $\displaystyle 8$일 때, 상수 $\displaystyle a$의 값을 모두 구하시오. [3.5점]

 

 

 

 

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$\displaystyle -5$ 또는 $\displaystyle 3$

https://youtu.be/FqxjYI89dmQ

 

 

 

 

16. $\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle x ^ {2} -px+2p=0$의 한 허근을 세제곱하면 실수가 된다. 이때 실수 $\displaystyle p$의 값을 구하시오. [3.5점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 2$

https://youtu.be/VDsD2lF1Dj0

 

 

 

17. $\displaystyle 2020$개의 다항식 $$\displaystyle x ^ {2} -x-1,~x ^ {2} -x-2,~x ^ {2} -x-3, ~\cdots ,~x ^ {2} -x-2020$ $중에서 계수가 정수인 일차식의 곱으로 인수분해되는 다항식의 개수를 구하시오. [3.7점]

 

 

 

 

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$\displaystyle 44$개

https://youtu.be/f8DflxrCDN0

 

 

 

 

18. 이차함수 $\displaystyle f ( x)=ax ^ {2} +bx+c$와 일차함수 $\displaystyle g ( x)=mx+n$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [보기]에서 옳은 것만을 모두 고르시오. [3.6점]

ㄱ. 방정식 $\displaystyle f \left ( -x \right ) =0$의 두 근은 $\displaystyle - \beta ,~- \gamma$이다. ㄴ. 방정식 $\displaystyle f \left ( -x \right ) =g \left ( x \right )$의 두 근의 곱은 $\displaystyle \alpha \delta$이다. ㄷ. $\displaystyle \beta \gamma - \alpha \delta <0$이다.

 

 

 

 

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ㄱ, ㄴ

https://youtu.be/Ssb1ochpZ4c

 

 

 

 

[서술형]

19. 부등식 $\displaystyle x ^ {2} -3 \left | x \right | \leq 0$을 만족시키는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle x \geq a$이 성립할 때, 정수 $\displaystyle a$의 최댓값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

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$\displaystyle -3$

https://youtu.be/FQT7qN_eeyM

 

 

 

 

 

20. 아래쪽 그림과 같이 이차함수 $\displaystyle y=x ^ {2} -6x+5$의 그래프가 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { A}$라 하고, $\displaystyle x$축과 만나는 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm { B,~C }$라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm { P} ( a,~b)$가 곡선 위를 따라 점 $\displaystyle \mathrm { A }$에서 점 $\displaystyle \mathrm { C}$까지 움직일 때, $\displaystyle 2a+b$의 최솟값을 구하시오. (단, 점 $\displaystyle \mathrm { C}$의 $\displaystyle x$좌표가 점 $\displaystyle \mathrm { B }$의 $\displaystyle x$좌표보다 크다.) [4점]

 

 

 

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$\displaystyle 1$

https://youtu.be/Itg53MB_Y_c

 

 

 

 

21. 방정식 $\displaystyle x ^ {2} +x+1=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha , ~\beta$라 할 때, $\displaystyle \alpha ^ {n} + \beta ^ {n}$의 값을 모두 구하시오. (단, $\displaystyle n$은 자연수이다.) [4점]

 

 

 

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$\displaystyle -1$ 또는 $\displaystyle 2$

https://youtu.be/DczEFZABzsM

 

 

 

 

 

22. 이차다항식 $\displaystyle P ( x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle P ( 0)=1$ (나) $\displaystyle P ( x ^ {2} )$은 $\displaystyle P ( x)$로 나누어떨어진다.

이때, $\displaystyle P ( x)$를 모두 구하시오.

 

 

 

 

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$\displaystyle -x ^ {2} +1$ 또는 $\displaystyle x ^ {2} +x+1$ 또는 $\displaystyle x ^ {2} -2x+1$

https://youtu.be/JveJxYDGlms