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2019학년도 상산고 1학기 중간고사 및 풀이과학고 2020. 4. 25. 15:27반응형
1. $\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} +xy \left ( x+y \right ) +yz \left ( y+z \right ) +zx \left ( z+x \right ) $을 두 다항식의 곱으로 인수분해하시오. [3.2점]
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더보기$\displaystyle \left ( x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} \right ) \left ( x+y+z \right ) $
2. 네 다항식 $\displaystyle A=x ^ {2} -2xy+3y ^ {2} ,B=y ^ {2} +3xy-2x ^ {2} $, $\displaystyle C=xy-4y ^ {2} +3x ^ {2} ,~D=5x ^ {2} -2y ^ {2} $에 대하여$\displaystyle A+B-C-D $를 간단히 하시오. [3.1점]
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더보기$\displaystyle -9x ^ {2} +10y ^ {2} $
3. $\displaystyle a+b=1,~a ^ {2} +b ^ {2} =2 $일 때, $\displaystyle a ^ {5} +b ^ {5} $의 값을 구하시오. [3.1점]
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더보기$\displaystyle \frac {19} {4} $
4. 이차방정식 $\displaystyle x ^ {2} +2x+3-a=0 $이 실근을 갖도록 실수 $\displaystyle a $의 값 또는 범위를 정하시오. [3.1점]
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더보기$\displaystyle 2\leq a $
5. 연립방정식 $\displaystyle \begin {cases} 2x ^ {2} -3xy-2y ^ {2} =0\\ x ^ {2} +xy+y ^ {2} =21 \end {cases} $의 해를 $\displaystyle x=a,~y=b $라 할 때, $\displaystyle a+b $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>0,~b>0 $이다.) [3.2점]
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더보기$\displaystyle 3 \sqrt {3} $
6. 연립부등식 $\displaystyle \begin {cases} x ^ {2} -2x-3>0 \\ \left ( x+a \right ) \left ( x-5 \right ) \leq 0 \end {cases} $의 해가 $\displaystyle 3<x \leq 5 $일 때, 실수 $\displaystyle a $의 값의 범위를 구하시오. [3.2점]
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더보기$\displaystyle -3 \leq a \leq 1 $
7. 복소수 $\displaystyle \alpha $에 대하여 $\displaystyle \alpha ^ {2} =3-4i $일 때, $\displaystyle \alpha \overline {\alpha } $의 값을 구하여라. (단, $\displaystyle \overline {\alpha } $는 $\displaystyle \alpha $의 켤레복소수이다.) [3.3점]
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더보기$\displaystyle 5 $
8. 아래쪽 그림과 같이 반구를 원기둥 위에 올려놓은 모양의 용기를 만들려고 한다. 이 용기의 전체 부피는 $\displaystyle \frac {76} {3} \pi \mathrm { cm }^ {3} $이고, 원기둥 부분의 높이는 밑면의 반지름의 길이보다 $\displaystyle 3 \mathrm { cm} $더 길다고 한다. 밑면의 반지름의 길이를 구하시오. (단, 반구의 반지름의 길이와 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 같고, 용기의 두께는 무시한다.) [3.4점]
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더보기$\displaystyle 2\mathrm { cm} $
9. $\displaystyle \left ( x ^ {2} +4x+3 \right ) \left ( x ^ {2} +12x+35 \right ) +k $가 완전제곱식이 되도록 하는 상수 $\displaystyle k $의 값을 구하시오. [3.3점]
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더보기$\displaystyle 16 $
10. 다항식 $\displaystyle f ( x)=x ^ {3} +x ^ {2} +x+1 $이라고 할 때, $\displaystyle f \left ( x ^ {8} \right ) $을 $\displaystyle f \left ( x \right ) $로 나눈 나머지를 구하시오. [3.4점]
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더보기$\displaystyle 4 $
11. 두 복소수 $\displaystyle a,~b $가 $$\displaystyle a+b=1,~a ^ {2} +b ^ {2} =-1 $$을 만족할 때, $\displaystyle a ^ {20} +b ^ {26} $의 값을 구하시오. [3.3점]
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더보기$\displaystyle -1 $
12. $\displaystyle x $에 대한 두 부등식 $$\displaystyle \left | 2x+1 \right | -3 \left | x-2 \right | \geq 1,~5x ^ {2} -ax+b \leq 0 $$의 해가 일치할 때, $\displaystyle a+b $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a,~b $는 상수이다.) [3.4점]
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더보기$\displaystyle 72 $
13. 다항식 $\displaystyle 3x ^ {4} +2x ^ {3} +37x ^ {2} +94x+m $이 $\displaystyle x ^ {2} -x+n $으로 나누어떨어진다고 할 때, $\displaystyle m+n $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle m,~n $은 상수이다.) [3.4점]
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더보기$\displaystyle -136 $
14. $\displaystyle \left ( n-10 \right ) \left ( n+11 \right ) $의 값이 음수가 되게 하는 모든 정수 $\displaystyle n $에 대하여 다음 [보기] 중에서 그 값이 항상 음수인 것을 모두 고르시오. [3.3점]
ㄱ. $\displaystyle \left ( n-9 \right ) \left ( n+10 \right ) $ ㄴ. $\displaystyle \left ( n+9 \right ) \left ( n+10 \right ) $ ㄷ. $\displaystyle \left ( n-8 \right ) \left ( n+10 \right ) $ ㄹ. $\displaystyle \left ( n-11 \right ) \left ( n+12 \right ) $ ㅁ. $\displaystyle \left ( n-12 \right ) \left ( n+13 \right ) $ ㅂ. $\displaystyle \left ( n-13 \right ) \left ( n-15 \right ) $ 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.
더보기ㄹ, ㅁ
15. $\displaystyle 0 \leq x \leq 2 $에서 이차함수$\displaystyle f ( x)=x ^ {2} +2ax+a ^ {2} -1 $의 최솟값이 $\displaystyle 8 $일 때, 상수 $\displaystyle a $의 값을 모두 구하시오. [3.5점]
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더보기$\displaystyle -5 $ 또는 $\displaystyle 3 $
16. $\displaystyle x $에 대한 방정식 $\displaystyle x ^ {2} -px+2p=0 $의 한 허근을 세제곱하면 실수가 된다. 이때 실수 $\displaystyle p $의 값을 구하시오. [3.5점]
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더보기$\displaystyle 2 $
17. $\displaystyle 2020 $개의 다항식 $$\displaystyle x ^ {2} -x-1,~x ^ {2} -x-2,~x ^ {2} -x-3, ~\cdots ,~x ^ {2} -x-2020 $ $중에서 계수가 정수인 일차식의 곱으로 인수분해되는 다항식의 개수를 구하시오. [3.7점]
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더보기$\displaystyle 44 $개
18. 이차함수 $\displaystyle f ( x)=ax ^ {2} +bx+c $와 일차함수 $\displaystyle g ( x)=mx+n $의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [보기]에서 옳은 것만을 모두 고르시오. [3.6점]
ㄱ. 방정식 $\displaystyle f \left ( -x \right ) =0 $의 두 근은 $\displaystyle - \beta ,~- \gamma $이다.
ㄴ. 방정식 $\displaystyle f \left ( -x \right ) =g \left ( x \right ) $의 두 근의 곱은 $\displaystyle \alpha \delta $이다.
ㄷ. $\displaystyle \beta \gamma - \alpha \delta <0 $이다.
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더보기ㄱ, ㄴ
[서술형]
19. 부등식 $\displaystyle x ^ {2} -3 \left | x \right | \leq 0 $을 만족시키는 모든 실수 $\displaystyle x $에 대하여 부등식 $\displaystyle x \geq a $이 성립할 때, 정수 $\displaystyle a $의 최댓값을 구하시오. [4점]
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더보기$\displaystyle -3 $
20. 아래쪽 그림과 같이 이차함수 $\displaystyle y=x ^ {2} -6x+5 $의 그래프가 $\displaystyle y $축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { A} $라 하고, $\displaystyle x $축과 만나는 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm { B,~C }$라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm { P} ( a,~b) $가 곡선 위를 따라 점 $\displaystyle \mathrm { A }$에서 점 $\displaystyle \mathrm { C} $까지 움직일 때, $\displaystyle 2a+b $의 최솟값을 구하시오. (단, 점 $\displaystyle \mathrm { C} $의 $\displaystyle x $좌표가 점 $\displaystyle \mathrm { B }$의 $\displaystyle x $좌표보다 크다.) [4점]
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더보기$\displaystyle 1 $
21. 방정식 $\displaystyle x ^ {2} +x+1=0 $의 두 근을 $\displaystyle \alpha , ~\beta $라 할 때, $\displaystyle \alpha ^ {n} + \beta ^ {n} $의 값을 모두 구하시오. (단, $\displaystyle n $은 자연수이다.) [4점]
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더보기$\displaystyle -1 $ 또는 $\displaystyle 2 $
22. 이차다항식 $\displaystyle P ( x) $가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) $\displaystyle P ( 0)=1 $
(나) $\displaystyle P ( x ^ {2} ) $은 $\displaystyle P ( x) $로 나누어떨어진다.
이때, $\displaystyle P ( x) $를 모두 구하시오.
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더보기$\displaystyle -x ^ {2} +1 $ 또는 $\displaystyle x ^ {2} +x+1 $ 또는 $\displaystyle x ^ {2} -2x+1 $
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