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[울산과고]2018년 경기과학고 1-1학기 중간고사[더플러스수학학원]과학고 2020. 5. 8. 15:59
울산 옥동에 있는 울산과고전문 더플러스수학학원입니다. 예비울산과고1학년 학생들은 울산과고1학년 1학기 중간고사에 대해 많이 걱정과 기대를 가지고 지금 공부하고 있겠죠? 경기과고 내신기출문제를 가지고 학원에서 시험을 쳐봤습니다. 어여웠죠? 2월말까지의 여러분의 공부가 울산과고2년 또는 3년을 결정하겠죠! 열심히 합시다.
경기과고내신기출문제와 그 풀이와 풀이동영상입니다.
1. xx에 대한 이차식 x2+ax+bc와 x2+bx+ac의 최대공약수가 x에 대한 일차식일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, abc≠0이다.) [총 8점]
(1) x에 관한 이차식 x2+ax+bc와 x2+bx+ac의 최소공배수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [4점]
(2) (a3+b3+c3)(ab+bc+ca)a3bc+ab3c+abc3의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [4점]
2. 다항식 f(x)를 (x2+1)2, (x2+2)2으로 나누었을 때의 나머지가 각각 x3−2x2+3x+1, −x3−4x2−2이다. 다항식 f(x)를 (x2+1)(x2+2)로 나누었을 때의 나머지를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7점]
3. x, y에 관한 다항식 x7−y7−(x−y)7을 3차 이하의 정수 계수 다항식으로 인수분해하고, 그 과정을 서술하시오. [8점]
4. 방정식 x6−2x5+x4−7x3+x2−2x+1=0의 서로 다른 네 허근을 αi(i=1, 2, 3, 4)라고 하자. (1+2α1)(1+2α2)(1+2α3)(1+2α4)의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]
5. 방정식 2x2−y2+xy−6x+3y−2=0을 만족시키는 양의 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)를 모두 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]
6. 양수 x, y, z에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 14점]
(1) x2+y2+z2=1을 만족시킬 때, 1x+1y+1z의 최솟값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]
(2) x2+y2+z2=6, xyz=2을 만족시킬 때, z의 최댓값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [8점]
7. 좌표평면 위의 직선 ax+by+c=0과 임의의 점 P(x1, y1) 사이의 거리를 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, ab≠0이다.) [6점]
8. 원 x2+y2=16의 접선 g에 대하여 직선 g가 두 직선
l : 3x+y−2=0
l′ : x+3y−6=0
과 만나는 점을 각각 P, Q라고 하고, 두 직선 l, l′의 교점을 R라고 하자. 삼각형 PQR가 ¯PR=¯QR인 이등변삼각형이 되도록 하는 접선 g의 방정식을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]
9. ¯AB=a, ¯BC=b인 직사각형 ABCD에 대하여 삼각형 ACD의 내부의 점 P에서 변 AB, AD에 내린 수선의 발을 각각 E, F라고 하고 ¯PE=n, ¯PF=m이라고 하자. 또, 점 E를 중심으로 하고 반지름의 길이가 n인 원과 선분 EB의 교점을 G라고 하자.
점 B가 선분 AG를 m : n으로 외분할 때, 다음 식의 참, 거짓을 판단하고 그 이유를 서술하시오. (단, m>n이다.)
(1) nm<b−na−m [3점]
(2) 2¯AG=1¯AE+1¯AB [3점]
10. 좌표평면 위의 두 점 P(a, b), Q(c, d)가 직선 y=kx−1에 대하여 서로 대칭이다. 다음 물음에 답하시오. (단, k는 상수이다.) [총12점]
(1) k=1일 때, 점 Q의 좌표를 a, b에 관한 식으로 나타내고, 그 과정을 서술하시오. [3점]
(2) 점 P가 포물선 C : y=x2위를 움직일 때, 점 Q의 자취가 포물선 C와 만나지 않기 위한 실수 k의 범위를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [4점]
(3) 점 P(−1, 2)에 대하여 실수 k가 변할 때, 점 Q의 자취의 방정식을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [5점]
11. 다음 세 부등식 P, Q, R
P : y≥0
Q : √3x+y−3≤0
R : x−√3y+3√3≥0
을 동시에 만족시키는 영역을 T라고 하고, T에 속하는 임의의 점에서 세 부등식 P, Q, R의 영역의 경계선에 내린 수선의 길이를 각각 p, q, r라고 하자. p2−q2−r2=0일 때, p의 최댓값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.
12. 포물선 C : x2=4y위의 점 P에서의 접선을 l1, 점 P를 지나고 직선 l1에 수직인 직선을 g1이라고 하고, 포물선 C위의 점 Q에서의 접선을 l2, 점 Q를 지나고 직선 l2에 수직인 직선을 g2라고 하자. 두 직선 l1, l2의 교점을 R, 두 직선 g1, g2의 교점을 S라고 하자. 두 직선 l1, l2가 서로 수직이 되도록 두 점 P, Q가 포물선 C 위를 움직일 때, 다음 물음에 답하시오. [총 14점]
(1) 점 R의 자취의 방정식을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [4점]
(2) 점 S의 자취의 방정식을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [4점]
(3) 선분 RS를 지름으로 하는 원의 넓이의 최솟값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]
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