[수학의 기초] $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ 여러가지 증명 [더플러스수학]

 

고등학교 수학에서, 특히 고1과정에서 굉장히 중요한 공식이 $$\textcolor{red}{x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx}$$이다.

이것을 다양하게 증명해 보자.

 

1) 일반적인 부등식의 증명

$$\begin{align} x^2+y^2+z^2 -(xy+yz+zx) &= \frac{1}{2} \left\{ 2x^2 +2y^2 +2z^2 -2xy-2yz-2zx\right\} \\&= \frac{1}{2} \left\{ \left(x^2 -2xy+y^2 \right) +\left(y^2 -2yz+z^2 \right)+\left(z^2 -2zx+x^2 \right)\right\}\\&= \frac{1}{2} \left\{ (x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2\right\} \geq 0 \end{align}$$

등호는 $x=y=z$일 때 성립

따라서

$$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$$ 

 

2) $a^2 +b^2 \geq 2ab$임을 이용하는 증명

실수 $a,~b$에 대하여 $(a+b)^2 \ge 0$이므로 

$$a^2+b^2 \ge 2ab$$

이다. 이 성질을 이용하면 다음이 성립한다.

$$x^2 +y^2 \geq 2xy~~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$

$$y^2 +z^2 \geq 2yz~~\cdots\cdots~(\mathrm{ii})$$

$$z^2 +x^2 \geq 2zx~~\cdots\cdots~(\mathrm{iii})$$

위의 식을 다 더하면

$$2(x^2 +y^2+z^2) \geq 2(xy+yz+zx)$$

양변을 $2$로 나누면

$$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$$ 

등호는 $x=y=z$일 때 성립

 

 

3) Cauchy-Schwartz 부등식 이용해서 증명

코시-슈바르츠 부등식

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실수 $x,~y,~z,~a,~b,~c$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

$$(a^2 +b^2 +c^2 )(x^2 +y^2 +z^2) \geq (ax+by+cz)^2$$

등호는 $\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$일 때 성립

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위의 코시부등식을 다음과 같이 적용해보자.

$$(x^2 +y^2 +z^2 )(y^2 +z^2 +x^2 ) \geq (xy+yz+zx)^2$$

등호는 $\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$일 때 성립

즉

$$(x^2 +y^2 +z^2 )^2 \geq (xy+yz+zx)^2$$

$$x^2 +y^2 +z^2   \geq \left|xy+yz+zx \right| \geq xy+yz+zx$$

따라서

$$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$$