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[수학의 기초] x2+y2+z2≥xy+yz+zx 여러가지 증명 [더플러스수학]수학과 공부이야기 2020. 7. 14. 17:44
고등학교 수학에서, 특히 고1과정에서 굉장히 중요한 공식이 x2+y2+z2≥xy+yz+zx이다.
이것을 다양하게 증명해 보자.
1) 일반적인 부등식의 증명
x2+y2+z2−(xy+yz+zx)=12{2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx}=12{(x2−2xy+y2)+(y2−2yz+z2)+(z2−2zx+x2)}=12{(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}≥0
등호는 x=y=z일 때 성립
따라서
x2+y2+z2≥xy+yz+zx
2) a2+b2≥2ab임을 이용하는 증명
실수 a, b에 대하여 (a+b)2≥0이므로
a2+b2≥2ab
이다. 이 성질을 이용하면 다음이 성립한다.
x2+y2≥2xy ⋯⋯ (i)
y2+z2≥2yz ⋯⋯ (ii)
z2+x2≥2zx ⋯⋯ (iii)
위의 식을 다 더하면
2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+zx)
양변을 2로 나누면
x2+y2+z2≥xy+yz+zx
등호는 x=y=z일 때 성립
3) Cauchy-Schwartz 부등식 이용해서 증명
코시-슈바르츠 부등식
실수 x, y, z, a, b, c에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2
등호는 xa=yb=zc일 때 성립
위의 코시부등식을 다음과 같이 적용해보자.
(x2+y2+z2)(y2+z2+x2)≥(xy+yz+zx)2
등호는 xy=yz=zx일 때 성립
즉
(x2+y2+z2)2≥(xy+yz+zx)2
x2+y2+z2≥|xy+yz+zx|≥xy+yz+zx
따라서
x2+y2+z2≥xy+yz+zx
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