2020년 과고2학년 기말 프린트[기하 증명]

포물선

 

증명은 대수적인 식을 이용해도, 논증기하를 이용해도 좋습니다

 

[정리1] 포물선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P} $에서의 접선은 $\displaystyle \mathrm { \angle CPF }$를 이등분한다. ($\displaystyle \mathrm { F} $는 초점, $\displaystyle \mathrm { C} $는 점 $\displaystyle \mathrm { P }$에서 준선 $\displaystyle l $에 내린 수선의 발)

 

 

 

[정리2]

원점 $\displaystyle \mathrm { O }$를 꼭짓점으로 하고 초점을 $\displaystyle \mathrm { F} $, 준선을 $\displaystyle l $인 포물선이 있다. 이 포물선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P} $에서 준선 $\displaystyle l $에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm { C} $라 하고, 준선과 $\displaystyle x $축과의 교점을 $\displaystyle \mathrm { E }$라고 하자. 또, 점 $\displaystyle \mathrm { P }$에서 포물선에 그은 접선을 $\displaystyle T $라 할 때, 이 접선이 $\displaystyle x $축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { Q} $라고 하자. 다음을 증명하여라.

(1) $\displaystyle \Box \mathrm { PCQF }$는 마름모이다.

 

(2) $\displaystyle \mathrm { CF }$의 중점 $\displaystyle \mathrm { M} $은 $\displaystyle y $축 위에 존재한다.

 

(3) 준선 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm { C} $에서 그은 선분 $\displaystyle \mathrm { CF }$의 수직이등분선의 포락선은 포물선이다.

 

참고 포락선이란?

포락선(envelope, 包絡線)은 어떤 단일 매개변수에 따라 정의된 무한개의 곡선이 있을 때 그 곡선족의 모든 곡선에 접하는 곡선을 이르는 말이다. 즉, 각각의 $\displaystyle t $에 대하여 곡선 $\displaystyle C _ {t} $가 있을 때, 이의 포락선 $\displaystyle sigma $는 각각의 $\displaystyle C _ {t} $ 모두와 접하는 곡선이다. 정의에 의하면 일반적으로 모든 곡선은 그 접선족의 포락선이라고 말할 수 있다. (위키참조 : https://ko.wikipedia.org/wiki/포락선 )

 

 

 

[정리3]

포물선 $\displaystyle y=ax ^ {2} +bx+c $ 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B }$에서의 두 접선이 $\displaystyle \mathrm { S} $와 만났다. 이 때, 점$\displaystyle \mathrm { A,~B} $의 $\displaystyle x $좌표를 각각 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} $라 하고 점 $\displaystyle \mathrm { S }$의 좌표를 $\displaystyle x _ {3} $라고 할 때, $\displaystyle x _ {3} = \frac {x _ {1} +x _ {2} } {2} $이 성립함을 보여라.

 

 

 

 

 

[정리4] 포물선 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B }$의 중점을 $\displaystyle \mathrm { M }$이라 하고, 또, 두 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B }$에서의 접선이 점 $\displaystyle \mathrm { S }$에서 만난다고 할 때, 선분 $\displaystyle \mathrm { MS }$와 포물선의 교점을 $\displaystyle \mathrm { C }$라 하자. 다음이 성립함을 보이시오.

$$\displaystyle \mathrm { AB/\!/ DE} ,~ \mathrm { \overline {MC} = \overline {CS} }$$

(단, $\displaystyle \mathrm { D,~E }$는 $\displaystyle \mathrm { C} $에서의 접선과 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B} $에서의 접선과의 각각의 교점이다.)

 

 

 

 

[정리5] 평행한 현들의 중점의 자취는 축과 평행하다.

 

 

 

 

[정리6] 다음 그림에서 $\displaystyle \mathrm { \triangle ABC}= S $일 때, 활꼴 $\displaystyle \mathrm { ACB }$의 넓이는 $\displaystyle \frac {4} {3} S $이다.

 

[정리7]

현 $\displaystyle \mathrm { AB} $가 초점 $\displaystyle \mathrm { F }$를 지날 때 다음이 성립함을 보여라.

(1) $\displaystyle \mathrm { \angle ANB}=90 ^{\circ } $, $\displaystyle \mathrm { \angle A ' FB ' } =90 ^{\circ } $

(2) $\displaystyle \mathrm { A,~B} $에서의 접선은 준선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { N }$에서 만난다.

(3) $\displaystyle \boxed{} \mathrm { PNQF }$는 직사각형이다.

 

 

 

 

 

[정리8]

현 $\displaystyle \mathrm { AB }$가 초점 $\displaystyle \mathrm { F} $를 지나고 점 $\displaystyle \mathrm { M} $이 선분 $\displaystyle \mathrm { \overline {AB}} $의 중점일 때, 다음이 성립함을 보여라.

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF} }= a,~ \mathrm { \overline {BF } } = b $일 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {NM} }= \frac {a+b} {2} $

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF}} = a,~ \mathrm { \overline {BF}} = b $일 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {NF}} = \sqrt { ab } $

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF}} = a,~ \mathrm { \overline {BF} }= b $일 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {FK}} = \frac {2ab} {a+b} $

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF}} = a,~ \mathrm { \overline {BF}} = b $ ($\displaystyle a<b $)일 때, 직선 $\displaystyle \mathrm { AB} $의 기울기는 $\displaystyle \frac {2 \sqrt {ab} } {b-a} $

 

 

[정리9] 포물선 위의 세 점 $\displaystyle \mathrm { P,~Q,~R }$에서의 접선의 교점을 각각 $\displaystyle \mathrm { A,~B,~C} $라 하자. $\displaystyle \mathrm { \triangle ABC }$의 외접원은 초점 $\displaystyle \mathrm { F }$를 지난다. 이를 보이시오.

 

 

 

[정리 10] 모든 포물선은 닮았다.

참고) 모든 정사각형은 한가지뿐이다. 왜냐하면 모두 서로 닮았으니까! 또 모든 정삼각형은 한가지뿐이다. 마찬가지로 포물선의 모양은 오직 한가지 뿐이다. 즉 서로 닮았다.

즉 (i) 모든 포물선은 서로 닮았다. (ii) $\displaystyle y=ax ^ {2} $과 $\displaystyle y=bx ^ {2} $의 닮음비는 $\displaystyle |b|~:~|a| $이다.

다음을 증명하면 된다. 두 포물선은 평행이동 회전이동, 대칭이동하여 원점을 초점이 $\displaystyle x $축의 양의 방향에 놓이게 했을 때, 즉 $\displaystyle y ^ {2} =4px $, $\displaystyle y ^ {2} =4qx $

원점을 지나는 임의의 직선 $\displaystyle y=kx $와 각각의 포물선이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { P,~Q} $라 했을 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {OP} ~:~ \overline {OQ} }= p~:~q $임을 보이면 된다.