[더플러스수학] 2020년 과고2학년 1학기 기말 프린트 풀이

심화수학 II 보충자료-경우의 수, 확률파트 정리

 

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1. 다음 경우의 수를 구하시오. 
[$\displaystyle \mathbb2017 $학년도 서울대 일반전형 면접 및 구술고사]

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(1) $\displaystyle 9 $개의 좌석이 일렬로 배치되어 있는 롤러코스터에 3명의 학생을 다음의 조건 (*)를 만족하도록 태우는 경우의 수를 구하시오.

(*) 연이은 두 좌석에 학생이 앉은 경우에는 앞좌석에 앉은 학생의 키가 더 작다. 
단, $\displaystyle 3 $명이 모두 탑승하며, 어느 두 명의 학생도 키가 같지 않다고 가정한다.

(2) $\displaystyle m $이 $\displaystyle n $보다 큰 자연수일 때, $\displaystyle m $개의 좌석이 일렬로 배치되어 있는 롤러코스터에 $\displaystyle n $명의 학생을 문제 (1)에서의 조건 (*)를 만족하도록 태우는 경우의 수를 구하시오. 단, $\displaystyle n $명이 모두 탑승하며, 어느 두 명의 학생도 키가 같지 않다고 가정한다.

(3) 시계 방향으로 도는 회전목마가 있고, 이 회전목마에는 $\displaystyle 20 $개의 목마가 회전 방향으로 머리를 향하고 있다. 각 목마에는 시계 방향으로 $\displaystyle 1 $번부터 $\displaystyle 20 $번까지의 번호가 매겨져 있다. 다섯쌍의 부부가 아래의 조건을 만족하면서 회전목마에 타는 경우의 수를 구하시오. 단, 열 명 모두가 탑승하며, 한 목마에는 한 명씩만 탄다.

가) 부부인 남녀가 탄 목마 번호의 합은 $\displaystyle 21 $이다.
나) 연이은 목마에 탄 두 명의 성별이 다른 경우, 여자의 앞에 남자가 탄다.
다) 연이은 목마에 탄 두 명이 남자인 경우, 키 큰 사람이 탄 목마 앞에 키 작은 사람이 탄다. 단, 어느 두 남자의 키도 같지 않다고 가정한다.

 

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2. 동전을 $\displaystyle n $번 던지는 시행을 통해, 정의역이 $\displaystyle [0,~n] $인 함수 $\displaystyle f $를 다음과 같이 정의한다.       

      Ⅰ. $\displaystyle f \left ( 0 \right ) =0 $
      Ⅱ. $\displaystyle k=1,~2,~ \cdots ,~n $일 때, 구간 $\displaystyle ( k-1,~k] $에서

$$\displaystyle f ( x)=   \begin {cases} x-k+1+f ( k-1) & ( k번째~시행에서~앞면이~나오는~경우) \\ ~f ( k-1) & ( k번째~시행에서~뒷면이~나오는~경우)\end {cases}   $$

함수 $\displaystyle f $의 정적분 $\displaystyle \int _ {0} ^ {n} {f ( x)dx} $의 값을 확률변수 $\displaystyle X $라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[$\displaystyle \mathbb 2018 $학년도 서울대 일반전형 면접 및 구술고사]

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(1) $\displaystyle n=6 $일 때, 동전이 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면, 앞면, 앞면의 순서로 나온 경우 확률변수 $\displaystyle X $의 값을 구하시오.

(2) 확률변수 $\displaystyle X $가 가질 수 있는 값의 집합을 $\displaystyle S _ {n} $이라고 할 때 $\displaystyle S _ {n} $과 $\displaystyle S _ {n+1} $ 사이에 다음 관계

$$\displaystyle \left. S _ {n+1} =S _ {n} \cup \left\{ s+ \frac {2n+1} {2} \right | s \in S _ {n} \right\} $$

가 성립함을 보이고, $\displaystyle S _ {6} $의 원소의 개수를 구하시오.

(3) 확률변수 $\displaystyle X $의 기댓값을 $\displaystyle \mathrm { E}_ { n } $이라고 할 때 $\displaystyle \mathrm { E} _ {11} $의 값을 구하시오.

 

 

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3. $\displaystyle N $개의 상자가 있고 각각의 상자에는 $\displaystyle N $개의 공이 들어 있다. $\displaystyle k $번째 상자에는 빨간 공이 $\displaystyle k $개, 파란 공 $\displaystyle N-k $개 있다. ($\displaystyle k=1,~2,~ \cdots ,~N $). 먼저 임의로 한 상자를 선택한다. 이 상자에서 임의로 공을 하나 선택하고 공의 색깔을 확인 후 상자에 공을 되돌려 넣는 시행을 $\displaystyle m $회 반복하였다. (상자는 다시 선택하지 않고 공만 $\displaystyle m $회 반복해서 선택한다.)

[$\displaystyle \mathbb 2017 $학년도 KAIST 학교장추천전형, 고른기회전형 면접 및 구술고사]

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(1) $\displaystyle N=10 $이고 $\displaystyle m=3 $일 때, 모두 빨간 공을 선택했을 확률은?

(2) $\displaystyle N=10 $이고 $\displaystyle m=3 $일 때 선택된 빨강 공의 수가 짝수($\displaystyle 0 $ 포함)일 확률은?

(3) 고정된 자연수 $\displaystyle m $에 대하여 선택된 빨강 공의 수가 짝수($\displaystyle 0 $ 포함)일 확률은 $\displaystyle P _ {N} $이다. $\displaystyle N $이 한없이 커질 때 $\displaystyle P _ {N} $은 어떤 값으로 수렴하는가?

 

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4. $\displaystyle 3 $차원 공간상에 원점 $\displaystyle \mathrm { O }( 0,~0,~0) $가 중심이고 반지름이 $\displaystyle R $인 구 $\displaystyle S $와, 두 점 $\displaystyle \mathrm { P }( 1,~0,~-1) $, $\displaystyle \mathrm { Q} ( 0,~1,~1) $를 지나는 직선 $\displaystyle l $을 생각하자. 구 $\displaystyle S $의 반지름 $\displaystyle R $을 구간 $\displaystyle 0 \leq R \leq 1 $에서 균일하게 분포되어 있는 확률변수로 생각하자. (즉, $\displaystyle R $의 확률밀도함수는 $\displaystyle 0 $과 $\displaystyle 1 $사이에서 $\displaystyle 1 $로 주어진다.)

[$\displaystyle \mathbb 2020 $학년도 Kaist 일반전형 면접 및 구술고사]

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(1) 직선 $\displaystyle l $을 포함하고 구 $\displaystyle S $에 접하는 평면이 $\displaystyle 2 $개 존재할 확률을 구하시오. (2점)

(2) 직선 $\displaystyle l $을 포함하고 구 $\displaystyle S $에 접하는 두 접평면에서의 접점을 각각 $\displaystyle \mathrm { A} $와 $\displaystyle \mathrm { B} $라고 하자. 이렇게 $\displaystyle 2 $개의 접평면이 존재할 때, $\displaystyle \mathrm { \overrightarrow {OA} }$와 $\displaystyle \mathrm { \overrightarrow {OB}} $의 내적이 $\displaystyle 0 $보다 클 확률을 구하시오. (3점)

 

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5. 암을 검사하는 새로운 촬영법이 나왔는데, 이 방법으로 검사할 때, 암에 걸린 사람을 암에 걸렸다고 정확하게 진단할 확률은 $\displaystyle x $, 암에 걸리지 않은 사람을 암에 걸렸다고 오진할 확률은 $\displaystyle y $라고 한다. 새로운 촬영법으로 “$\displaystyle 50% $가 암에 걸린 집단”에 있는 모든 사람을 진단하였다.

[$\displaystyle \mathbb 2020 $학년도 Dgist 면접 및 구술고사]

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(1) 이 집단에서 임의로 선택한 사람이 암에 걸렸다고 진단받을 때에 그 사람이 실제로 암환자일 확률 $\displaystyle C $를 구하여라.

(2) 이 집단에서 임의로 선택한 사람이 암환자인 사건과 암으로 진단받는 사건이 독립이기 위한 $\displaystyle x,~y $의 관계식을 구하여라.

(3) $\displaystyle y=2x ^ {2} -2x+1 $일 때 확률 $\displaystyle 0 \leq x \leq 1 $에서 $\displaystyle C $의 극댓값이 존재한다. $\displaystyle C $가 극대일 때의 $\displaystyle x $를 구하여라.

 

 

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6. 숫자 $\displaystyle 1,~2,~3 $이 하나씩 적혀 있는 세 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 여기서 한 장의 카드를 무작위로 뽑아 나온 숫자를 $\displaystyle x $라고 하자. 그리고 그 뽑힌 카드($\displaystyle x $)를 다시 주머니에 넣어 잘 섞은 다음, 다시 한 장을 뽑아 나온 카드의 숫자를 $\displaystyle y $라고 하자. 이 번에는 뽑힌 카드($\displaystyle y $)를 다시 넣지 않고 주머니에서 한 장을 더 뽑아 그 숫자를 $\displaystyle z $라고 하자. 다음 각각의 경우에 주어진 두 사건이 서로 독립인지 종속인지 답하고 설명하시오.

[$\displaystyle \mathbb 2020 $학년도 Gist 면접 및 구술고사]

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(1) $\displaystyle x>y $인 사건과 $\displaystyle x>z $인 사건

(2) $\displaystyle x=y $인 사건과 $\displaystyle x=z $인 사건

 

 

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7. 김연세는 정육면체 모양의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수에 따라 $\displaystyle 1 $층부터 $\displaystyle 10 $층 사이를 이동하는 놀이를 한다.

첫 번째 시행에서는 주사위를 던져서 나온 눈의 수와 같은 층으로 간다.

두 번째부터는 다음 규칙에 따라서 놀이가 끝날 때까지 주사위 던지기를 반복 시행한다.

[규칙] 김연세가 $\displaystyle n $층에 있을 때, 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 $\displaystyle m $이라고 하자.

      1. $\displaystyle n+m<10 $이면 $\displaystyle n+m $ 층으로 간다.

      2. $\displaystyle n+m>10 $이면 $\displaystyle 10- ( n+m-10) $층으로 간다.

      3. $\displaystyle n+m=10 $이면 놀이가 끝난다.

[$\displaystyle \mathbb 2018 $ 학년도 연세대학교 논술시험]

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(1) 주사위를 세 번 이하로 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.

(2) 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝났다고 하자. 놀이가 끝나기 전까지 규칙 $\displaystyle 1 $만 적용된 경우의 수를 구하시오.

(3) 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.

 

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문제8. 서로소인 양의 정수 $\displaystyle a $와 $\displaystyle n $이 주어져 있다. (단, $\displaystyle n>1 $). 계수들이 정수인 다항식

$$\displaystyle f ( x)= \sum\limits _ {i=0} ^ {n} c _ {i} x ^ {i} = \left ( x+a \right ) ^ {n} - \left ( x ^ {n} +a ^ {n} \right ) $$

에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[$\displaystyle \mathbb 2017 $학년도 서울대 일반전형 면접 및 구술고사]

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(1) 자연수 $\displaystyle k $, 소수 $\displaystyle p $, 그리고 $\displaystyle p $와 서로소인 자연수 $\displaystyle m $에 대하여 $\displaystyle n=p ^ {k} m $이라고 하자. 단, $\displaystyle k=1 $이면 $\displaystyle m>1 $이라고 한다. 계수 $\displaystyle c _ {p} $를 구하고 $\displaystyle c _ {p} $는 $\displaystyle n $으로 나누어 떨어지지 않음을 보이시오.

(2) $\displaystyle n $을 $\displaystyle 1 $보다 큰 임의의 자연수라고 하자. 이 때, $\displaystyle f ( x) $의 모든 항의 계수 $\displaystyle c _ {i} $가 $\displaystyle n $으로 나누어 떨어지면 $\displaystyle n $이 소수임을 보이시오.

 

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9. 수직선 위의 원점에 있는 점 $\displaystyle \mathrm { A} $에 대하여 다음과 같은 시행을 반복한다.

$\displaystyle n $번째 시행에서 점 $\displaystyle \mathrm { A} $는 현재 위치에 그래도 있거나, 양의 방향으로 $\displaystyle 1+ \left ( \frac {1} {3} \right ) ^ {n} $만큼 움직이거나, 음의 방향으로 $\displaystyle 1+ \left ( \frac {1} {3} \right ) ^ {n} $만큼 움직인다. 이 때, 각 경우가 일어날 확률은 $\displaystyle \frac {1} {3} $로 모두 같다. (단, $\displaystyle n \geq 1 $)

[$\displaystyle \mathbb 2019 $ 학년도 서울대학교 일반전형 면접 및 구술고사 (인문)]

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(1) $\displaystyle 3 $번째 시행을 한 후에 점 $\displaystyle \mathrm { A} $가 정수에 놓일 확률을 구하시오.

(2) $\displaystyle 100 $번째 시행을 한 후에 점 $\displaystyle \mathrm { A }$가 원점에 있을 확률을 구하시오.

(3) $\displaystyle 100 $번째 시행을 한 후에 점 $\displaystyle \mathrm { A} $가 양의 실수에 놓일 확률을 구하시오.

(4) 좌표평면 위의 원점에 있는 점 $\displaystyle \mathrm { B }$에 대하여 다음과 같이 시행을 반복한다.

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$\displaystyle n $번째 시행에서 점 $\displaystyle \mathrm { B} $는 현재 위치에 그래도 있거나, 동서남북 중 한 방향으로 $\displaystyle 1+ \left ( \frac {1} {3} \right ) ^ {n} $만큼 움직인다. 이 때, 각 경우가 일어날 확률은 $\displaystyle \frac {1} {5} $로 모두 같다. (단, $\displaystyle n \geq 1 $)

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$\displaystyle 100 $번째 시행을 한 후에 점 $\displaystyle \mathrm { B} $가 제$\displaystyle 1 $사분면 위에 있을 확률을 구하시오.

 

 

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