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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • [더플러스수학] 2020년 과고2학년 1학기 기말 프린트 풀이
    과학고 2020. 7. 26. 11:41

    심화수학 II 보충자료-경우의 수, 확률파트 정리

     


    1. 다음 경우의 수를 구하시오. 
    [20172017학년도 서울대 일반전형 면접 및 구술고사]


    (1) 99개의 좌석이 일렬로 배치되어 있는 롤러코스터에 3명의 학생을 다음의 조건 (*)를 만족하도록 태우는 경우의 수를 구하시오.

    (*) 연이은 두 좌석에 학생이 앉은 경우에는 앞좌석에 앉은 학생의 키가 더 작다
    , 33명이 모두 탑승하며, 어느 두 명의 학생도 키가 같지 않다고 가정한다.

    (2) mmnn보다 큰 자연수일 때, mm개의 좌석이 일렬로 배치되어 있는 롤러코스터에 nn명의 학생을 문제 (1)에서의 조건 (*)를 만족하도록 태우는 경우의 수를 구하시오. , nn명이 모두 탑승하며, 어느 두 명의 학생도 키가 같지 않다고 가정한다.

    (3) 시계 방향으로 도는 회전목마가 있고, 이 회전목마에는 2020개의 목마가 회전 방향으로 머리를 향하고 있다. 각 목마에는 시계 방향으로 11번부터 2020번까지의 번호가 매겨져 있다. 다섯쌍의 부부가 아래의 조건을 만족하면서 회전목마에 타는 경우의 수를 구하시오. , 열 명 모두가 탑승하며, 한 목마에는 한 명씩만 탄다.

    ) 부부인 남녀가 탄 목마 번호의 합은 2121이다.
    ) 연이은 목마에 탄 두 명의 성별이 다른 경우, 여자의 앞에 남자가 탄다.
    ) 연이은 목마에 탄 두 명이 남자인 경우, 키 큰 사람이 탄 목마 앞에 키 작은 사람이 탄다. , 어느 두 남자의 키도 같지 않다고 가정한다.

     

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    2. 동전을 nn번 던지는 시행을 통해, 정의역이 [0, n][0, n]인 함수 ff를 다음과 같이 정의한다.       

          . f(0)=0f(0)=0
          . k=1, 2, , nk=1, 2, , n일 때, 구간 (k1, k](k1, k]에서

    f(x)={xk+1+f(k1)(k    ) f(k1)(k    )

    함수 f의 정적분 n0f(x)dx의 값을 확률변수 X라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

    [2018학년도 서울대 일반전형 면접 및 구술고사]


    (1) n=6일 때, 동전이 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면, 앞면, 앞면의 순서로 나온 경우 확률변수 X의 값을 구하시오.

    (2) 확률변수 X가 가질 수 있는 값의 집합을 Sn이라고 할 때 SnSn+1 사이에 다음 관계

    Sn+1=Sn{s+2n+12|sSn}

    가 성립함을 보이고, S6의 원소의 개수를 구하시오.

    (3) 확률변수 X의 기댓값을 En이라고 할 때 E11의 값을 구하시오.

     

     

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    3. N개의 상자가 있고 각각의 상자에는 N개의 공이 들어 있다. k번째 상자에는 빨간 공이 k, 파란 공 Nk개 있다. (k=1, 2, , N). 먼저 임의로 한 상자를 선택한다. 이 상자에서 임의로 공을 하나 선택하고 공의 색깔을 확인 후 상자에 공을 되돌려 넣는 시행을 m회 반복하였다. (상자는 다시 선택하지 않고 공만 m회 반복해서 선택한다.)

    [2017학년도 KAIST 학교장추천전형, 고른기회전형 면접 및 구술고사]


    (1) N=10이고 m=3일 때, 모두 빨간 공을 선택했을 확률은?

    (2) N=10이고 m=3일 때 선택된 빨강 공의 수가 짝수(0 포함)일 확률은?

    (3) 고정된 자연수 m에 대하여 선택된 빨강 공의 수가 짝수(0 포함)일 확률은 PN이다. N이 한없이 커질 때 PN은 어떤 값으로 수렴하는가?

     

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    4. 3차원 공간상에 원점 O(0, 0, 0)가 중심이고 반지름이 R인 구 S, 두 점 P(1, 0, 1), Q(0, 1, 1)를 지나는 직선 l을 생각하자. S의 반지름 R을 구간 0R1에서 균일하게 분포되어 있는 확률변수로 생각하자. (, R의 확률밀도함수는 01사이에서 1로 주어진다.)

    [2020학년도 Kaist 일반전형 면접 및 구술고사]


    (1) 직선 l을 포함하고 구 S에 접하는 평면이 2개 존재할 확률을 구하시오. (2)

    (2) 직선 l을 포함하고 구 S에 접하는 두 접평면에서의 접점을 각각 AB라고 하자. 이렇게 2개의 접평면이 존재할 때, OAOB의 내적이 0보다 클 확률을 구하시오. (3)

     

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    5. 암을 검사하는 새로운 촬영법이 나왔는데, 이 방법으로 검사할 때, 암에 걸린 사람을 암에 걸렸다고 정확하게 진단할 확률은 x, 암에 걸리지 않은 사람을 암에 걸렸다고 오진할 확률은 y라고 한다. 새로운 촬영법으로 50가 암에 걸린 집단에 있는 모든 사람을 진단하였다.

    [2020학년도 Dgist 면접 및 구술고사]


    (1) 이 집단에서 임의로 선택한 사람이 암에 걸렸다고 진단받을 때에 그 사람이 실제로 암환자일 확률 C를 구하여라.

    (2) 이 집단에서 임의로 선택한 사람이 암환자인 사건과 암으로 진단받는 사건이 독립이기 위한 x, y의 관계식을 구하여라.

    (3) y=2x22x+1일 때 확률 0x1에서 C의 극댓값이 존재한다. C가 극대일 때의 x를 구하여라.

     

     

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    6. 숫자 1, 2, 3이 하나씩 적혀 있는 세 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 여기서 한 장의 카드를 무작위로 뽑아 나온 숫자를 x라고 하자. 그리고 그 뽑힌 카드(x)를 다시 주머니에 넣어 잘 섞은 다음, 다시 한 장을 뽑아 나온 카드의 숫자를 y라고 하자. 이 번에는 뽑힌 카드(y)를 다시 넣지 않고 주머니에서 한 장을 더 뽑아 그 숫자를 z라고 하자. 다음 각각의 경우에 주어진 두 사건이 서로 독립인지 종속인지 답하고 설명하시오.

    [2020학년도 Gist 면접 및 구술고사]


    (1) x>y인 사건과 x>z인 사건

    (2) x=y인 사건과 x=z인 사건

     

     

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    7. 김연세는 정육면체 모양의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수에 따라 1층부터 10층 사이를 이동하는 놀이를 한다.

    첫 번째 시행에서는 주사위를 던져서 나온 눈의 수와 같은 층으로 간다.

    두 번째부터는 다음 규칙에 따라서 놀이가 끝날 때까지 주사위 던지기를 반복 시행한다.

    [규칙] 김연세가 n층에 있을 때, 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 m이라고 하자.

          1. n+m<10이면 n+m 층으로 간다.

          2. n+m>10이면 10(n+m10)층으로 간다.

          3. n+m=10이면 놀이가 끝난다.

    [2018 학년도 연세대학교 논술시험]


    (1) 주사위를 세 번 이하로 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.

    (2) 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝났다고 하자. 놀이가 끝나기 전까지 규칙 1만 적용된 경우의 수를 구하시오.

    (3) 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.

     

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    문제8. 서로소인 양의 정수 an이 주어져 있다. (, n>1). 계수들이 정수인 다항식

    f(x)=ni=0cixi=(x+a)n(xn+an)

    에 대하여 다음 물음에 답하시오.

    [2017학년도 서울대 일반전형 면접 및 구술고사]


    (1) 자연수 k, 소수 p, 그리고 p와 서로소인 자연수 m에 대하여 n=pkm이라고 하자. , k=1이면 m>1이라고 한다. 계수 cp를 구하고 cpn으로 나누어 떨어지지 않음을 보이시오.

    (2) n1보다 큰 임의의 자연수라고 하자. 이 때, f(x)의 모든 항의 계수 cin으로 나누어 떨어지면 n이 소수임을 보이시오.

     

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    9. 수직선 위의 원점에 있는 점 A에 대하여 다음과 같은 시행을 반복한다.

    n번째 시행에서 점 A는 현재 위치에 그래도 있거나, 양의 방향으로 1+(13)n만큼 움직이거나, 음의 방향으로 1+(13)n만큼 움직인다. 이 때, 각 경우가 일어날 확률은 13로 모두 같다. (, n1)

    [2019 학년도 서울대학교 일반전형 면접 및 구술고사 (인문)]


    (1) 3번째 시행을 한 후에 점 A가 정수에 놓일 확률을 구하시오.

    (2) 100번째 시행을 한 후에 점 A가 원점에 있을 확률을 구하시오.

    (3) 100번째 시행을 한 후에 점 A가 양의 실수에 놓일 확률을 구하시오.

    (4) 좌표평면 위의 원점에 있는 점 B에 대하여 다음과 같이 시행을 반복한다.


    n번째 시행에서 점 B는 현재 위치에 그래도 있거나, 동서남북 중 한 방향으로 1+(13)n만큼 움직인다. 이 때, 각 경우가 일어날 확률은 15로 모두 같다. (, n1)


    100번째 시행을 한 후에 점 B가 제1사분면 위에 있을 확률을 구하시오.

     

     

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