[더플러스수학] [3회] 2020과고 1학년 1학기 기말고사 대비

☞답안지에 학년, 계열, 반, 번호, 이름과 과목코드번호를 표기하고 해당란에 바르게 ●표한 후 답안을 작성하시오.

 

1. $\displaystyle \mathrm { A}= \left\{\, x \,|\,x>0\, \right\} $일 때, $\displaystyle \mathrm { A} $에서 $\displaystyle \mathrm { A} $로의 함수 $\displaystyle f,~g $를 $$\displaystyle f ( x)=x ^ {2} -x,~g ( x)= \sqrt {2x-1} $$라 한다. 이 때, $\displaystyle \left ( f \circ ( g \circ f) ^ {-1} \circ f ^ {-1} ) ( 6) \right . $의 값을 구하여라.[4.7점]

[2008 과고1 1학기 기말 3]

 

정답 $\displaystyle 5 $

 

 

 

2. $\displaystyle y=f ( x)= \frac {2x-5} {x-2} $의 치역이 $\displaystyle \left\{ y|y \leq 0,~y \geq 3 \right\} $일 때, $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $의 치역을 구하여라.[4.5점]

[2008 과고1 1학기 기말 4]

 

정답　$\displaystyle \left\{ y \left | 1 \leq y<2,~2<y \leq \frac {5} {2} \right\} \right . $

 

 

3. $\displaystyle 9% $의 식염수와 $\displaystyle 6% $의 식염수를 $\displaystyle 1:x $의 비로 합해서 $\displaystyle 8% $이하의 식염수를 만들려면 $\displaystyle x \geq \alpha $이 되어야 한다. $\displaystyle \alpha $의 값은 $\displaystyle \frac {p} {q} $($\displaystyle p,~q $는 서로소인 자연수)이다. 이 때, $\displaystyle p+q $의 값을 구하여라.[5.6점]

[2008 과고1 1학기 기말 5]

 

정답 $\displaystyle 3 $

$\displaystyle \alpha = \frac {1} {2} $

 

 

 

4. 정의역과 공역이 자연수 전체의 집합인 함수 $\displaystyle f $가 다음을 만족할 때, $\displaystyle f ( 4) $의 값을 구하여라.[3.5점]

[2012 과고1 1학기 기말 1]

---

     (가) 임의의 자연수 $\displaystyle x,~y $에 대하여 $\displaystyle f ( x+y)= \frac {1} {2} f ( x)f ( y) $이다.

     (나) 함수 $\displaystyle f $는 상수함수가 아니다.

     (다) $\displaystyle f ( 1)<5 $

---

 

정답 $\displaystyle 32 $

$\displaystyle f ( 1)<5 $이므로 $\displaystyle f ( 1) $이 될 수 있는 값은 $\displaystyle 1,~2,~3,~4 $이다.

(i) $\displaystyle f ( 1)=1 $일 때

$\displaystyle f ( 2)=f ( 1+1)= \frac {1} {2} f ( 1) \times f ( 1)= \frac {1} {2} $

$\displaystyle f ( 2) $는 자연수가 아니므로 성립하지 않음

(ii) $\displaystyle f ( 1)=2 $일 때

$\displaystyle f ( 2)=f ( 1+1)= \frac {1} {2} f ( 1) \times f ( 1)=2 $

$\displaystyle f ( 3)=f ( 2+1)= \frac {1} {2} f ( 2) \times f ( 1)=2 $

$\displaystyle \vdots $

$\displaystyle f ( n)=2 $

모든 자연수수 $\displaystyle n $에 대하여 $\displaystyle f ( n)=2 $인 상수함수이므로 성립하지 않음

(iii) $\displaystyle f ( 1)=3 $일 때

$\displaystyle f ( 2)=f ( 1+1)= \frac {1} {2} f ( 1) \times f ( 1)= \frac {9} {2} $

$\displaystyle f ( 2) $는 자연수가 아니므로 성립하지 않음

(iv) $\displaystyle f ( 1)=4 $일 때

$\displaystyle f ( 2)=f ( 1+1)= \frac {1} {2} f ( 1) \times f ( 1)= \frac {4 ^ {2} } {2} =8 $

$\displaystyle f ( 3)=f ( 2+1)= \frac {1} {2} f ( 2) \times f ( 1)= \frac {1} {2} \times 8 \times 4=16 $

$\displaystyle f ( 4)=f ( 3+1)= \frac {1} {2} f ( 3) \times f ( 1)= \frac {1} {2} \times 16 \times 4=32 $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle f ( 4)=32 $

 

 

 

 

5. 함수 $\displaystyle f ( x) $의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 집합 $\displaystyle \left\{ \,x \.|\, ( f \circ f) ( x)=f ( x) \right\} $의 모든 원소의 합을 구하면 $\displaystyle \frac {p} {q} $ ($\displaystyle p,~q $는 서로소인 정수)이다. 이 때, $\displaystyle p+q $의 값을 구하여라.[3.4점]

[2012 과고1 1학기 기말 1]

 

정답 $\displaystyle 23 $

근 $\displaystyle -2,~- \frac {2} {3} ,~0,~2,~ \frac {10} {3} ,~4 $

 

 

 

6. $\displaystyle 0 \leq x \leq 1 $에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x)= \frac {-x+1} {x+1} $이 다음 조건을 만족한다.

     (가) $\displaystyle f ( -x)=f ( x) $

     (나) $\displaystyle f ( x)=f ( x+2) $

함수 $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프와 직선 $\displaystyle y= \frac {1} {m} x+ \frac {1} {2m} $의 교점의 개수를 $\displaystyle g ( m) $이라 할 때, $\displaystyle g ( 10) $의 값을 구하여라.[3.5점]

[2012 과고1 1학기 기말 1]

 

정답 $\displaystyle 9 $

 

 

 

7. $\displaystyle \sqrt {3} $이 두 수 $\displaystyle \frac {x+3} {x} $와 $\displaystyle \frac {x+4} {x+1} $사이에 있도록 하는 정수 $\displaystyle x $의 값을 $\displaystyle \alpha $라 할 때, $\displaystyle \alpha + \frac {1} {\alpha } $의 값을 구하면 $\displaystyle \frac {p} {q} $ ($\displaystyle p,~q $는 서로소인 정수)이다. 이 때, $\displaystyle p+q $의 값을 구하여라[3.6점]

[2012 과고1 1학기 기말 1]

 

정답 $\displaystyle 21 $

$\displaystyle \frac {x+3} {x} =1+ \frac {3} {x} $, $\displaystyle \frac {x+4} {x+1} =1+ \frac {3} {x+1} $이므로 $\displaystyle \sqrt {3} $은 다음 부등식을 만족한다.

$\displaystyle \frac {x+4} {x+1} =1+ \frac {3} {x+1} $$\displaystyle < \sqrt {3} < $$\displaystyle \frac {x+3} {x} =1+ \frac {3} {x} $

이를 간단히 하면

$\displaystyle \frac {3 \sqrt {3} +1} {2} <x< \frac {3 \sqrt {3} +3} {2} $

이 부등식을 만족하는 정수 $\displaystyle x $는 $\displaystyle 4 $이다. 따라서 $\displaystyle \alpha =4 $

 

 

 

 

 

8. 두 함수 $\displaystyle y= \sqrt {x-[x]} ,~y=ax $ ($\displaystyle a $는 상수)의 그래프가 오직 한 점에서 만날 때, $\displaystyle a $의 최솟값을 구하면 $\displaystyle \frac {p} {q} $ ($\displaystyle p,~q $는 서로소인 자연수)이다. 이 때, $\displaystyle p+q $의 값을 구하여라.(단, $\displaystyle [x] $는 $\displaystyle x $를 넘지 않는 최대 정수이다.) [2.9점]

[2013 과고1 1학기 기말 17 주관식변형]

 

정답 $\displaystyle 3 $

$\displaystyle \frac {1} {2} \leq a \leq 1 $

주의 $\displaystyle ( 2,~1) $에서 $\displaystyle y=ax $와 $\displaystyle y= \sqrt {x-1} $이 접하므로 $\displaystyle a= \frac {1} {2} $일 때도 $\displaystyle f ( x) $와 $\displaystyle y=ax $가 $\displaystyle ( 0,~0) $에서 오직 한 점에서 만난다.

 

 

 

 

9. 함수 $$\displaystyle f ( x)= { \begin {cases} ax+b~~~~~ &( x<1)\\cx ^ {2} + \large{ \frac {5} {2} }x~~~ &( x \geq 1)\end {cases} } $$이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프와 역함수 $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $의 그래프의 교점의 개수가 $\displaystyle 3 $이고, 그 교점의 $\displaystyle x $좌표가 각각 $\displaystyle -1,~1,~2 $일 때, $\displaystyle 2a+4b-10c $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a,~b,~c $는 상수이다.) [4점]

[2019 6월 평가원 29번]

 

정답 $\displaystyle 20 $

함수 $\displaystyle f ( x) $의 역함수 $\displaystyle f ^ {-1} ( x) $가 존재하므로 $\displaystyle f ( x) $는 증가함수이거나 감소함수이다.

(ⅰ) $\displaystyle f ( x) $가 증가함수일 때

$\displaystyle f ( x) $가 증가함수이므로 두 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $와 $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $의 교점은

$\displaystyle y=x $ 위에만 존재한다.

따라서 $\displaystyle f ( -1)= -1,~f ( 1)=1,~f ( 2)=2 $이 성립한다.

주어진 조건에 대입하면

$\displaystyle f ( 1)=c+ \frac {5} {2} =1 $에서 $\displaystyle c= - \frac {3} {2} $이고 $\displaystyle f ( 2)=4c+5=2 $에서

$\displaystyle c= - \frac {3} {4} $이므로 모순이다.

(ⅱ) $\displaystyle f ( x) $가 감소함수일 때

$\displaystyle f ( x) $가 감소함수이므로 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $는 $\displaystyle y=x $와 한 점에서

만나고, $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $와 두 점에서 만난다.

두 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $와 $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $의 두 교점은 $\displaystyle y=x $에 대하여

대칭이므로

$\displaystyle y=f ( x) $는 $\displaystyle y=x $와 $\displaystyle x=1 $에서 만나고, $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $와

$\displaystyle x= -1,~2 $에서 만난다.

따라서 세 교점의 좌표는 $\displaystyle ( -1,~2),~ ( 1,~1),~ ( 2,~-1) $가 된다.

이를 주어진 조건에 대입하면

$\displaystyle f ( -1)= -a+b=2,~f ( 1)=a+b=c+ \frac {5} {2} =1,~f ( 2)=4c+5= -1 $

이다.

위의 연립방정식을 풀면

$\displaystyle a= - \frac {1} {2} ,~b= \frac {3} {2} ,~c= - \frac {3} {2} $을 얻을 수 있다.

$\displaystyle \therefore ~2a+4b-10c= -1+6+15=20 $

 

 

 

10. 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 $\displaystyle f ( x)=ax ^ {2} +bx $가 다음 조건을 만족시킨다.

    (가) $\displaystyle f ( -1)+f ( 1)<0 $

    (나) 임의의 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in \mathbb R $에 대하여$\displaystyle -1 \leq x _ {1} <x _ {2} \leq 1 $이면 $\displaystyle -2<f ( x _ {1} )<f ( x _ {2} )<2 $이다.

실수 $\displaystyle a,~b $에 대한 설명으로 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 골라 해당되는 번호를 모두 합하여라. [2.9점]

[2013 과고1 1학기 기말 22]

---

     3. $\displaystyle a ^ {2} >b ^ {2} $

     5. $\displaystyle 2a+b \geq 0 $

     7. 방정식 $\displaystyle f ( x)=0 $의 두 근의 합은 $\displaystyle 2 $보다 작다.

---

 

정답 $\displaystyle 5 $

 

 

 

 

 

11. 열린구간 $\displaystyle ( 0,~4) $에서 정의된 함수 $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프가 그림과 같다. $$\displaystyle g ( x)= \sqrt {f ( x)-x} ,~h ( x)=2f ( x)-2x-1 $$일 때, 두 그래프의 교점의 개수를 구하여라. [2.8점]

[2013 과고1 1학기 기말 20 주관식변형]

 

 

정답 $\displaystyle 8 $

 

 

12. 오른쪽 그림과 같이$$\displaystyle \mathrm { \overline {AB}} =5 $, $\displaystyle \mathrm { \overline {BC}} =12 $, $\displaystyle \mathrm { \overline {CA}} =13 $$인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm { ABC} $의 내부의 한 점 $\displaystyle \mathrm { P} $에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm { D,~E,~F} $라 할 때 $\displaystyle \frac {5} {\overline {\mathrm { PD }} } + \frac {12} {\overline {\mathrm { PE } }} + \frac {13} {\overline {\mathrm { PF} } } $의 최솟값을 구하시오.

 

 

정답 $\displaystyle {15} $

오른쪽 그림에서 $\displaystyle \mathrm { \overline {PD}} = a $, $\displaystyle \mathrm { \overline {PE}} = b $, $\displaystyle \mathrm { \overline {PF} }= c $라 하면

$\displaystyle \mathrm { \triangle PAB+ \triangle PBC+ \triangle PCA= \triangle ABC} $ 이므로

$\displaystyle \frac {1} {2} ( 5a+12b+13c)= \frac {1} {2} \times 5 \times 12 $

$\displaystyle \therefore~ 5a+12b+13c=60 $

$\displaystyle a,b,c $는 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

$\displaystyle \left\{ ( \sqrt {5a} ) ^ {2} + ( \sqrt {12b} ) ^ {2} + ( \sqrt {13c} ) ^ {2} \right\} $

$\displaystyle \times \left\{ \left ( \sqrt { \frac {5} {a} } \right ) ^ {2} + \left ( \sqrt { \frac {12} {b} } \right ) ^ {2} + \left ( \sqrt { \frac {13} {c} } \right ) ^ {2} \right\} $

$\displaystyle \geq \left ( \sqrt {5a} \times \sqrt { \frac {5} {a} } + \sqrt {12b} \times \sqrt {13c} \times \sqrt { \frac {13} {c} } \right ) ^ {2} $

(단, 등호는 $\displaystyle a=b=c $일 때 성립)

$\displaystyle 60 \left ( \frac {5} {a} + \frac {12} {b} + \frac {13} {c} \right ) \geq ( 5+12+13) ^ {2} =900 $

$\displaystyle \therefore \frac {5} {a} + \frac {12} {b} + \frac {13} {c} \geq 15 $

따라서 구하는 최솟값은 $\displaystyle 15 $이다.

 

 

13. [그림$\displaystyle 1 $]과 같이 길이가 $\displaystyle 40 $인 직사각형 모양의 종이띠 $\displaystyle \mathrm { ABCD} $를 변 $\displaystyle \mathrm { AB} $와 변 $\displaystyle \mathrm { DC} $가 서로 맞닿도록 [그림$\displaystyle 2 $]와 같은 모양으로 접어 붙였다.

[그 림$\displaystyle 2 $]에서 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm { P} $와 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm { Q} $ 사이의 거리를 $\displaystyle l $이라 할 때, $\displaystyle l ^ {2} $의 최솟값을 구하시오. (단, [그림$\displaystyle 2 $]의 모든 면은 서로 수직이거나 평행이다.)

 

 

정답 $\displaystyle {200} $

오른쪽 그림과 같이 종이가 접히는 선의 한 쪽 끝점을 각각 $\displaystyle \mathrm { E,~F,~G,~H,~I }$라 하면

$\displaystyle \mathrm { \overline {EF} + \overline {GH} + \overline {IP} = \overline {QB} }$,

$\displaystyle \mathrm { \overline {QE} + \overline {FG} + \overline {HI} = \overline {BP} }$

$\displaystyle \mathrm { \overline {QB}} =a $, $\displaystyle \mathrm { \overline {BP}} =b $

라 하면 종이띠의 길이가 $\displaystyle 40 $이므로

$\displaystyle 2 ( a+b)=40 $ $\displaystyle \therefore a+b=20 $

$\displaystyle l ^ {2} =a ^ {2} +b ^ {2} = ( a+b) ^ {2} -2ab=400-2ab $이므로 $\displaystyle ab $의 값이 최대일 때 $\displaystyle l ^ {2} $의 값은 최소이다.

이때, $\displaystyle a>0 $, $\displaystyle b>0 $이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

$\displaystyle 20=a+b \geq 2 \sqrt {ab} $ (단, 등호는 $\displaystyle a=b $일 때 성립)

$\displaystyle \sqrt {ab} \leq 10 $ $\displaystyle \therefore ab \leq 100 $

따라서 $\displaystyle ab $ 의 최댓값이 $\displaystyle 100 $이므로 $\displaystyle l ^ {2} $의 최솟값은

$\displaystyle 400-2 \times 100=200 $

[다른 풀이]

$\displaystyle \mathrm { \overline {QB}} =a $, $\displaystyle \mathrm { \overline {BP}} =b $라 하면 $\displaystyle a ^ {2} +b ^ {2} =l ^ {2} $

또한, 종이띠의 길이가 $\displaystyle 40 $이므로

$\displaystyle 2 ( a+b)=40 $ $\displaystyle \therefore a+b=20 $

$\displaystyle a,b $는 실수 이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

$\displaystyle ( 1 ^ {2} +1 ^ {2} ) ( a ^ {2} +b ^ {2} ) \geq ( a+b) ^ {2} $

(단, 등호는 $\displaystyle a=b $일 때 성립)

$\displaystyle 2l ^ {2} \geq 20 ^ {2} $ $\displaystyle \therefore l ^ {2} \geq 200 $

따라서 $\displaystyle l ^ {2} $의 최솟값은 $\displaystyle 200 $이다.

 

 

 

 

14. $\displaystyle a,~b,~c $는 $\displaystyle ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)=8 $을 만족하는 양수이다. 이 때, $\displaystyle abc \leq 1 $임을 증명하여라.

 

정답 풀이참조

$\displaystyle 1+abc+ ( ab+bc+ca)+ ( a+b+c)=8 $에서 $\displaystyle a,~b,~c>0 $이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

$\displaystyle ab+bc+ca \geq 3 \root {3} \of {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} } $ $\displaystyle a+b+c \geq 3 \root {3} \of {abc} $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle 8 \geq 1+abc+3 \root {3} \of {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} } +3 \root {3} \of {abc} = ( 1+ \root {3} \of {abc} ) ^ {3} $

$\displaystyle \therefore $$\displaystyle 1+ \root {3} \of {abc} \leq 2 $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle abc \leq 1 $ (단, 등호는 $\displaystyle a=b=c=1 $일 때 성립)

 

 

 

 

15. 세 실수 $\displaystyle a,~b,~c ( a<b<c) $를 원소로 갖는 집합 $\displaystyle X= \left\{ a,~b,~c \right\} $에 대하여 함수 $\displaystyle f~:~X \rightarrow X $를 $$\displaystyle f ( x)= { \begin {cases} -1 ( x<0)\\2x-1 ( 0 \leq x<2)\\3 ( x \geq 2)\end {cases} } $$라 하자. 함수 $\displaystyle f $가 항등함수일 때, $\displaystyle a+2b+3c $의 값을 구하시오.

 

 

정답 $\displaystyle {10} $

함수 $\displaystyle f $가 항등함수이므로 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$\displaystyle y= { \begin {cases} -1 ( x<0)\\2x-1 ( 0 \leq x<2)\\3 ( x \geq 2)\end {cases} } $

의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x $의 교점의 $\displaystyle x $좌표만이 집합 $\displaystyle X $의 원소로 가능하다.

이때 교점의 $\displaystyle x $좌표가 $\displaystyle -1,1,3 $이므로 원소의 개수가 $\displaystyle 3 $인 집합 $\displaystyle X $가 될 수 있는 것은 $\displaystyle X= \left\{ -1,1,3 \right\} $뿐이다.

$\displaystyle \therefore a+2b+3c= ( -1)+2 \times 1+3 \times 3=10 $

[다른 풀이]

함수 $\displaystyle f:X \rightarrow X $가 항등함수이므로 $\displaystyle 0 \leq k<2 $인 집합 $\displaystyle X $의 원소 $\displaystyle k $에 대하여 $\displaystyle f ( k)=k $이다.

$\displaystyle 2k-1=k $이므로 $\displaystyle k=1 $이다.

$\displaystyle a<b<c $이므로 집합 $\displaystyle X= \left\{ -1,1,3 \right\} $에 대하여

$\displaystyle b=k=1,a=-1,c=3 $이다.

따라서 $\displaystyle f ( -1)=-1,f ( 1)=1,f ( 3)=3 $이다.

$\displaystyle \therefore a+2b+3c=10 $

 

 

16. 지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm { 24m} $인 원형의 방 안에 깔아 놓을 직사각형 모양의 깔개를 제작하려고 한다. 직사각형의 둘레가 $\displaystyle \mathrm { 60m} $이라고 할 때, 깔개의 넓이가 최소가 되는 가로와 세로 길이의 차를 구하면 $\displaystyle p \sqrt {7} $($\displaystyle p $는 상수)이다. 이 때, $\displaystyle p $의 값을 구하시오. (단, (가로의 길이)$\displaystyle \geq $(세로의 길이))

 

 

[정답] $\displaystyle 6 $

가로의 길이를 $\displaystyle y $, 세로의 길이를 $\displaystyle x $라 하면

$\displaystyle x+y=30 $ $\displaystyle \cdots \cdots $①

직사각형이 지름이 $\displaystyle 24 $인 원의 경계 및 내부에 있어야 하므로

$\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} \leq 24 ^ {2} $ $\displaystyle \cdots \cdots $②

또, 가로의 길이가 세로의 길이 이상이므로

$\displaystyle y \geq x $, $\displaystyle 30-x \geq x $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle 0<x \leq 15 $ $\displaystyle \cdots \cdots $③

또, ①, ②에서

$\displaystyle x ^ {2} + ( 30-x) ^ {2} \leq 24 ^ {2} $, $\displaystyle 2x ^ {2} -60x+30 ^ {2} -24 ^ {2} \leq 0 $

$\displaystyle x ^ {2} -30x+162 \leq 0 $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15+3 \sqrt {7} $ $\displaystyle \cdots \cdots $④

③, ④의 공통범위를 구하면

$\displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15 $

직사각형의 넓이를 $\displaystyle S $라 하면

$\displaystyle S $$\displaystyle =xy=x ( 30-x) $ $\displaystyle =-x ^ {2} +30x $ ($\displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15 $)

꼭짓점의 $\displaystyle x $좌표가 $\displaystyle 15 $이므로 $\displaystyle x=15-3 \sqrt {7} $일 때 최소이다. 따라서

$\displaystyle x=15-3 \sqrt {7} $, $\displaystyle y=15+3 \sqrt {7} $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle y-x=6 \sqrt {7} $

 

 

 

17. 두 함수 $\displaystyle f,~g $는 모두 정의역과 공역이 집합 $\displaystyle X $이고,  $$\displaystyle f ( x)=x ( x ^ {2} +ax-a),~g ( x)=x $$이다. $\displaystyle 2 \in X $일 때, 두 함수 $\displaystyle f,~g $가 서로 같도록 하는 실수 전체의 집합의 부분집합 $\displaystyle X $의 개수를 구하시오. (단, $\displaystyle a $는 상수이다.)

 

 

정답 $\displaystyle {4} $

$\displaystyle f ( 2)=2 ( a+4)=2 $에서 $\displaystyle a=-3 $이다.

방정식 $\displaystyle f ( x)=g ( x) $, 즉 $\displaystyle x ( x ^ {2} -3x+3)=x $에서

$\displaystyle x ( x-1) ( x-2)=0,x=0,1,2 $

$\displaystyle \left\{ 2 \right\} \subset X \subset \left\{ 0,1,2 \right\} $를 만족시키는 집합 $\displaystyle X $의 개수는 $\displaystyle 2 ^ {2} =4 $이다.

 

 

18. 두 사람은 각각 $\displaystyle 1,2,3,4 $가 하나씩 적힌 카드를 총 $\displaystyle 4 $장 가지고 있고, 다음 규칙에 따라서 게임을 $\displaystyle 4 $번 하려고 한다.

---

두 사람이 각각 가지고 있는 카드 중 하나를 꺼내 카드에 적힌 수를 비교해서 더 큰 수가 나온 사람이 이기고 서로 같은 수가 나오면 비기는 것으로 한다.

---

$\displaystyle 4 $번의 게임에서 두 사람이 비기는 횟수가 $\displaystyle 1 $이 되는 경우의 수를 구하여라. (단, 한 번 사용한 카드는 다시 사용하지 않는다.)

 

 

정답 $\displaystyle 192 $

먼저 무승부가 발생할 카드의 수를 고르는 경우의 수는 $\displaystyle {} _ {4} \mathrm { C }_ {1} $이다.

두 사람을 $\displaystyle \mathrm { A,~B }$라 하고 남은 $\displaystyle 3 $개의 카드를 $\displaystyle 1,2,3 $이라 할 때, 비기지 안도록 카드를 꺼내는 경우는 $\displaystyle \mathrm { A} $가 $\displaystyle 1,2,3 $을 순서대로 꺼낼 때, $\displaystyle \mathrm { B} $가 $\displaystyle 2,3,1 $을 순서대로 꺼내거나 $\displaystyle 3,~1,~2 $를 순서대로 꺼내는 경우 뿐이므로 그 경우의 수는 $\displaystyle 2 $이다.

또한 전체 게임에서 $\displaystyle \mathrm { A} $가 $\displaystyle 4 $장의 카드를 낼 순서를 결정하면 $\displaystyle \mathrm { B} $가 카드를 낼 순서는 경정되므로

$\displaystyle \mathrm { A} $가 $\displaystyle 4 $장의 카드를 낼 순서를 정하는 경우의 수는 $\displaystyle 4! $

따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _ {4} \mathrm { C }_ {1} \times 2 \times 4!=192 $

 

 

 

19. 집합 $\displaystyle S= \left\{ 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 \right\} $의 두 부분집합 $\displaystyle X,~Y $에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $\displaystyle f \,:\,X \rightarrow Y $의 개수를 구하여라.

---

(가) $\displaystyle X \cup Y=S,~X \cap Y= \phi $

(나) 집합 $\displaystyle X $의 원소의 개수는 $\displaystyle 2 $ 이상이다.

(다) 집합 $\displaystyle X $의 임의의 서로 다른 두 원소 $\displaystyle x _ {1},~ x _ {2} $에 대하여 $\displaystyle f ( x _ {1} ) \neq f ( x _ {2} ) $이다.

---

 

 

정답 $\displaystyle 1260 $

조건 (가)에서 $\displaystyle X \cup Y=S,X \\cap Y= EMPTYSET $이므로

$\displaystyle n ( X)+n ( Y)=7 $이고 조건 (나), (다)에서 함수 $\displaystyle f $는 일대일 함수이므로 $\displaystyle 2 \leq n ( X) \leq n ( Y) $이어야 한다.

따라서 $\displaystyle n ( X)=2 $ 또는 $\displaystyle n ( X)=3 $이다.

(ⅰ) $\displaystyle n ( X)=2 $일 때집합 $\displaystyle X $를 구하는 방법의 수는 $\displaystyle {} _ {7} \mathrm { C} _ {2} =21 $일대일함수 $\displaystyle f $를 만드는 방법의 수는 $\displaystyle {} _ {5} \mathrm { P} _ {2} =20 $

(ⅱ) $\displaystyle n ( X)=3 $일 때집합 $\displaystyle X $를 구성하는 방법의 수는 $\displaystyle {} _ {7} \mathrm { C }_ {3} =35 $일대일함수 $\displaystyle f $를 만드는 방법의 수는 $\displaystyle {} _ {4} \mathrm { P} _ {3} =24 $

따라서 구하는 함수 $\displaystyle f:X \rightarrow Y $의 개수는

$\displaystyle 21 \times 20+35 \times 24=1260 $

 

 

 

 

20.무리함수$$\displaystyle f ( x)=2 \sqrt {x-a} +2 ~( 2 \leq a<3) $$에 대하여 함수 $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프와 그 역함수 $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $의 그래프가 만나는 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이가 $\displaystyle 8 \pi $일 때, 상수 $\displaystyle a $의 값을 구하여라.

 

 

정답 $\displaystyle 2 $

함수 $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프와 함수 $\displaystyle y=f ^ {-1} ( x) $의 그래프의 교점은 함수 $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x $의 교점과 같다.

즉, $\displaystyle 2 \sqrt {x-a} +2=x $에서 $\displaystyle 2 \sqrt {x-a} =x-2 $

양변을 제곱하면 $\displaystyle 4 ( x-a)=x ^ {2} -4x+4 $

$\displaystyle x ^ {2} -8x+4a+4=0 $ $\displaystyle \cdots \cdots $ ㉠

㉠의 서로 다른 두 실근을 $\displaystyle \alpha , \beta ( \alpha < \beta ) $라 하면

근과 계수의 관계에 의하여

$\displaystyle \alpha + \beta =8, \alpha \beta =4a+4 $

이때 두 함수의 그래프의 두 교점의 좌표는 각각 $\displaystyle ( \alpha , \alpha ), ( \beta , \beta ) $이고, 이 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이가 $\displaystyle 8 \pi = ( 2 \sqrt {2} ) ^ {2} \pi $이므로 이 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle 4 \sqrt {2} $이다.

$\displaystyle \sqrt { ( \beta - \alpha ) ^ {2} + ( \beta - \alpha ) ^ {2} } =4 \sqrt {2} $

$\displaystyle \beta - \alpha =4 ( \because \alpha < \beta ) $

따라서 $\displaystyle { \begin {cases} \alpha + \beta =8\\\beta - \alpha =4\end {cases} } $에서 $\displaystyle \alpha =2, \beta =6 $이다.

$\displaystyle 12=4a+4 $이므로 $\displaystyle a=2 $