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[더플러스수학] [3회] 2020과고 1학년 1학기 기말고사 대비과학고 2020. 8. 2. 14:25
☞답안지에 학년, 계열, 반, 번호, 이름과 과목코드번호를 표기하고 해당란에 바르게 ●표한 후 답안을 작성하시오.
1. A={x|x>0}일 때, A에서 A로의 함수 f, g를 f(x)=x2−x, g(x)=√2x−1라 한다. 이 때, (f∘(g∘f)−1∘f−1)(6)의 값을 구하여라.[4.7점]
[2008 과고1 1학기 기말 3]
정답 5
2. y=f(x)=2x−5x−2의 치역이 {y|y≤0, y≥3}일 때, y=f−1(x)의 치역을 구하여라.[4.5점]
[2008 과고1 1학기 기말 4]
정답 {y|1≤y<2, 2<y≤52}
3. 9의 식염수와 6의 식염수를 1:x의 비로 합해서 8이하의 식염수를 만들려면 x≥α이 되어야 한다. α의 값은 pq(p, q는 서로소인 자연수)이다. 이 때, p+q의 값을 구하여라.[5.6점]
[2008 과고1 1학기 기말 5]
정답 3
α=12
4. 정의역과 공역이 자연수 전체의 집합인 함수 f가 다음을 만족할 때, f(4)의 값을 구하여라.[3.5점]
[2012 과고1 1학기 기말 1]
(가) 임의의 자연수 x, y에 대하여 f(x+y)=12f(x)f(y)이다.
(나) 함수 f는 상수함수가 아니다.
(다) f(1)<5
정답 32
f(1)<5이므로 f(1)이 될 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이다.
(i) f(1)=1일 때
f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=12
f(2)는 자연수가 아니므로 성립하지 않음
(ii) f(1)=2일 때
f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=2
f(3)=f(2+1)=12f(2)×f(1)=2
⋮
f(n)=2
모든 자연수수 n에 대하여 f(n)=2인 상수함수이므로 성립하지 않음
(iii) f(1)=3일 때
f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=92
f(2)는 자연수가 아니므로 성립하지 않음
(iv) f(1)=4일 때
f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=422=8
f(3)=f(2+1)=12f(2)×f(1)=12×8×4=16
f(4)=f(3+1)=12f(3)×f(1)=12×16×4=32
∴ \displaystyle f ( 4)=32
5. 함수 \displaystyle f ( x) 의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 집합 \displaystyle \left\{ \,x \.|\, ( f \circ f) ( x)=f ( x) \right\} 의 모든 원소의 합을 구하면 \displaystyle \frac {p} {q} (\displaystyle p,~q 는 서로소인 정수)이다. 이 때, \displaystyle p+q 의 값을 구하여라.[3.4점]
[2012 과고1 1학기 기말 1]
정답 \displaystyle 23
근 \displaystyle -2,~- \frac {2} {3} ,~0,~2,~ \frac {10} {3} ,~4
6. \displaystyle 0 \leq x \leq 1 에서 정의된 함수 \displaystyle f ( x)= \frac {-x+1} {x+1} 이 다음 조건을 만족한다.
(가) \displaystyle f ( -x)=f ( x)
(나) \displaystyle f ( x)=f ( x+2)
함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 직선 \displaystyle y= \frac {1} {m} x+ \frac {1} {2m} 의 교점의 개수를 \displaystyle g ( m) 이라 할 때, \displaystyle g ( 10) 의 값을 구하여라.[3.5점]
[2012 과고1 1학기 기말 1]
정답 \displaystyle 9
7. \displaystyle \sqrt {3} 이 두 수 \displaystyle \frac {x+3} {x} 와 \displaystyle \frac {x+4} {x+1} 사이에 있도록 하는 정수 \displaystyle x 의 값을 \displaystyle \alpha 라 할 때, \displaystyle \alpha + \frac {1} {\alpha } 의 값을 구하면 \displaystyle \frac {p} {q} (\displaystyle p,~q 는 서로소인 정수)이다. 이 때, \displaystyle p+q 의 값을 구하여라[3.6점]
[2012 과고1 1학기 기말 1]
정답 \displaystyle 21
\displaystyle \frac {x+3} {x} =1+ \frac {3} {x} , \displaystyle \frac {x+4} {x+1} =1+ \frac {3} {x+1} 이므로 \displaystyle \sqrt {3} 은 다음 부등식을 만족한다.
\displaystyle \frac {x+4} {x+1} =1+ \frac {3} {x+1} \displaystyle < \sqrt {3} < \displaystyle \frac {x+3} {x} =1+ \frac {3} {x}
이를 간단히 하면
\displaystyle \frac {3 \sqrt {3} +1} {2} <x< \frac {3 \sqrt {3} +3} {2}
이 부등식을 만족하는 정수 \displaystyle x 는 \displaystyle 4 이다. 따라서 \displaystyle \alpha =4
8. 두 함수 \displaystyle y= \sqrt {x-[x]} ,~y=ax (\displaystyle a 는 상수)의 그래프가 오직 한 점에서 만날 때, \displaystyle a 의 최솟값을 구하면 \displaystyle \frac {p} {q} (\displaystyle p,~q 는 서로소인 자연수)이다. 이 때, \displaystyle p+q 의 값을 구하여라.(단, \displaystyle [x] 는 \displaystyle x 를 넘지 않는 최대 정수이다.) [2.9점]
[2013 과고1 1학기 기말 17 주관식변형]
정답 \displaystyle 3
\displaystyle \frac {1} {2} \leq a \leq 1
주의 \displaystyle ( 2,~1) 에서 \displaystyle y=ax 와 \displaystyle y= \sqrt {x-1} 이 접하므로 \displaystyle a= \frac {1} {2} 일 때도 \displaystyle f ( x) 와 \displaystyle y=ax 가 \displaystyle ( 0,~0) 에서 오직 한 점에서 만난다.
9. 함수 \displaystyle f ( x)= { \begin {cases} ax+b~~~~~ &( x<1)\\cx ^ {2} + \large{ \frac {5} {2} }x~~~ &( x \geq 1)\end {cases} } 이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 역함수 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 그래프의 교점의 개수가 \displaystyle 3 이고, 그 교점의 \displaystyle x 좌표가 각각 \displaystyle -1,~1,~2 일 때, \displaystyle 2a+4b-10c 의 값을 구하시오. (단, \displaystyle a,~b,~c 는 상수이다.) [4점]
[2019 6월 평가원 29번]
정답 \displaystyle 20
함수 \displaystyle f ( x) 의 역함수 \displaystyle f ^ {-1} ( x) 가 존재하므로 \displaystyle f ( x) 는 증가함수이거나 감소함수이다.
(ⅰ) \displaystyle f ( x) 가 증가함수일 때
\displaystyle f ( x) 가 증가함수이므로 두 곡선 \displaystyle y=f ( x) 와 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 교점은
\displaystyle y=x 위에만 존재한다.
따라서 \displaystyle f ( -1)= -1,~f ( 1)=1,~f ( 2)=2 이 성립한다.
주어진 조건에 대입하면
\displaystyle f ( 1)=c+ \frac {5} {2} =1 에서 \displaystyle c= - \frac {3} {2} 이고 \displaystyle f ( 2)=4c+5=2 에서
\displaystyle c= - \frac {3} {4} 이므로 모순이다.
(ⅱ) \displaystyle f ( x) 가 감소함수일 때
\displaystyle f ( x) 가 감소함수이므로 곡선 \displaystyle y=f ( x) 는 \displaystyle y=x 와 한 점에서
만나고, \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 와 두 점에서 만난다.
두 곡선 \displaystyle y=f ( x) 와 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 두 교점은 \displaystyle y=x 에 대하여
대칭이므로
\displaystyle y=f ( x) 는 \displaystyle y=x 와 \displaystyle x=1 에서 만나고, \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 와
\displaystyle x= -1,~2 에서 만난다.
따라서 세 교점의 좌표는 \displaystyle ( -1,~2),~ ( 1,~1),~ ( 2,~-1) 가 된다.
이를 주어진 조건에 대입하면
\displaystyle f ( -1)= -a+b=2,~f ( 1)=a+b=c+ \frac {5} {2} =1,~f ( 2)=4c+5= -1
이다.
위의 연립방정식을 풀면
\displaystyle a= - \frac {1} {2} ,~b= \frac {3} {2} ,~c= - \frac {3} {2} 을 얻을 수 있다.
\displaystyle \therefore ~2a+4b-10c= -1+6+15=20
10. 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 \displaystyle f ( x)=ax ^ {2} +bx 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \displaystyle f ( -1)+f ( 1)<0
(나) 임의의 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in \mathbb R $에 대하여\displaystyle -1 \leq x _ {1} <x _ {2} \leq 1 이면 \displaystyle -2<f ( x _ {1} )<f ( x _ {2} )<2 이다.
실수 \displaystyle a,~b 에 대한 설명으로 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 골라 해당되는 번호를 모두 합하여라. [2.9점]
[2013 과고1 1학기 기말 22]
3. \displaystyle a ^ {2} >b ^ {2}
5. \displaystyle 2a+b \geq 0
7. 방정식 \displaystyle f ( x)=0 의 두 근의 합은 \displaystyle 2 보다 작다.
정답 \displaystyle 5
11. 열린구간 \displaystyle ( 0,~4) 에서 정의된 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프가 그림과 같다. \displaystyle g ( x)= \sqrt {f ( x)-x} ,~h ( x)=2f ( x)-2x-1 일 때, 두 그래프의 교점의 개수를 구하여라. [2.8점]
[2013 과고1 1학기 기말 20 주관식변형]
정답 \displaystyle 8
12. 오른쪽 그림과 같이$\displaystyle \mathrm { \overline {AB}} =5 , \displaystyle \mathrm { \overline {BC}} =12 , \displaystyle \mathrm { \overline {CA}} =13 $인 직각삼각형 \displaystyle \mathrm { ABC} 의 내부의 한 점 \displaystyle \mathrm { P} 에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 \displaystyle \mathrm { D,~E,~F} 라 할 때 \displaystyle \frac {5} {\overline {\mathrm { PD }} } + \frac {12} {\overline {\mathrm { PE } }} + \frac {13} {\overline {\mathrm { PF} } } 의 최솟값을 구하시오.
정답 \displaystyle {15}
오른쪽 그림에서 \displaystyle \mathrm { \overline {PD}} = a , \displaystyle \mathrm { \overline {PE}} = b , \displaystyle \mathrm { \overline {PF} }= c 라 하면
\displaystyle \mathrm { \triangle PAB+ \triangle PBC+ \triangle PCA= \triangle ABC} 이므로
\displaystyle \frac {1} {2} ( 5a+12b+13c)= \frac {1} {2} \times 5 \times 12
\displaystyle \therefore~ 5a+12b+13c=60
\displaystyle a,b,c 는 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여
\displaystyle \left\{ ( \sqrt {5a} ) ^ {2} + ( \sqrt {12b} ) ^ {2} + ( \sqrt {13c} ) ^ {2} \right\}
\displaystyle \times \left\{ \left ( \sqrt { \frac {5} {a} } \right ) ^ {2} + \left ( \sqrt { \frac {12} {b} } \right ) ^ {2} + \left ( \sqrt { \frac {13} {c} } \right ) ^ {2} \right\}
\displaystyle \geq \left ( \sqrt {5a} \times \sqrt { \frac {5} {a} } + \sqrt {12b} \times \sqrt {13c} \times \sqrt { \frac {13} {c} } \right ) ^ {2}
(단, 등호는 \displaystyle a=b=c 일 때 성립)
\displaystyle 60 \left ( \frac {5} {a} + \frac {12} {b} + \frac {13} {c} \right ) \geq ( 5+12+13) ^ {2} =900
\displaystyle \therefore \frac {5} {a} + \frac {12} {b} + \frac {13} {c} \geq 15
따라서 구하는 최솟값은 \displaystyle 15 이다.
13. [그림\displaystyle 1 ]과 같이 길이가 \displaystyle 40 인 직사각형 모양의 종이띠 \displaystyle \mathrm { ABCD} 를 변 \displaystyle \mathrm { AB} 와 변 \displaystyle \mathrm { DC} 가 서로 맞닿도록 [그림\displaystyle 2 ]와 같은 모양으로 접어 붙였다.
[그 림\displaystyle 2 ]에서 꼭짓점 \displaystyle \mathrm { P} 와 꼭짓점 \displaystyle \mathrm { Q} 사이의 거리를 \displaystyle l 이라 할 때, \displaystyle l ^ {2} 의 최솟값을 구하시오. (단, [그림\displaystyle 2 ]의 모든 면은 서로 수직이거나 평행이다.)
정답 \displaystyle {200}
오른쪽 그림과 같이 종이가 접히는 선의 한 쪽 끝점을 각각 \displaystyle \mathrm { E,~F,~G,~H,~I }라 하면
\displaystyle \mathrm { \overline {EF} + \overline {GH} + \overline {IP} = \overline {QB} },
\displaystyle \mathrm { \overline {QE} + \overline {FG} + \overline {HI} = \overline {BP} }
\displaystyle \mathrm { \overline {QB}} =a , \displaystyle \mathrm { \overline {BP}} =b
라 하면 종이띠의 길이가 \displaystyle 40 이므로
\displaystyle 2 ( a+b)=40 \displaystyle \therefore a+b=20
\displaystyle l ^ {2} =a ^ {2} +b ^ {2} = ( a+b) ^ {2} -2ab=400-2ab 이므로 \displaystyle ab 의 값이 최대일 때 \displaystyle l ^ {2} 의 값은 최소이다.
이때, \displaystyle a>0 , \displaystyle b>0 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
\displaystyle 20=a+b \geq 2 \sqrt {ab} (단, 등호는 \displaystyle a=b 일 때 성립)
\displaystyle \sqrt {ab} \leq 10 \displaystyle \therefore ab \leq 100
따라서 \displaystyle ab 의 최댓값이 \displaystyle 100 이므로 \displaystyle l ^ {2} 의 최솟값은
\displaystyle 400-2 \times 100=200
[다른 풀이]
\displaystyle \mathrm { \overline {QB}} =a , \displaystyle \mathrm { \overline {BP}} =b 라 하면 \displaystyle a ^ {2} +b ^ {2} =l ^ {2}
또한, 종이띠의 길이가 \displaystyle 40 이므로
\displaystyle 2 ( a+b)=40 \displaystyle \therefore a+b=20
\displaystyle a,b 는 실수 이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여
\displaystyle ( 1 ^ {2} +1 ^ {2} ) ( a ^ {2} +b ^ {2} ) \geq ( a+b) ^ {2}
(단, 등호는 \displaystyle a=b 일 때 성립)
\displaystyle 2l ^ {2} \geq 20 ^ {2} \displaystyle \therefore l ^ {2} \geq 200
따라서 \displaystyle l ^ {2} 의 최솟값은 \displaystyle 200 이다.
14. \displaystyle a,~b,~c 는 \displaystyle ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)=8 을 만족하는 양수이다. 이 때, \displaystyle abc \leq 1 임을 증명하여라.
정답 풀이참조
\displaystyle 1+abc+ ( ab+bc+ca)+ ( a+b+c)=8 에서 \displaystyle a,~b,~c>0 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
\displaystyle ab+bc+ca \geq 3 \root {3} \of {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} } \displaystyle a+b+c \geq 3 \root {3} \of {abc}
\displaystyle \therefore \displaystyle 8 \geq 1+abc+3 \root {3} \of {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} } +3 \root {3} \of {abc} = ( 1+ \root {3} \of {abc} ) ^ {3}
\displaystyle \therefore \displaystyle 1+ \root {3} \of {abc} \leq 2
\displaystyle \therefore \displaystyle abc \leq 1 (단, 등호는 \displaystyle a=b=c=1 일 때 성립)
15. 세 실수 \displaystyle a,~b,~c ( a<b<c) 를 원소로 갖는 집합 \displaystyle X= \left\{ a,~b,~c \right\} 에 대하여 함수 \displaystyle f~:~X \rightarrow X 를 $\displaystyle f ( x)= { \begin {cases} -1 ( x<0)\\2x-1 ( 0 \leq x<2)\\3 ( x \geq 2)\end {cases} } $라 하자. 함수 \displaystyle f 가 항등함수일 때, \displaystyle a+2b+3c 의 값을 구하시오.
정답 \displaystyle {10}
함수 \displaystyle f 가 항등함수이므로 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
\displaystyle y= { \begin {cases} -1 ( x<0)\\2x-1 ( 0 \leq x<2)\\3 ( x \geq 2)\end {cases} }
의 그래프와 직선 \displaystyle y=x 의 교점의 \displaystyle x 좌표만이 집합 \displaystyle X 의 원소로 가능하다.
이때 교점의 \displaystyle x 좌표가 \displaystyle -1,1,3 이므로 원소의 개수가 \displaystyle 3 인 집합 \displaystyle X 가 될 수 있는 것은 \displaystyle X= \left\{ -1,1,3 \right\} 뿐이다.
\displaystyle \therefore a+2b+3c= ( -1)+2 \times 1+3 \times 3=10
[다른 풀이]
함수 \displaystyle f:X \rightarrow X 가 항등함수이므로 \displaystyle 0 \leq k<2 인 집합 \displaystyle X 의 원소 \displaystyle k 에 대하여 \displaystyle f ( k)=k 이다.
\displaystyle 2k-1=k 이므로 \displaystyle k=1 이다.
\displaystyle a<b<c 이므로 집합 \displaystyle X= \left\{ -1,1,3 \right\} 에 대하여
\displaystyle b=k=1,a=-1,c=3 이다.
따라서 \displaystyle f ( -1)=-1,f ( 1)=1,f ( 3)=3 이다.
\displaystyle \therefore a+2b+3c=10
16. 지름의 길이가 \displaystyle \mathrm { 24m} 인 원형의 방 안에 깔아 놓을 직사각형 모양의 깔개를 제작하려고 한다. 직사각형의 둘레가 \displaystyle \mathrm { 60m} 이라고 할 때, 깔개의 넓이가 최소가 되는 가로와 세로 길이의 차를 구하면 \displaystyle p \sqrt {7} (\displaystyle p 는 상수)이다. 이 때, \displaystyle p 의 값을 구하시오. (단, (가로의 길이)\displaystyle \geq (세로의 길이))
[정답] \displaystyle 6
가로의 길이를 \displaystyle y , 세로의 길이를 \displaystyle x 라 하면
\displaystyle x+y=30 \displaystyle \cdots \cdots ①
직사각형이 지름이 \displaystyle 24 인 원의 경계 및 내부에 있어야 하므로
\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} \leq 24 ^ {2} \displaystyle \cdots \cdots ②
또, 가로의 길이가 세로의 길이 이상이므로
\displaystyle y \geq x , \displaystyle 30-x \geq x
\displaystyle \therefore \displaystyle 0<x \leq 15 \displaystyle \cdots \cdots ③
또, ①, ②에서
\displaystyle x ^ {2} + ( 30-x) ^ {2} \leq 24 ^ {2} , \displaystyle 2x ^ {2} -60x+30 ^ {2} -24 ^ {2} \leq 0
\displaystyle x ^ {2} -30x+162 \leq 0
\displaystyle \therefore \displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15+3 \sqrt {7} \displaystyle \cdots \cdots ④
③, ④의 공통범위를 구하면
\displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15
직사각형의 넓이를 \displaystyle S 라 하면
\displaystyle S \displaystyle =xy=x ( 30-x) \displaystyle =-x ^ {2} +30x (\displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15 )
꼭짓점의 \displaystyle x 좌표가 \displaystyle 15 이므로 \displaystyle x=15-3 \sqrt {7} 일 때 최소이다. 따라서
\displaystyle x=15-3 \sqrt {7} , \displaystyle y=15+3 \sqrt {7}
\displaystyle \therefore \displaystyle y-x=6 \sqrt {7}
17. 두 함수 \displaystyle f,~g 는 모두 정의역과 공역이 집합 \displaystyle X 이고, $\displaystyle f ( x)=x ( x ^ {2} +ax-a),~g ( x)=x $이다. \displaystyle 2 \in X 일 때, 두 함수 \displaystyle f,~g 가 서로 같도록 하는 실수 전체의 집합의 부분집합 \displaystyle X 의 개수를 구하시오. (단, \displaystyle a 는 상수이다.)
정답 \displaystyle {4}
\displaystyle f ( 2)=2 ( a+4)=2 에서 \displaystyle a=-3 이다.
방정식 \displaystyle f ( x)=g ( x) , 즉 \displaystyle x ( x ^ {2} -3x+3)=x 에서
\displaystyle x ( x-1) ( x-2)=0,x=0,1,2
\displaystyle \left\{ 2 \right\} \subset X \subset \left\{ 0,1,2 \right\} 를 만족시키는 집합 \displaystyle X 의 개수는 \displaystyle 2 ^ {2} =4 이다.
18. 두 사람은 각각 \displaystyle 1,2,3,4 가 하나씩 적힌 카드를 총 \displaystyle 4 장 가지고 있고, 다음 규칙에 따라서 게임을 \displaystyle 4 번 하려고 한다.
두 사람이 각각 가지고 있는 카드 중 하나를 꺼내 카드에 적힌 수를 비교해서 더 큰 수가 나온 사람이 이기고 서로 같은 수가 나오면 비기는 것으로 한다.
\displaystyle 4 번의 게임에서 두 사람이 비기는 횟수가 \displaystyle 1 이 되는 경우의 수를 구하여라. (단, 한 번 사용한 카드는 다시 사용하지 않는다.)
정답 \displaystyle 192
먼저 무승부가 발생할 카드의 수를 고르는 경우의 수는 \displaystyle {} _ {4} \mathrm { C }_ {1} 이다.
두 사람을 \displaystyle \mathrm { A,~B }라 하고 남은 \displaystyle 3 개의 카드를 \displaystyle 1,2,3 이라 할 때, 비기지 안도록 카드를 꺼내는 경우는 \displaystyle \mathrm { A} 가 \displaystyle 1,2,3 을 순서대로 꺼낼 때, \displaystyle \mathrm { B} 가 \displaystyle 2,3,1 을 순서대로 꺼내거나 \displaystyle 3,~1,~2 를 순서대로 꺼내는 경우 뿐이므로 그 경우의 수는 \displaystyle 2 이다.
또한 전체 게임에서 \displaystyle \mathrm { A} 가 \displaystyle 4 장의 카드를 낼 순서를 결정하면 \displaystyle \mathrm { B} 가 카드를 낼 순서는 경정되므로
\displaystyle \mathrm { A} 가 \displaystyle 4 장의 카드를 낼 순서를 정하는 경우의 수는 \displaystyle 4!
따라서 구하는 경우의 수는 \displaystyle {} _ {4} \mathrm { C }_ {1} \times 2 \times 4!=192
19. 집합 \displaystyle S= \left\{ 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 \right\} 의 두 부분집합 \displaystyle X,~Y 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \displaystyle f \,:\,X \rightarrow Y 의 개수를 구하여라.
(가) \displaystyle X \cup Y=S,~X \cap Y= \phi
(나) 집합 \displaystyle X 의 원소의 개수는 \displaystyle 2 이상이다.
(다) 집합 \displaystyle X 의 임의의 서로 다른 두 원소 \displaystyle x _ {1},~ x _ {2} 에 대하여 \displaystyle f ( x _ {1} ) \neq f ( x _ {2} ) 이다.
정답 \displaystyle 1260
조건 (가)에서 \displaystyle X \cup Y=S,X \\cap Y= EMPTYSET 이므로
\displaystyle n ( X)+n ( Y)=7 이고 조건 (나), (다)에서 함수 \displaystyle f 는 일대일 함수이므로 \displaystyle 2 \leq n ( X) \leq n ( Y) 이어야 한다.
따라서 \displaystyle n ( X)=2 또는 \displaystyle n ( X)=3 이다.
(ⅰ) \displaystyle n ( X)=2 일 때집합 \displaystyle X 를 구하는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {7} \mathrm { C} _ {2} =21 일대일함수 \displaystyle f 를 만드는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {5} \mathrm { P} _ {2} =20
(ⅱ) \displaystyle n ( X)=3 일 때집합 \displaystyle X 를 구성하는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {7} \mathrm { C }_ {3} =35 일대일함수 \displaystyle f 를 만드는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {4} \mathrm { P} _ {3} =24
따라서 구하는 함수 \displaystyle f:X \rightarrow Y 의 개수는
\displaystyle 21 \times 20+35 \times 24=1260
20.무리함수$\displaystyle f ( x)=2 \sqrt {x-a} +2 ~( 2 \leq a<3) $에 대하여 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 그 역함수 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 그래프가 만나는 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이가 \displaystyle 8 \pi 일 때, 상수 \displaystyle a 의 값을 구하여라.
정답 \displaystyle 2
함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 함수 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 그래프의 교점은 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 직선 \displaystyle y=x 의 교점과 같다.
즉, \displaystyle 2 \sqrt {x-a} +2=x 에서 \displaystyle 2 \sqrt {x-a} =x-2
양변을 제곱하면 \displaystyle 4 ( x-a)=x ^ {2} -4x+4
\displaystyle x ^ {2} -8x+4a+4=0 \displaystyle \cdots \cdots ㉠
㉠의 서로 다른 두 실근을 \displaystyle \alpha , \beta ( \alpha < \beta ) 라 하면
근과 계수의 관계에 의하여
\displaystyle \alpha + \beta =8, \alpha \beta =4a+4
이때 두 함수의 그래프의 두 교점의 좌표는 각각 \displaystyle ( \alpha , \alpha ), ( \beta , \beta ) 이고, 이 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이가 \displaystyle 8 \pi = ( 2 \sqrt {2} ) ^ {2} \pi 이므로 이 두 점 사이의 거리는 \displaystyle 4 \sqrt {2} 이다.
\displaystyle \sqrt { ( \beta - \alpha ) ^ {2} + ( \beta - \alpha ) ^ {2} } =4 \sqrt {2}
\displaystyle \beta - \alpha =4 ( \because \alpha < \beta )
따라서 \displaystyle { \begin {cases} \alpha + \beta =8\\\beta - \alpha =4\end {cases} } 에서 \displaystyle \alpha =2, \beta =6 이다.
\displaystyle 12=4a+4 이므로 \displaystyle a=2
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