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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • [더플러스수학] [3회] 2020과고 1학년 1학기 기말고사 대비
    과학고 2020. 8. 2. 14:25

    답안지에 학년, 계열, , 번호, 이름과 과목코드번호를 표기하고 해당란에 바르게 표한 후 답안을 작성하시오.

     

    1. A={x|x>0}일 때, A에서 A로의 함수 f, gf(x)=x2x, g(x)=2x1라 한다. 이 때, (f(gf)1f1)(6)의 값을 구하여라.[4.7]

    [2008 과고1 1학기 기말 3]

     

    정답 5

     

     

     

    2. y=f(x)=2x5x2의 치역이 {y|y0, y3}일 때, y=f1(x)의 치역을 구하여라.[4.5]

    [2008 과고1 1학기 기말 4]

     

    정답 {y|1y<2, 2<y52}

     

     

    3. 9의 식염수와 6의 식염수를 1:x의 비로 합해서 8이하의 식염수를 만들려면 xα이 되어야 한다. α의 값은 pq(p, q는 서로소인 자연수)이다. 이 때, p+q의 값을 구하여라.[5.6]

    [2008 과고1 1학기 기말 5]

     

    정답 3

    α=12

     

     

     

    4. 정의역과 공역이 자연수 전체의 집합인 함수 f가 다음을 만족할 때, f(4)의 값을 구하여라.[3.5]

    [2012 과고1 1학기 기말 1]


         () 임의의 자연수 x, y에 대하여 f(x+y)=12f(x)f(y)이다.

         () 함수 f는 상수함수가 아니다.

         () f(1)<5


     

    정답 32

    f(1)<5이므로 f(1)이 될 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이다.

    (i) f(1)=1일 때

    f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=12

    f(2)는 자연수가 아니므로 성립하지 않음

    (ii) f(1)=2일 때

    f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=2

    f(3)=f(2+1)=12f(2)×f(1)=2

    f(n)=2

    모든 자연수수 n에 대하여 f(n)=2인 상수함수이므로 성립하지 않음

    (iii) f(1)=3일 때

    f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=92

    f(2)는 자연수가 아니므로 성립하지 않음

    (iv) f(1)=4일 때

    f(2)=f(1+1)=12f(1)×f(1)=422=8

    f(3)=f(2+1)=12f(2)×f(1)=12×8×4=16

    f(4)=f(3+1)=12f(3)×f(1)=12×16×4=32

    \displaystyle f ( 4)=32

     

     

     

     

    5. 함수 \displaystyle f ( x) 의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 집합 \displaystyle \left\{ \,x \.|\, ( f \circ f) ( x)=f ( x) \right\} 의 모든 원소의 합을 구하면 \displaystyle \frac {p} {q} (\displaystyle p,~q 는 서로소인 정수)이다. 이 때, \displaystyle p+q 의 값을 구하여라.[3.4]

    [2012 과고1 1학기 기말 1]

     

    정답 \displaystyle 23

    \displaystyle -2,~- \frac {2} {3} ,~0,~2,~ \frac {10} {3} ,~4

     

     

     

    6. \displaystyle 0 \leq x \leq 1 에서 정의된 함수 \displaystyle f ( x)= \frac {-x+1} {x+1} 이 다음 조건을 만족한다.

         () \displaystyle f ( -x)=f ( x)

         () \displaystyle f ( x)=f ( x+2)

    함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 직선 \displaystyle y= \frac {1} {m} x+ \frac {1} {2m} 의 교점의 개수를 \displaystyle g ( m) 이라 할 때, \displaystyle g ( 10) 의 값을 구하여라.[3.5]

    [2012 과고1 1학기 기말 1]

     

    정답 \displaystyle 9

     

     

     

    7. \displaystyle \sqrt {3} 이 두 수 \displaystyle \frac {x+3} {x} \displaystyle \frac {x+4} {x+1} 사이에 있도록 하는 정수 \displaystyle x 의 값을 \displaystyle \alpha 라 할 때, \displaystyle \alpha + \frac {1} {\alpha } 의 값을 구하면 \displaystyle \frac {p} {q} (\displaystyle p,~q 는 서로소인 정수)이다. 이 때, \displaystyle p+q 의 값을 구하여라[3.6]

    [2012 과고1 1학기 기말 1]

     

    정답 \displaystyle 21

    \displaystyle \frac {x+3} {x} =1+ \frac {3} {x} , \displaystyle \frac {x+4} {x+1} =1+ \frac {3} {x+1} 이므로 \displaystyle \sqrt {3} 은 다음 부등식을 만족한다.

    \displaystyle \frac {x+4} {x+1} =1+ \frac {3} {x+1} \displaystyle < \sqrt {3} < \displaystyle \frac {x+3} {x} =1+ \frac {3} {x}

    이를 간단히 하면

    \displaystyle \frac {3 \sqrt {3} +1} {2} <x< \frac {3 \sqrt {3} +3} {2}

    이 부등식을 만족하는 정수 \displaystyle x \displaystyle 4 이다. 따라서 \displaystyle \alpha =4

     

     

     

     

     

    8. 두 함수 \displaystyle y= \sqrt {x-[x]} ,~y=ax (\displaystyle a 는 상수)의 그래프가 오직 한 점에서 만날 때, \displaystyle a 의 최솟값을 구하면 \displaystyle \frac {p} {q} (\displaystyle p,~q 는 서로소인 자연수)이다. 이 때, \displaystyle p+q 의 값을 구하여라.(, \displaystyle [x] \displaystyle x 를 넘지 않는 최대 정수이다.) [2.9]

    [2013 과고1 1학기 기말 17 주관식변형]

     

    정답 \displaystyle 3

    \displaystyle \frac {1} {2} \leq a \leq 1

    주의 \displaystyle ( 2,~1) 에서 \displaystyle y=ax \displaystyle y= \sqrt {x-1} 이 접하므로 \displaystyle a= \frac {1} {2} 일 때도 \displaystyle f ( x) \displaystyle y=ax \displaystyle ( 0,~0) 에서 오직 한 점에서 만난다.

     

     

     

     

    9. 함수 \displaystyle f ( x)= { \begin {cases} ax+b~~~~~ &( x<1)\\cx ^ {2} + \large{ \frac {5} {2} }x~~~ &( x \geq 1)\end {cases} } 이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 역함수 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 그래프의 교점의 개수가 \displaystyle 3 이고, 그 교점의 \displaystyle x 좌표가 각각 \displaystyle -1,~1,~2 일 때, \displaystyle 2a+4b-10c 의 값을 구하시오. (, \displaystyle a,~b,~c 는 상수이다.) [4]

    [2019 6월 평가원 29]

     

    정답 \displaystyle 20

    함수 \displaystyle f ( x) 의 역함수 \displaystyle f ^ {-1} ( x) 가 존재하므로 \displaystyle f ( x) 는 증가함수이거나 감소함수이다.

    () \displaystyle f ( x) 가 증가함수일 때

    \displaystyle f ( x) 가 증가함수이므로 두 곡선 \displaystyle y=f ( x) \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 교점은

    \displaystyle y=x 위에만 존재한다.

    따라서 \displaystyle f ( -1)= -1,~f ( 1)=1,~f ( 2)=2 이 성립한다.

    주어진 조건에 대입하면

    \displaystyle f ( 1)=c+ \frac {5} {2} =1 에서 \displaystyle c= - \frac {3} {2} 이고 \displaystyle f ( 2)=4c+5=2 에서

    \displaystyle c= - \frac {3} {4} 이므로 모순이다.

    () \displaystyle f ( x) 가 감소함수일 때

    \displaystyle f ( x) 가 감소함수이므로 곡선 \displaystyle y=f ( x) \displaystyle y=x 와 한 점에서

    만나고, \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 와 두 점에서 만난다.

    두 곡선 \displaystyle y=f ( x) \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 두 교점은 \displaystyle y=x 에 대하여

    대칭이므로

    \displaystyle y=f ( x) \displaystyle y=x \displaystyle x=1 에서 만나고, \displaystyle y=f ^ {-1} ( x)

    \displaystyle x= -1,~2 에서 만난다.

    따라서 세 교점의 좌표는 \displaystyle ( -1,~2),~ ( 1,~1),~ ( 2,~-1) 가 된다.

    이를 주어진 조건에 대입하면

    \displaystyle f ( -1)= -a+b=2,~f ( 1)=a+b=c+ \frac {5} {2} =1,~f ( 2)=4c+5= -1

    이다.

    위의 연립방정식을 풀면

    \displaystyle a= - \frac {1} {2} ,~b= \frac {3} {2} ,~c= - \frac {3} {2} 을 얻을 수 있다.

    \displaystyle \therefore ~2a+4b-10c= -1+6+15=20

     

     

     

    10. 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 \displaystyle f ( x)=ax ^ {2} +bx 가 다음 조건을 만족시킨다.

        () \displaystyle f ( -1)+f ( 1)<0

        () 임의의 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in \mathbb R $에 대하여\displaystyle -1 \leq x _ {1} <x _ {2} \leq 1 이면 \displaystyle -2<f ( x _ {1} )<f ( x _ {2} )<2 이다.

    실수 \displaystyle a,~b 에 대한 설명으로 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 골라 해당되는 번호를 모두 합하여라. [2.9]

    [2013 과고1 1학기 기말 22]


         3. \displaystyle a ^ {2} >b ^ {2}

         5. \displaystyle 2a+b \geq 0

         7. 방정식 \displaystyle f ( x)=0 의 두 근의 합은 \displaystyle 2 보다 작다.


     

    정답 \displaystyle 5

     

     

     

     

     

    11. 열린구간 \displaystyle ( 0,~4) 에서 정의된 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프가 그림과 같다. \displaystyle g ( x)= \sqrt {f ( x)-x} ,~h ( x)=2f ( x)-2x-1 일 때, 두 그래프의 교점의 개수를 구하여라. [2.8]

    [2013 과고1 1학기 기말 20 주관식변형]

     

     

    정답 \displaystyle 8

     

     

    12. 오른쪽 그림과 같이$\displaystyle \mathrm { \overline {AB}} =5 , \displaystyle \mathrm { \overline {BC}} =12 , \displaystyle \mathrm { \overline {CA}} =13 $인 직각삼각형 \displaystyle \mathrm { ABC} 의 내부의 한 점 \displaystyle \mathrm { P} 에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 \displaystyle \mathrm { D,~E,~F} 라 할 때 \displaystyle \frac {5} {\overline {\mathrm { PD }} } + \frac {12} {\overline {\mathrm { PE } }} + \frac {13} {\overline {\mathrm { PF} } } 의 최솟값을 구하시오.

     

     

    정답 \displaystyle {15}

    른쪽 그림에서 \displaystyle \mathrm { \overline {PD}} = a , \displaystyle \mathrm { \overline {PE}} = b , \displaystyle \mathrm { \overline {PF} }= c 라 하면

    \displaystyle \mathrm { \triangle PAB+ \triangle PBC+ \triangle PCA= \triangle ABC} 이므로

    \displaystyle \frac {1} {2} ( 5a+12b+13c)= \frac {1} {2} \times 5 \times 12

    \displaystyle \therefore~ 5a+12b+13c=60

    \displaystyle a,b,c 는 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

    \displaystyle \left\{ ( \sqrt {5a} ) ^ {2} + ( \sqrt {12b} ) ^ {2} + ( \sqrt {13c} ) ^ {2} \right\}

    \displaystyle \times \left\{ \left ( \sqrt { \frac {5} {a} } \right ) ^ {2} + \left ( \sqrt { \frac {12} {b} } \right ) ^ {2} + \left ( \sqrt { \frac {13} {c} } \right ) ^ {2} \right\}

    \displaystyle \geq \left ( \sqrt {5a} \times \sqrt { \frac {5} {a} } + \sqrt {12b} \times \sqrt {13c} \times \sqrt { \frac {13} {c} } \right ) ^ {2}

    (, 등호는 \displaystyle a=b=c 일 때 성립)

    \displaystyle 60 \left ( \frac {5} {a} + \frac {12} {b} + \frac {13} {c} \right ) \geq ( 5+12+13) ^ {2} =900

    \displaystyle \therefore \frac {5} {a} + \frac {12} {b} + \frac {13} {c} \geq 15

    따라서 구하는 최솟값은 \displaystyle 15 이다.

     

     

    13. [그림\displaystyle 1 ]과 같이 길이가 \displaystyle 40 인 직사각형 모양의 종이띠 \displaystyle \mathrm { ABCD} 를 변 \displaystyle \mathrm { AB} 와 변 \displaystyle \mathrm { DC} 가 서로 맞닿도록 [그림\displaystyle 2 ]와 같은 모양으로 접어 붙였다.

    [ \displaystyle 2 ]에서 꼭짓점 \displaystyle \mathrm { P} 와 꼭짓점 \displaystyle \mathrm { Q} 사이의 거리를 \displaystyle l 이라 할 때, \displaystyle l ^ {2} 의 최솟값을 구하시오. (, [그림\displaystyle 2 ]의 모든 면은 서로 수직이거나 평행이다.)

     

     

    정답 \displaystyle {200}

    른쪽 그림과 같이 종이가 접히는 선의 한 쪽 끝점을 각각 \displaystyle \mathrm { E,~F,~G,~H,~I }라 하면

    \displaystyle \mathrm { \overline {EF} + \overline {GH} + \overline {IP} = \overline {QB} },

    \displaystyle \mathrm { \overline {QE} + \overline {FG} + \overline {HI} = \overline {BP} }

    \displaystyle \mathrm { \overline {QB}} =a , \displaystyle \mathrm { \overline {BP}} =b

    라 하면 종이띠의 길이가 \displaystyle 40 이므로

    \displaystyle 2 ( a+b)=40 \displaystyle \therefore a+b=20

    \displaystyle l ^ {2} =a ^ {2} +b ^ {2} = ( a+b) ^ {2} -2ab=400-2ab 이므로 \displaystyle ab 의 값이 최대일 때 \displaystyle l ^ {2} 의 값은 최소이다.

    이때, \displaystyle a>0 , \displaystyle b>0 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

    \displaystyle 20=a+b \geq 2 \sqrt {ab} (, 등호는 \displaystyle a=b 일 때 성립)

    \displaystyle \sqrt {ab} \leq 10 \displaystyle \therefore ab \leq 100

    따라서 \displaystyle ab 의 최댓값이 \displaystyle 100 이므로 \displaystyle l ^ {2} 의 최솟값은

    \displaystyle 400-2 \times 100=200

    [다른 풀이]

    \displaystyle \mathrm { \overline {QB}} =a , \displaystyle \mathrm { \overline {BP}} =b 라 하면 \displaystyle a ^ {2} +b ^ {2} =l ^ {2}

    또한, 종이띠의 길이가 \displaystyle 40 이므로

    \displaystyle 2 ( a+b)=40 \displaystyle \therefore a+b=20

    \displaystyle a,b 는 실수 이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

    \displaystyle ( 1 ^ {2} +1 ^ {2} ) ( a ^ {2} +b ^ {2} ) \geq ( a+b) ^ {2}

    (, 등호는 \displaystyle a=b 일 때 성립)

    \displaystyle 2l ^ {2} \geq 20 ^ {2} \displaystyle \therefore l ^ {2} \geq 200

    따라서 \displaystyle l ^ {2} 의 최솟값은 \displaystyle 200 이다.

     

     

     

     

    14. \displaystyle a,~b,~c \displaystyle ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)=8 을 만족하는 양수이다. 이 때, \displaystyle abc \leq 1 임을 증명하여라.

     

    정답 풀이참조

    \displaystyle 1+abc+ ( ab+bc+ca)+ ( a+b+c)=8 에서 \displaystyle a,~b,~c>0 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

    \displaystyle ab+bc+ca \geq 3 \root {3} \of {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} } \displaystyle a+b+c \geq 3 \root {3} \of {abc}

    \displaystyle \therefore \displaystyle 8 \geq 1+abc+3 \root {3} \of {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} } +3 \root {3} \of {abc} = ( 1+ \root {3} \of {abc} ) ^ {3}

    \displaystyle \therefore \displaystyle 1+ \root {3} \of {abc} \leq 2

    \displaystyle \therefore \displaystyle abc \leq 1 (, 등호는 \displaystyle a=b=c=1 일 때 성립)

     

     

     

     

    15. 세 실수 \displaystyle a,~b,~c ( a<b<c) 를 원소로 갖는 집합 \displaystyle X= \left\{ a,~b,~c \right\} 에 대하여 함수 \displaystyle f~:~X \rightarrow X $\displaystyle f ( x)= { \begin {cases} -1 ( x<0)\\2x-1 ( 0 \leq x<2)\\3 ( x \geq 2)\end {cases} } $라 하자. 함수 \displaystyle f 가 항등함수일 때, \displaystyle a+2b+3c 의 값을 구하시오.

     

     

    정답 \displaystyle {10}

    함수 \displaystyle f 가 항등함수이므로 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

    \displaystyle y= { \begin {cases} -1 ( x<0)\\2x-1 ( 0 \leq x<2)\\3 ( x \geq 2)\end {cases} }

    의 그래프와 직선 \displaystyle y=x 의 교점의 \displaystyle x 좌표만이 집합 \displaystyle X 의 원소로 가능하다.

    이때 교점의 \displaystyle x 좌표가 \displaystyle -1,1,3 이므로 원소의 개수가 \displaystyle 3 인 집합 \displaystyle X 가 될 수 있는 것은 \displaystyle X= \left\{ -1,1,3 \right\} 뿐이다.

    \displaystyle \therefore a+2b+3c= ( -1)+2 \times 1+3 \times 3=10

    [다른 풀이]

    함수 \displaystyle f:X \rightarrow X 가 항등함수이므로 \displaystyle 0 \leq k<2 인 집합 \displaystyle X 의 원소 \displaystyle k 에 대하여 \displaystyle f ( k)=k 이다.

    \displaystyle 2k-1=k 이므로 \displaystyle k=1 이다.

    \displaystyle a<b<c 이므로 집합 \displaystyle X= \left\{ -1,1,3 \right\} 에 대하여

    \displaystyle b=k=1,a=-1,c=3 이다.

    따라서 \displaystyle f ( -1)=-1,f ( 1)=1,f ( 3)=3 이다.

    \displaystyle \therefore a+2b+3c=10

     

     

    16. 지름의 길이가 \displaystyle \mathrm { 24m} 인 원형의 방 안에 깔아 놓을 직사각형 모양의 깔개를 제작하려고 한다. 직사각형의 둘레가 \displaystyle \mathrm { 60m} 이라고 할 때, 깔개의 넓이가 최소가 되는 가로와 세로 길이의 차를 구하면 \displaystyle p \sqrt {7} (\displaystyle p 는 상수)이다. 이 때, \displaystyle p 의 값을 구하시오. (, (가로의 길이)\displaystyle \geq (세로의 길이))

     

     

    [정답] \displaystyle 6

    가로의 길이를 \displaystyle y , 세로의 길이를 \displaystyle x 라 하면

    \displaystyle x+y=30 \displaystyle \cdots \cdots

    직사각형이 지름이 \displaystyle 24 인 원의 경계 및 내부에 있어야 하므로

    \displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} \leq 24 ^ {2} \displaystyle \cdots \cdots

    , 가로의 길이가 세로의 길이 이상이므로

    \displaystyle y \geq x , \displaystyle 30-x \geq x

    \displaystyle \therefore \displaystyle 0<x \leq 15 \displaystyle \cdots \cdots

    , , 에서

    \displaystyle x ^ {2} + ( 30-x) ^ {2} \leq 24 ^ {2} , \displaystyle 2x ^ {2} -60x+30 ^ {2} -24 ^ {2} \leq 0

    \displaystyle x ^ {2} -30x+162 \leq 0

    \displaystyle \therefore \displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15+3 \sqrt {7} \displaystyle \cdots \cdots

    , 의 공통범위를 구하면

    \displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15

    직사각형의 넓이를 \displaystyle S 라 하면

    \displaystyle S \displaystyle =xy=x ( 30-x) \displaystyle =-x ^ {2} +30x (\displaystyle 15-3 \sqrt {7} \leq x \leq 15 )

    꼭짓점의 \displaystyle x 좌표가 \displaystyle 15 이므로 \displaystyle x=15-3 \sqrt {7} 일 때 최소이다. 따라서

    \displaystyle x=15-3 \sqrt {7} , \displaystyle y=15+3 \sqrt {7}

    \displaystyle \therefore \displaystyle y-x=6 \sqrt {7}

     

     

     

    17. 두 함수 \displaystyle f,~g 는 모두 정의역과 공역이 집합 \displaystyle X 이고 $\displaystyle f ( x)=x ( x ^ {2} +ax-a),~g ( x)=x $이다. \displaystyle 2 \in X 일 때, 두 함수 \displaystyle f,~g 가 서로 같도록 하는 실수 전체의 집합의 부분집합 \displaystyle X 의 개수를 구하시오. (, \displaystyle a 는 상수이다.)

     

     

    정답 \displaystyle {4}

    \displaystyle f ( 2)=2 ( a+4)=2 에서 \displaystyle a=-3 이다.

    방정식 \displaystyle f ( x)=g ( x) , \displaystyle x ( x ^ {2} -3x+3)=x 에서

    \displaystyle x ( x-1) ( x-2)=0,x=0,1,2

    \displaystyle \left\{ 2 \right\} \subset X \subset \left\{ 0,1,2 \right\} 를 만족시키는 집합 \displaystyle X 의 개수는 \displaystyle 2 ^ {2} =4 이다.

     

     

    18. 두 사람은 각각 \displaystyle 1,2,3,4 가 하나씩 적힌 카드를 총 \displaystyle 4 장 가지고 있고, 다음 규칙에 따라서 게임을 \displaystyle 4 번 하려고 한다.


    두 사람이 각각 가지고 있는 카드 중 하나를 꺼내 카드에 적힌 수를 비교해서 더 큰 수가 나온 사람이 이기고 서로 같은 수가 나오면 비기는 것으로 한다.


    \displaystyle 4 번의 게임에서 두 사람이 비기는 횟수가 \displaystyle 1 이 되는 경우의 수를 구하여라. (, 한 번 사용한 카드는 다시 사용하지 않는다.)

     

     

    정답 \displaystyle 192

    먼저 무승부가 발생할 카드의 수를 고르는 경우의 수는 \displaystyle {} _ {4} \mathrm { C }_ {1} 이다.

    두 사람을 \displaystyle \mathrm { A,~B }라 하고 남은 \displaystyle 3 개의 카드를 \displaystyle 1,2,3 이라 할 때, 비기지 안도록 카드를 꺼내는 경우는 \displaystyle \mathrm { A} \displaystyle 1,2,3 을 순서대로 꺼낼 때, \displaystyle \mathrm { B} \displaystyle 2,3,1 을 순서대로 꺼내거나 \displaystyle 3,~1,~2 를 순서대로 꺼내는 경우 뿐이므로 그 경우의 수는 \displaystyle 2 이다.

    또한 전체 게임에서 \displaystyle \mathrm { A} \displaystyle 4 장의 카드를 낼 순서를 결정하면 \displaystyle \mathrm { B} 가 카드를 낼 순서는 경정되므로

    \displaystyle \mathrm { A} \displaystyle 4 장의 카드를 낼 순서를 정하는 경우의 수는 \displaystyle 4!

    따라서 구하는 경우의 수는 \displaystyle {} _ {4} \mathrm { C }_ {1} \times 2 \times 4!=192

     

     

     

    19. 집합 \displaystyle S= \left\{ 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 \right\} 의 두 부분집합 \displaystyle X,~Y 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \displaystyle f \,:\,X \rightarrow Y 의 개수를 구하여라.


    () \displaystyle X \cup Y=S,~X \cap Y= \phi

    () 집합 \displaystyle X 의 원소의 개수는 \displaystyle 2 이상이다.

    () 집합 \displaystyle X 의 임의의 서로 다른 두 원소 \displaystyle x _ {1},~ x _ {2} 에 대하여 \displaystyle f ( x _ {1} ) \neq f ( x _ {2} ) 이다.


     

     

    정답 \displaystyle 1260

    조건 ()에서 \displaystyle X \cup Y=S,X \\cap Y= EMPTYSET 이므로

    \displaystyle n ( X)+n ( Y)=7 이고 조건 (), ()에서 함수 \displaystyle f 는 일대일 함수이므로 \displaystyle 2 \leq n ( X) \leq n ( Y) 이어야 한다.

    따라서 \displaystyle n ( X)=2 또는 \displaystyle n ( X)=3 이다.

    () \displaystyle n ( X)=2 일 때집합 \displaystyle X 를 구하는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {7} \mathrm { C} _ {2} =21 일대일함수 \displaystyle f 를 만드는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {5} \mathrm { P} _ {2} =20

    () \displaystyle n ( X)=3 일 때집합 \displaystyle X 를 구성하는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {7} \mathrm { C }_ {3} =35 일대일함수 \displaystyle f 를 만드는 방법의 수는 \displaystyle {} _ {4} \mathrm { P} _ {3} =24

    따라서 구하는 함수 \displaystyle f:X \rightarrow Y 의 개수는

    \displaystyle 21 \times 20+35 \times 24=1260

     

     

     

     

    20.무리함수$\displaystyle f ( x)=2 \sqrt {x-a} +2 ~( 2 \leq a<3) $에 대하여 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 그 역함수 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 그래프가 만나는 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이가 \displaystyle 8 \pi 일 때, 상수 \displaystyle a 의 값을 구하여라.

     

     

    정답 \displaystyle 2

    함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 함수 \displaystyle y=f ^ {-1} ( x) 의 그래프의 교점은 함수 \displaystyle y=f ( x) 의 그래프와 직선 \displaystyle y=x 의 교점과 같다.

    , \displaystyle 2 \sqrt {x-a} +2=x 에서 \displaystyle 2 \sqrt {x-a} =x-2

    양변을 제곱하면 \displaystyle 4 ( x-a)=x ^ {2} -4x+4

    \displaystyle x ^ {2} -8x+4a+4=0 \displaystyle \cdots \cdots

    의 서로 다른 두 실근을 \displaystyle \alpha , \beta ( \alpha < \beta ) 라 하면

    근과 계수의 관계에 의하여

    \displaystyle \alpha + \beta =8, \alpha \beta =4a+4

    이때 두 함수의 그래프의 두 교점의 좌표는 각각 \displaystyle ( \alpha , \alpha ), ( \beta , \beta ) 이고, 이 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이가 \displaystyle 8 \pi = ( 2 \sqrt {2} ) ^ {2} \pi 이므로 이 두 점 사이의 거리는 \displaystyle 4 \sqrt {2} 이다.

    \displaystyle \sqrt { ( \beta - \alpha ) ^ {2} + ( \beta - \alpha ) ^ {2} } =4 \sqrt {2}

    \displaystyle \beta - \alpha =4 ( \because \alpha < \beta )

    따라서 \displaystyle { \begin {cases} \alpha + \beta =8\\\beta - \alpha =4\end {cases} } 에서 \displaystyle \alpha =2, \beta =6 이다.

    \displaystyle 12=4a+4 이므로 \displaystyle a=2

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