2020년 과고2학년 기말 프린트[기하 증명]

포물선

 

증명은 대수적인 식을 이용해도, 논증기하를 이용해도 좋습니다

 

[정리1] 포물선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P}$에서의 접선은 $\displaystyle \mathrm { \angle CPF }$를 이등분한다. ($\displaystyle \mathrm { F}$는 초점, $\displaystyle \mathrm { C}$는 점 $\displaystyle \mathrm { P }$에서 준선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발)

 

 

 

[정리2]

원점 $\displaystyle \mathrm { O }$를 꼭짓점으로 하고 초점을 $\displaystyle \mathrm { F}$, 준선을 $\displaystyle l$인 포물선이 있다. 이 포물선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P}$에서 준선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm { C}$라 하고, 준선과 $\displaystyle x$축과의 교점을 $\displaystyle \mathrm { E }$라고 하자. 또, 점 $\displaystyle \mathrm { P }$에서 포물선에 그은 접선을 $\displaystyle T$라 할 때, 이 접선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { Q}$라고 하자. 다음을 증명하여라.

(1) $\displaystyle \Box \mathrm { PCQF }$는 마름모이다.

 

(2) $\displaystyle \mathrm { CF }$의 중점 $\displaystyle \mathrm { M}$은 $\displaystyle y$축 위에 존재한다.

 

(3) 준선 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm { C}$에서 그은 선분 $\displaystyle \mathrm { CF }$의 수직이등분선의 포락선은 포물선이다.

 

참고 포락선이란?

포락선(envelope, 包絡線)은 어떤 단일 매개변수에 따라 정의된 무한개의 곡선이 있을 때 그 곡선족의 모든 곡선에 접하는 곡선을 이르는 말이다. 즉, 각각의 $\displaystyle t$에 대하여 곡선 $\displaystyle C _ {t}$가 있을 때, 이의 포락선 $\displaystyle sigma$는 각각의 $\displaystyle C _ {t}$ 모두와 접하는 곡선이다. 정의에 의하면 일반적으로 모든 곡선은 그 접선족의 포락선이라고 말할 수 있다. (위키참조 : https://ko.wikipedia.org/wiki/포락선 )

 

 

 

[정리3]

포물선 $\displaystyle y=ax ^ {2} +bx+c$ 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B }$에서의 두 접선이 $\displaystyle \mathrm { S}$와 만났다. 이 때, 점$\displaystyle \mathrm { A,~B}$의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2}$라 하고 점 $\displaystyle \mathrm { S }$의 좌표를 $\displaystyle x _ {3}$라고 할 때, $\displaystyle x _ {3} = \frac {x _ {1} +x _ {2} } {2}$이 성립함을 보여라.

 

 

 

 

 

[정리4] 포물선 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B }$의 중점을 $\displaystyle \mathrm { M }$이라 하고, 또, 두 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B }$에서의 접선이 점 $\displaystyle \mathrm { S }$에서 만난다고 할 때, 선분 $\displaystyle \mathrm { MS }$와 포물선의 교점을 $\displaystyle \mathrm { C }$라 하자. 다음이 성립함을 보이시오.

$$\displaystyle \mathrm { AB/\!/ DE} ,~ \mathrm { \overline {MC} = \overline {CS} }$$

(단, $\displaystyle \mathrm { D,~E }$는 $\displaystyle \mathrm { C}$에서의 접선과 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B}$에서의 접선과의 각각의 교점이다.)

 

 

 

 

[정리5] 평행한 현들의 중점의 자취는 축과 평행하다.

 

 

 

 

[정리6] 다음 그림에서 $\displaystyle \mathrm { \triangle ABC}= S$일 때, 활꼴 $\displaystyle \mathrm { ACB }$의 넓이는 $\displaystyle \frac {4} {3} S$이다.

 

[정리7]

현 $\displaystyle \mathrm { AB}$가 초점 $\displaystyle \mathrm { F }$를 지날 때 다음이 성립함을 보여라.

(1) $\displaystyle \mathrm { \angle ANB}=90 ^{\circ }$, $\displaystyle \mathrm { \angle A ' FB ' } =90 ^{\circ }$

(2) $\displaystyle \mathrm { A,~B}$에서의 접선은 준선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { N }$에서 만난다.

(3) $\displaystyle \boxed{} \mathrm { PNQF }$는 직사각형이다.

 

 

 

 

 

[정리8]

현 $\displaystyle \mathrm { AB }$가 초점 $\displaystyle \mathrm { F}$를 지나고 점 $\displaystyle \mathrm { M}$이 선분 $\displaystyle \mathrm { \overline {AB}}$의 중점일 때, 다음이 성립함을 보여라.

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF} }= a,~ \mathrm { \overline {BF } } = b$일 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {NM} }= \frac {a+b} {2}$

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF}} = a,~ \mathrm { \overline {BF}} = b$일 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {NF}} = \sqrt { ab }$

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF}} = a,~ \mathrm { \overline {BF} }= b$일 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {FK}} = \frac {2ab} {a+b}$

(1) $\displaystyle \mathrm { \overline {AF}} = a,~ \mathrm { \overline {BF}} = b$ ($\displaystyle a<b$)일 때, 직선 $\displaystyle \mathrm { AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac {2 \sqrt {ab} } {b-a}$

 

 

[정리9] 포물선 위의 세 점 $\displaystyle \mathrm { P,~Q,~R }$에서의 접선의 교점을 각각 $\displaystyle \mathrm { A,~B,~C}$라 하자. $\displaystyle \mathrm { \triangle ABC }$의 외접원은 초점 $\displaystyle \mathrm { F }$를 지난다. 이를 보이시오.

 

 

 

[정리 10] 모든 포물선은 닮았다.

참고) 모든 정사각형은 한가지뿐이다. 왜냐하면 모두 서로 닮았으니까! 또 모든 정삼각형은 한가지뿐이다. 마찬가지로 포물선의 모양은 오직 한가지 뿐이다. 즉 서로 닮았다.

즉 (i) 모든 포물선은 서로 닮았다. (ii) $\displaystyle y=ax ^ {2}$과 $\displaystyle y=bx ^ {2}$의 닮음비는 $\displaystyle |b|~:~|a|$이다.

다음을 증명하면 된다. 두 포물선은 평행이동 회전이동, 대칭이동하여 원점을 초점이 $\displaystyle x$축의 양의 방향에 놓이게 했을 때, 즉 $\displaystyle y ^ {2} =4px$, $\displaystyle y ^ {2} =4qx$

원점을 지나는 임의의 직선 $\displaystyle y=kx$와 각각의 포물선이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { P,~Q}$라 했을 때, $\displaystyle \mathrm { \overline {OP} ~:~ \overline {OQ} }= p~:~q$임을 보이면 된다.