[수학의 기초] 지수함수는 모두 아래로 볼록, 로그함수는 위로볼록, 아래로볼록 모두 있는 이유?

과고 학생의 질문? 학교 과제로 지수함수는 모두 아래로 볼록인 함수이지만 왜 그 역함수는 위로 볼록인 함수와 아래로 볼록인 함수가 있는지 그 이유를 알고 싶어 질문함. 젠센 부등식을 이용하여 보이는 것이 힌트임.

먼저 젠센 부등식에 대하여 알아 보자.

 

함수 $\displaystyle f$가 아래로 볼록인 함수이면 다음이 성립한다.  

정의역에 속하는 임의의 $\displaystyle a,~b$에 대하여

$$\displaystyle f \left(\frac{a+b}{2} \right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$$

부등호가 반대로 되면 위로볼록함수이다.

 

이것에 대한 자세한 설명은 아래의 링크를 따라가 보세요.

2019/10/23 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 곡선의 볼록성 정의(위로볼록,아래로볼록), 이계도함수

[수학의 기초] 곡선의 볼록성 정의(위로볼록,아래로볼록), 이계도함수

 

먼저 $\displaystyle a>1$인 지수함수 $\displaystyle y=a^x$는 증가함수이면서 아래로 볼록인 함수이다. 여기서 증가함수, 감소함수인 조건이 지수함수의 역함수인 $\displaystyle y=\log_a x$의 아래로 볼록과 위로 볼록의 성질을 결정한다.

이제 보여 보자. $\displaystyle a>1$인 지수함수 $\displaystyle f(x)=a^x$는 임의의 실수 $\displaystyle p, ~q$에 대하여

$$\displaystyle f \left(\frac{p+q}{2} \right) \leq \frac{f(p)+f(q)}{2}~~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$

여기서 $\displaystyle f(p)=s,~f(q)=t$라 치환하면, 함수 $\displaystyle f$가 역함수가 존재하므로 역함수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\displaystyle f(p)=s ~\Longleftrightarrow~ p=f^{-1}(s),~f(q)=t~\Longleftrightarrow~q=f^{-1} (t)$$

이것을 $\displaystyle (\mathrm{i})$에 대입하면

$$\displaystyle f \left(\frac{f^{-1}(s)+f^{-1}(t)}{2} \right) \leq \frac{s+t}{2}~~\cdots\cdots~(\mathrm{ii})$$

함수 $\displaystyle f(x)=a^x$는 $\displaystyle a>1$이므로 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle f$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$도 증가함수이다. (왜? 증명은?) 

$\displaystyle (\mathrm{ii})$의 양변에 $\displaystyle f^{-1}$를 취하면 부등호가 그대로 되므로

$$\displaystyle f^{-1} \left(f \left(\frac{f^{-1}(s)+f^{-1}(t)}{2} \right) \right) \leq f^{-1} \left(\frac{s+t}{2} \right)~~~\cdots\cdots~(\mathrm{iii})$$

역함수의 성질에 의해

$$\displaystyle \frac{f^{-1}(s)+f^{-1}(t)}{2}   \leq f^{-1} \left(\frac{s+t}{2} \right)$$

따라서 역함수인 $\displaystyle a>1$인 로그함수 $\displaystyle \log_{a} x$는 위로 볼록이다.

만약 밑 $\displaystyle 0<a<1$이면 지수함수 $\displaystyle a^x$는 감소함수이므로 그 역함수 $\displaystyle \log_a x$도 감소함수이다. 따라서 $\displaystyle (\mathrm{iii})$은 부등호가 바뀌어진다. 즉,

$$\displaystyle f^{-1} \left(f \left(\frac{f^{-1}(s)+f^{-1}(t)}{2} \right) \right) \textcolor{red}{\geq} f^{-1} \left(\frac{s+t}{2} \right)~~~\cdots\cdots~(\mathrm{iv})$$

마찬가지로 역함수의 성질에 의해

$$\displaystyle \frac{f^{-1}(s)+f^{-1}(t)}{2}   \textcolor{blue}{\geq} f^{-1} \left(\frac{s+t}{2} \right)$$

따라서 밑이 $\displaystyle 0<a<1$인 $\log$함수는 아래로 볼록인 함수가 된다.