[더플러스수학] \(\displaystyle x^n\) 미분 증명(실수까지)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}x^n =n x^{n-1} ~ (n은~실수)\)

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이것을 (i) \(n\)이 자연수일 때, (ii) \(n\)이 정수일 때, (iii) \(n\)이 유리수일 때, (iv) \(n\)이 실수일 때의 순으로 증명하자. 증명하는 과정에서 미분공식이 각각 필요하다. 

(i) \(n\)이 자연수

증명할 때, 필요한 미분공식은 곱미분법이다. 즉 함수 \(f(x),~g(x)\)가 각각 미분가능하면 \(f(x)\times g(x)\)도 미분가능하고, 도함수는

$$\left\{f(x)\times g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

또, 증명방법으로 수학적 귀납법이 필요하다.

이제 \(\displaystyle n\)이 자연수일 때, 

$$\displaystyle \frac{d}{dx}x^n =n x^{n-1} $$

수학적 귀납법으로 증명하자.

① \(\displaystyle n=1\)일 때,

좌변 \(\displaystyle x\)를 미분정의로 증명하자.

$$\displaystyle \begin{align} x' &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^1 -x^1}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1=1x^{1-1}\end{align}$$

우변 \(\displaystyle n=1\) 을 대입하면

$$\displaystyle 1x^{1-1}=1$$

② \(\displaystyle n=k \, (k \geq 1)\)일 때, 성립한다고 가정하자. 즉 \(\displaystyle \frac{d}{dx}x^k =k x^{k-1} \)

\(\displaystyle n=k+1 \)일 때,

$$\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}x^{k+1} &= \frac{d}{dx} (x^{k}\times x) \\&=\frac d {dx} x^k \times x + x^k \frac{d}{dx} x \\&= k x^{k-1} \times x + x^k \times 1\\&= (k+1)x^k \end{align}$$

①, ②에 의해 수학적 귀납법으로 증명되었다.

 

(ii) \(n\)이 정수

증명할 때, 필요한 미분공식은 몫 미분법이다. 즉 함수 \(f(x),~g(x)\)가 각각 미분가능고, \(g(x) neq 0\)이면 \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\)도 미분가능하고, 그 도함수는

$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$$

먼저 \(\displaystyle n\)이 자연수일 때, 위에서 보였으므로 생략하자.

둘째, \(\displaystyle n=0\)일 때는 \(\displaystyle x^0 =1\)인 상수함수이므로

$$\displaystyle \frac{d}{dx} x^0 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1 -1}{h}=0 =0x^{0-1} $$

이므로 성립한다.

셋째, \(\displaystyle n\)이 음의 정수일 때,

\(\displaystyle n=-m~(m\)은 자연수)으로 치환하자. 그러면

$$\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx} x^n &=\frac{d}{dx} x^{-m}=\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^m}  \right)\\&=\frac{- (x^m )'}{\left\{x^m \right\}^2} = \frac{-mx^{m-1}}{x^{2m}} \\&= - m x^{-m-1}=nx^{n-1}\end{align}$$

이므로 \(\displaystyle n\)이 정수일 때도 성립한다.

 

(iii) \(n\)이 유리수

증명할 때, 필요한 미분공식은 음함수 미분법이다. 즉

$$ \frac{d}{dx} y(x)^n = \frac{d}{dy}y^n \times \frac{dy}{dx}$$

먼저 \(\displaystyle n\)이 정수일 때, 위에서 보였으므로 \(\displaystyle n\)이 정수가 아닌 유리수일 때 보이면 된다.

\(\displaystyle n\)이 정수일 때는 증명했으므로 정수가 아닌 유리수일 때 증명하면 된다.

\(\displaystyle n= \frac{q}{p}\) (\(\displaystyle p,~q\)는 서로소인 정수이고 \(\displaystyle p \geq 2\)인 정수라고 하자.

$$ \displaystyle y= x^{r}= x^{\frac{q}{p}}~~~~ y^p= x^{q}$$

양변을 \(\displaystyle x\)에 대하여 음함수 미분하면

$$ \displaystyle \frac{d}{dx} y^p= \frac{d}{dx}x^{q}  ~~ \frac{d}{dy} y^p \frac{dy}{dx}= q x^{q-1}$$

$$\displaystyle py^{p-1} \frac{dy}{dx}= q x^{q-1}$$ 

$$\displaystyle \begin{align} \therefore~ \frac{dy}{dx}&= \frac{ q x^{q-1}}{py^{p-1}} = \frac{q}{p} \frac{ x^{q-1}  }{\left(x^{\frac{q}{p}}\right)^{p-1}}\\&= \frac{q}{p}x^{\frac{q}{p}-1} = r x^{r-1}\end{align}$$

 

(iv) \(n\)이 실수

이 때 증명할 때, 필요한 미분공식은 로그미분법 미분법이다. 즉

$$ \frac{d}{dx} \ln |y| =  \frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx}$$

먼저 \(\displaystyle y=x^r\)에서 양변에 절댓값을 취하여 로그를 연산하면

$$\ln |y| =  r\ln {|x|}$$

양변을 \(\displaystyle x\)에 대하여 미분하면

$$\frac{d}{dx} \ln |y| = \frac{d}{dx} r\ln {|x|}~~~~~~\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}= r\times \frac{1}{x}$$

$$\therefore~\frac{dy}{dx}= y \times \frac{r}{x}=x^r \times \frac{r}{x}=r x^{r-1}$$