[더플러스수학] \(\displaystyle x^n\) 미분 증명(실수까지)

$\displaystyle \frac{d}{dx}x^n =n x^{n-1} ~ (n은~실수)$

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이것을 (i) $n$이 자연수일 때, (ii) $n$이 정수일 때, (iii) $n$이 유리수일 때, (iv) $n$이 실수일 때의 순으로 증명하자. 증명하는 과정에서 미분공식이 각각 필요하다. 

(i) $n$이 자연수

증명할 때, 필요한 미분공식은 곱미분법이다. 즉 함수 $f(x),~g(x)$가 각각 미분가능하면 $f(x)\times g(x)$도 미분가능하고, 도함수는
$$\left\{f(x)\times g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
또, 증명방법으로 수학적 귀납법이 필요하다.
이제 $\displaystyle n$이 자연수일 때, 
$$\displaystyle \frac{d}{dx}x^n =n x^{n-1}$$
수학적 귀납법으로 증명하자.
① $\displaystyle n=1$일 때,
좌변 $\displaystyle x$를 미분정의로 증명하자.
$$\displaystyle \begin{align} x' &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^1 -x^1}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1=1x^{1-1}\end{align}$$
우변 $\displaystyle n=1$ 을 대입하면
$$\displaystyle 1x^{1-1}=1$$
② $\displaystyle n=k \, (k \geq 1)$일 때, 성립한다고 가정하자. 즉 $\displaystyle \frac{d}{dx}x^k =k x^{k-1}$
$\displaystyle n=k+1$일 때,
$$\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}x^{k+1} &= \frac{d}{dx} (x^{k}\times x) \\&=\frac d {dx} x^k \times x + x^k \frac{d}{dx} x \\&= k x^{k-1} \times x + x^k \times 1\\&= (k+1)x^k \end{align}$$
①, ②에 의해 수학적 귀납법으로 증명되었다.
 
(ii) $n$이 정수
증명할 때, 필요한 미분공식은 몫 미분법이다. 즉 함수 $f(x),~g(x)$가 각각 미분가능고, $g(x) neq 0$이면 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$도 미분가능하고, 그 도함수는
$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$$
먼저 $\displaystyle n$이 자연수일 때, 위에서 보였으므로 생략하자.
둘째, $\displaystyle n=0$일 때는 $\displaystyle x^0 =1$인 상수함수이므로
$$\displaystyle \frac{d}{dx} x^0 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1 -1}{h}=0 =0x^{0-1}$$
이므로 성립한다.
셋째, $\displaystyle n$이 음의 정수일 때,
$\displaystyle n=-m~(m$은 자연수)으로 치환하자. 그러면
$$\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx} x^n &=\frac{d}{dx} x^{-m}=\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^m}  \right)\\&=\frac{- (x^m )'}{\left\{x^m \right\}^2} = \frac{-mx^{m-1}}{x^{2m}} \\&= - m x^{-m-1}=nx^{n-1}\end{align}$$
이므로 $\displaystyle n$이 정수일 때도 성립한다.
 
(iii) $n$이 유리수
증명할 때, 필요한 미분공식은 음함수 미분법이다. 즉
$$\frac{d}{dx} y(x)^n = \frac{d}{dy}y^n \times \frac{dy}{dx}$$
먼저 $\displaystyle n$이 정수일 때, 위에서 보였으므로 $\displaystyle n$이 정수가 아닌 유리수일 때 보이면 된다.
$\displaystyle n$이 정수일 때는 증명했으므로 정수가 아닌 유리수일 때 증명하면 된다.
$\displaystyle n= \frac{q}{p}$ ($\displaystyle p,~q$는 서로소인 정수이고 $\displaystyle p \geq 2$인 정수라고 하자.
$$\displaystyle y= x^{r}= x^{\frac{q}{p}}~~~~ y^p= x^{q}$$
양변을 $\displaystyle x$에 대하여 음함수 미분하면
$$\displaystyle \frac{d}{dx} y^p= \frac{d}{dx}x^{q}  ~~ \frac{d}{dy} y^p \frac{dy}{dx}= q x^{q-1}$$
$$\displaystyle py^{p-1} \frac{dy}{dx}= q x^{q-1}$$  
$$\displaystyle \begin{align} \therefore~ \frac{dy}{dx}&= \frac{ q x^{q-1}}{py^{p-1}} = \frac{q}{p} \frac{ x^{q-1}  }{\left(x^{\frac{q}{p}}\right)^{p-1}}\\&= \frac{q}{p}x^{\frac{q}{p}-1} = r x^{r-1}\end{align}$$
 
(iv) $n$이 실수
이 때 증명할 때, 필요한 미분공식은 로그미분법 미분법이다. 즉
$$\frac{d}{dx} \ln |y| =  \frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx}$$
먼저 $\displaystyle y=x^r$에서 양변에 절댓값을 취하여 로그를 연산하면
$$\ln |y| =  r\ln {|x|}$$
양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면
$$\frac{d}{dx} \ln |y| = \frac{d}{dx} r\ln {|x|}~~~~~~\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}= r\times \frac{1}{x}$$
$$\therefore~\frac{dy}{dx}= y \times \frac{r}{x}=x^r \times \frac{r}{x}=r x^{r-1}$$

 
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