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[옥동수학학원][울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(1)[더플러스수학]수학과 공부이야기 2020. 12. 31. 09:47
이 글에는 에르미트 항등식에 대한 증명을 하려고 한다. 울산 옥동에 있는 울산과고전문 수학학원 더플러스수학학원입니다. 울산과고 기출문제 중에 하나입니다. 2017년 1학년 1학기 중간고사에 나왔다.
임을 보이시오. (단, 는 를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)[6점] [2017 과고1 1학기 중간 주11]
위의 항등식을 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 그 이름을 따서 '에르미트 항등식'이라고 한다.
https://youtu.be/nAyjopeVhAU(구독과 좋아요!!)크게 두가지 방법으로 증명하는데
(i) 가우스기호-바닥함수의 성질을 이용한 증명방법
(ii) 주기함수임을 보이는 대수적-해석적 증명방법
이 있다. 어제 울산예비과고생들과 2017년 학교 기출문제를 풀이하는 과정에서 첫번째 방법은 원장인 내가, 두번째 방법은 곽샘이 증명했다. 그 내용을 정리해보기로 한다.
(i) 가우스기호()-바닥함수(floor integer function )의 성질을 이용한 방법
*여기서는 바닥함수 기호를 쓰지 않고 가우스기호를 사용하여 증명한다.
먼저 일반화하지 않고 일 때를 보이고 이를 이용하여 일반화하자. 그 과정이 학생들이 이해하기가 좀 더 쉽다. 즉
위의 항등식을 증명하기 위해 먼저 (은 정수, )로 두자. 그러면 소수부분 에 를 더하여 가우스기호를 취하기 때문에 의 범위를 로 나누어서 증명한다.예를 들어 위의 그림에서 보듯이 에 있다고 하면, 이 에 를 더하여 소수부분이 를 넘는 경우는 를 더한 경우로 개 존재한다. 따라서
이므로 의 좌변은 이다.
우변에 있는 의 범위는 이므로
이다. 그러므로 의 우변 는
따라서 일 때 이 증명되었다.
가 , , 일 때도 동일하게 증명된다.
이 과정을 일반화하여 서술해보면 다음과 같다.
일 때, 에 를 더하여 소수부분이 를 넘는 경우는 에서 까지를 더한 경우로 개 존재한다. 따라서 좌변은
이다.
우변에 있는 의 범위는 이므로
이다. 그러므로 의 우변 는
따라서 증명되었다.
위에서 일 때 증명했다면 이제 으로 일반화하자.먼저 (은 정수, )로 두자. 그러면 소수부분 에 ()를 더하여 가우스기호를 취하기 때문에 인 에 대하여 의 범위를 로 나누어서 증명하자.
일 때, 에 를 더하여 소수부분이 를 넘는 경우는 에서 까지를 더한 경우로 개 존재한다. 따라서 좌변은
이다.
우변에 있는 의 범위는 이므로
이다. 그러므로 의 우변 는
따라서 증명되었다.
다음에는 주기함수의 성질을 이용하여 증명해보자.
2020/12/31 - [분류 전체보기] - [울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(2)[더플러스수학]
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