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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • [옥동수학학원][울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(1)[더플러스수학]
    수학과 공부이야기 2020. 12. 31. 09:47

    이 글에는 에르미트 항등식에 대한 증명을 하려고 한다. 울산 옥동에 있는 울산과고전문 수학학원 더플러스수학학원입니다. 울산과고 기출문제 중에 하나입니다. 2017년 1학년 1학기 중간고사에 나왔다. 
    [x]+[x+1n]+[x+2n]++[x+n1n]=[nx] 임을 보이시오. (단, [x]x 를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)[6점]  [2017 과고1 1학기 중간 주11]
    위의 항등식을 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 그 이름을 따서 '에르미트 항등식'이라고 한다.
    https://youtu.be/nAyjopeVhAU(구독좋아요!!)

    크게 두가지 방법으로 증명하는데

    (i) 우스기호-바닥함수의 성질을 이용한 증명방법

     

    (ii) 주기함수임을 보이는 대수적-해석적 증명방법

     

    이 있다. 어제 울산예비과고생들과 2017년 학교 기출문제를 풀이하는 과정에서 첫번째 방법은 원장인 내가, 두번째 방법은 곽샘이 증명했다. 그 내용을 정리해보기로 한다.

     

    (i) 가우스기호([ ])-바닥함수(floor integer function  )의 성질을 이용한 방법

    *여기서는 바닥함수 기호를 쓰지 않고 가우스기호를 사용하여 증명한다.
    먼저 일반화하지 않고 n=4일 때를 보이고 이를 이용하여 일반화하자. 그 과정이 학생들이 이해하기가 좀 더 쉽다. 즉
    [x]+[x+14]+[x+24]+[x+34]=[4x]  (i) 
    위의 항등식을 증명하기 위해 먼저 x=m+α (m은 정수, 0α<1)로 두자. 그러면 소수부분 α0, 14, 24, 34를 더하여 가우스기호를 취하기 때문에 α의 범위를 0α<14, 14α<24, 24α<34, 34α<1로 나누어서 증명한다.

    예를 들어 위의 그림에서 보듯이 14α<24에 있다고 하면, 이 α0, 14, 24, 34를 더하여 소수부분이 1를 넘는 경우는 34를 더한 경우로 1개 존재한다. 따라서
    [x]=m, [x+14]=m, [x+24]=m, [x+34]=m+1
    이므로 (i)의 좌변은 3m+(m+1)=4m+1이다.
    우변에 있는 4x의 범위는 m+14x<m+24이므로 4m+14x<4m+2
    이다. 그러므로 (i)의 우변 [4x][4x]=4m+1
    따라서 14α<24일 때 (i)이 증명되었다.
    α0α<14, 24α<34, 34α<1일 때도 동일하게 증명된다.
    이 과정을 일반화하여 서술해보면 다음과 같다. 
    i4α<i+14 (i=0, 1, 2, 3)일  때, α에 0, 14, 24, 34를 더하여 소수부분이 1를 넘는 경우는 4i4에서 414까지를 더한 경우로 (41)(4i)+1=i개 존재한다. 따라서 좌변은 
    (m+1)×(i)+m(4i)=4m+i
    이다.
    우변에 있는 4x의 범위는 m+i4x<m+i+14이므로 4m+i4x<4m+i+1
    이다. 그러므로 (i)의 우변 [4x]는 [4x]=4m+i
    따라서 증명되었다. 
    위에서 n=4일 때 증명했다면 이제 n으로 일반화하자.

    먼저 x=m+α (m은 정수, 0α<1)로 두자. 그러면 소수부분 α에 in (i=0, 1, 2, , (n1))를 더하여 가우스기호를 취하기 때문에 i=0, 1, 2, , (n1)i에 대하여 α의 범위를 inα<i+1n로 나누어서 증명하자.
    inα<i+1n (i=0, 1, 2, , n1)일  때, α에 0, 1n, 2n, , n1n를 더하여 소수부분이 1를 넘는 경우는 nin에서 n14까지를 더한 경우로 (n1)(ni)+1=i개 존재한다. 따라서 좌변은 
    (m+1)×(i)+m(ni)=nm+i
    이다.
    우변에 있는 4x의 범위는 m+inx<m+i+1n이므로 nm+inx<nm+i+1
    이다. 그러므로 (i)의 우변 [nx]는 [nx]=nm+i
    따라서 증명되었다. 
    다음에는 주기함수의 성질을 이용하여 증명해보자.
    2020/12/31 - [분류 전체보기] - [울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(2)[더플러스수학]


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