[더플러스수학] 2020학년도 성균관대 수시모집 논술우수전형 논 술 시 험 (자 연 2)

[ 수학 1 ] 다음 <제시문1> ~ <제시문2>를 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

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<제시문1> 쌍곡선 \(\displaystyle x^2 -2y^2 =-1\)의 윗부분을 \(\displaystyle C_1 \)으로 하고, 아랫부분을 \(\displaystyle C_2 \)라고 하자. 쌍곡선 밖의 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에서 곡선 \(\displaystyle C_1 \)에 그은 접선의 접점을  \(\displaystyle \mathrm{Q}\), 점  \(\displaystyle \mathrm{P}\)에서 곡선 \(\displaystyle C_2 \)에 그은 접선의 접점을  \(\displaystyle \mathrm{R}\)로 표기하자.

<제시문2>  \(\displaystyle n\)은 양의 정수라고 하자. <제시문1>에서 정의된 두 곡선  \(\displaystyle C_1 ,~C_2 \)에 대하여, 점  \(\displaystyle \mathrm{P}_n (3n,~n)\)에서 곡선  \(\displaystyle C_1\)에 그은 접 선 위의 접점을  \(\displaystyle \mathrm{Q} \left(a,~\sqrt{\frac{a^2 +1}{2}}\right)\), 곡선 \(\displaystyle C_2\)에 그은 접선 위의 접점을 \(\displaystyle \mathrm{R} \left(b,~-\sqrt{\frac{b^2 +1}{2}}\right)\)이라 하자. (단, \(\displaystyle a,~b\)는 실수)

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[수학 1 -ⅰ] <제시문1>에서 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\) 에서의 접선의 기울기를 \(\displaystyle m_1\)이라고 하고, 점 \(\displaystyle \mathrm{R}\)에서의 접선의 기울기를 \(\displaystyle m_2\) 라고 할 때, \(\displaystyle m_1\)과 \(\displaystyle m_2\)의 범위를 찾은 후, 접선의 기울기가 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)이 되는 점들의 좌표를 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학 1 -ⅱ] <제시문2>에 있는 실수 \(\displaystyle a,~b\)와 양의 정수 \(\displaystyle n\)에 대하여, \(\displaystyle m_1\)\)와 \(\displaystyle b\)를 \(\displaystyle n\)에 대한 식으로 표현하고 그 이유를 논하시오.

[수학 1 -ⅲ] <제시문2>의 실수 \(\displaystyle a\)가 모든 양의 정수 \(\displaystyle n\)에 대해서 부등식 \(\displaystyle k \leq a <l \)을 만족할 때, \(\displaystyle k\)의 최댓값과 \(\displaystyle l\)의 최솟값을 구하고 그 이유를 논하시오. (단, \(\displaystyle k,~l\)은 실수)

[수학 1 -ⅳ] <제시문2>에 있는 세 점 \(\displaystyle \mathrm{P}_n,~\mathrm{Q}_n,~\mathrm{R}_n\)과 원점 \(\displaystyle  \mathrm{O} (0,~0)\)에 대하여, 삼각형 \(\displaystyle  \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n\)의 넓이와 삼각형 \(\displaystyle  \mathrm{R}_n\mathrm{O}_n\mathrm{P}_n\)의 넓이의 합을 \(\displaystyle  A_n\)이라고 놓을 때, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{A_n}{n} \)을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

 

 

[ 수학 2 ] 다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 2 -ⅰ] ~ [수학 2 -ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

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<제시문1> 함수 \(\displaystyle f(x)\)를 다음과 같이 정의하자.

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \sqrt{x} &(x \geq 0)\\-\sqrt{-x} &(x <0)\end{cases} \)

<제시문2> 양의 정수 \(\displaystyle n\)과 <제시문1>에 정의된 함수 \(\displaystyle f(x)\)에 대하여, 두 곡선 \(\displaystyle y=f(n x),~y=f(nx-1)\)과 두 직선 \(\displaystyle x=0,~x=1\) 로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(\displaystyle a_n \) 이라 하자.

<제시문3> 양의 정수 \(\displaystyle n\)과 <제시문1>에 정의된 함수 \(\displaystyle f(x)\)에 대하여, 함수 \(\displaystyle g(x)\)를 \(\displaystyle g(x)=f(x-2n)-f(x-n)+ f(n)\)으로 정의하자. 이때 곡선 \(\displaystyle y=g(x)\)와 \(\displaystyle x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(\displaystyle b_n\)이라 하자.

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[수학 2 -ⅰ] <제시문2>에 주어진 수열 \(\displaystyle a_n\)의 일반항을 \(\displaystyle n\)에 대한 식으로 표현한 후, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \sqrt{n^r} =1\)이 되도 록 하는 양의 정수 \(\displaystyle  n\)의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅱ] <제시문3>에 정의된 함수 \(\displaystyle g(x)\)가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 표로 나타낸 후, 함수 \(\displaystyle g(x)\)의 최솟값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅲ] <제시문3>에 주어진 수열 \(\displaystyle b_n \)의 일반항을 \(\displaystyle n\)에 대한 식으로 표현한 후, 수열 \(\displaystyle \left\{\frac{b_n}{n^s} \right\}\)이 수렴하기 위한 실수 \(\displaystyle  s\)의 값의 범위와 그때의 극한값을 구하고 그 이유를 논하시오.