[더플러스수학] 2020학년도 성균관대 수시모집 논술우수전형 논 술 시 험 (자 연 1)

[ 수학 1 ] 다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

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<제시문1> 표본공간 $\displaystyle S$ 에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $\displaystyle  A$ 가 일어날 수학적 확률은 다음과 같다.

$\displaystyle \mathrm {P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

<제시문2> 사건 $\displaystyle  A$가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle  B$의 조건부확률은 $\displaystyle  \mathrm{P}(B \vert A)=\frac{\mathrm {P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$ 이다. (단, $\displaystyle  \mathrm{P}(A)>0$)

<제시문3> 아래 그림과 같이 각 면에 양의 정수 $\displaystyle 1,~2,~3,~4$가 쓰여진 정사면체 모양의 주사위를 던져서 밑에 깔린 숫자를 선택하자. 이때 각 숫자가 선택될 확률은 동일하다. 주사위를 $\displaystyle 10$번 던져 숫자 $\displaystyle n$이 선택된 횟수를 $\displaystyle a_n$이라고 할 때, 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f(x)=a_{1} x^3 +a_{2} x^2+a_{3} x+a_{4}$로 정의한다. 예를 들어, 선택된 숫자가 순서대로 $\displaystyle 4→3→4→4→3→4→3→3 →4→4$일 때, 함수 $\displaystyle f(x)=4x+6$이다.

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[수학 1 -ⅰ] <제시문3>에서 $\displaystyle f(0)$의 값이 $\displaystyle 2$ 일 확률을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 1 -ⅱ] <제시문3>에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 직선이 아니라고 할 때, 그 위의 점 $\displaystyle (2,~f(2))$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle 100$ 이상일 확률을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 1 -ⅲ] <제시문3>에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 직선 $\displaystyle y=8$과 적어도 한 점에서 만날 확률을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

 

[ 수학 2 ] 다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 2 -ⅰ] ~ [수학 2 -ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

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<제시문1> 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하면 함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

<제시문2> 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 구간 $\displaystyle [a,~b]$에서 연속이고 함수 $\displaystyle F(x)$가 $\displaystyle f(x)$의 한 부정적분일 때 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\left[F(x) \matrix{\!\\\!}\right]_{a}^{b} =F(b)-F(a)$

<제시문3> 양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여, 닫힌 구간 $\displaystyle [n \pi ,~(n+1)\pi ]$에서 함수 $\displaystyle  y=g(x)$는 다음을 만족한다.

$\displaystyle g(x)=2^n a_n \cos(x-n \pi) +\left(b_n +(-1)^n \right) \sin (x-n \pi)$ (단, $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle  b_n$은 실수)

함수 $\displaystyle  y=g(x)$는 구간 $\displaystyle  ( \pi,~\infty )$ 에서 미분가능하며, $\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} g(x)dx=-6$ 과 $\displaystyle \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{2}} g(x)dx=-2$ 를 만족한다.

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[수학 2 -ⅰ] <제시문3>의 함수 $\displaystyle  y=g(x)$에 대하여, 상수 $\displaystyle b_1$의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅱ] <제시문3>의 함수 $\displaystyle  y=g(x)$에 대하여, 정적분 $\displaystyle \int_{\pi}^{100\pi} g(x)dx$의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅲ] <제시문3>의 함수 $\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} g(x)dx=-6$에 대하여, 정적분 $\displaystyle \int_{\pi}^{\frac{199\pi}{2}} g(x)dx$의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.