[더플러스수학] 2020학년도 성균관대 수시모집 논술우수전형 논 술 시 험 (자 연 1)

[ 수학 1 ] 다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

---

<제시문1> 표본공간 \(\displaystyle S\) 에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 \(\displaystyle  A\) 가 일어날 수학적 확률은 다음과 같다.

\(\displaystyle \mathrm {P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)} \)

<제시문2> 사건 \(\displaystyle  A\)가 일어났을 때의 사건 \(\displaystyle  B\)의 조건부확률은 \(\displaystyle  \mathrm{P}(B \vert A)=\frac{\mathrm {P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}\) 이다. (단, \(\displaystyle  \mathrm{P}(A)>0\))

<제시문3> 아래 그림과 같이 각 면에 양의 정수 \(\displaystyle 1,~2,~3,~4\)가 쓰여진 정사면체 모양의 주사위를 던져서 밑에 깔린 숫자를 선택하자. 이때 각 숫자가 선택될 확률은 동일하다. 주사위를 \(\displaystyle 10\)번 던져 숫자 \(\displaystyle n\)이 선택된 횟수를 \(\displaystyle a_n \)이라고 할 때, 함수 \(\displaystyle f(x)\)를 \(\displaystyle f(x)=a_{1} x^3 +a_{2} x^2+a_{3} x+a_{4} \)로 정의한다. 예를 들어, 선택된 숫자가 순서대로 \(\displaystyle 4→3→4→4→3→4→3→3 →4→4\)일 때, 함수 \(\displaystyle f(x)=4x+6\)이다.

---

[수학 1 -ⅰ] <제시문3>에서 \(\displaystyle f(0)\)의 값이 \(\displaystyle 2\) 일 확률을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 1 -ⅱ] <제시문3>에서 함수 \(\displaystyle y=f(x)\)의 그래프가 직선이 아니라고 할 때, 그 위의 점 \(\displaystyle (2,~f(2))\)에서의 접선의 기울기가 \(\displaystyle 100\) 이상일 확률을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 1 -ⅲ] <제시문3>에서 함수 \(\displaystyle y=f(x)\)의 그래프가 직선 \(\displaystyle y=8\)과 적어도 한 점에서 만날 확률을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

 

[ 수학 2 ] 다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 2 -ⅰ] ~ [수학 2 -ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

---

<제시문1> 함수 \(\displaystyle y=f(x)\) 가 \(\displaystyle x=a\)에서 미분가능하면 함수 \(\displaystyle y=f(x)\)는 \(\displaystyle x=a\)에서 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

<제시문2> 함수 \(\displaystyle y=f(x)\)가 구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이고 함수 \(\displaystyle F(x)\)가 \(\displaystyle f(x)\)의 한 부정적분일 때 다음이 성립한다.

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\left[F(x) \matrix{\!\\\!}\right]_{a}^{b} =F(b)-F(a)\)

<제시문3> 양의 정수 \(\displaystyle n\)에 대하여, 닫힌 구간 \(\displaystyle [n \pi ,~(n+1)\pi ]\)에서 함수 \(\displaystyle  y=g(x)\)는 다음을 만족한다.

\(\displaystyle g(x)=2^n a_n \cos(x-n \pi) +\left(b_n +(-1)^n \right) \sin (x-n \pi) \) (단, \(\displaystyle a_n \)과 \(\displaystyle  b_n \)은 실수)

함수 \(\displaystyle  y=g(x)\)는 구간 \(\displaystyle  ( \pi,~\infty )\) 에서 미분가능하며, \(\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} g(x)dx=-6\) 과 \(\displaystyle \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{2}} g(x)dx=-2\) 를 만족한다.

---

[수학 2 -ⅰ] <제시문3>의 함수 \(\displaystyle  y=g(x)\)에 대하여, 상수 \(\displaystyle b_1 \)의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅱ] <제시문3>의 함수 \(\displaystyle  y=g(x)\)에 대하여, 정적분 \(\displaystyle \int_{\pi}^{100\pi} g(x)dx\)의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅲ] <제시문3>의 함수 \(\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} g(x)dx=-6\)에 대하여, 정적분 \(\displaystyle \int_{\pi}^{\frac{199\pi}{2}} g(x)dx\)의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.