[더플러스수학] 롱테일 급수

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(가) 다음과 같이 자연수의 거듭제곱의 역수로 이루어진 무한급수의 합을 구하는 수학 문제는 아주 오래 됐다.

\(\displaystyle S _ {p} = \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \frac {1} {n ^ {p} } = \frac {1} {1 ^ {p} } + \frac {1} {2 ^ {p} } + \frac {1} {3 ^ {p} } + \cdots ~~~ ( p=1,~2,~3 \cdots ) \)

\(\displaystyle p=1 \)일 때는 이른바 ‘조화급수’를 얻는데, 이때의 합은 1350년경 이래 발산하는 것으로 알려졌다. 이 결과는 중세 프랑스의 수학자이자 철학자인 오렘(Nicole Oresme, 1320-82)이 처음으로 밝혔다. (중략)

그런데 \(\displaystyle S _ {1} \) 바로 다음의 합, 즉 \(\displaystyle S_2 \)의 값은, 윌리스와 \(\displaystyle S _ {2} \)가 수렴함을 증명한 요한 베르누이를 포함해서 이것의 값을 구하려는 모든 수학자들을 곤혹스럽게 만들었다. \(\displaystyle S_2 \)의 문제는 이탈리아의 멘골리(Pietro Mengoli, 1625-86)가 1650년에 펴낸 책 “새로운 제곱 산술”(NOvae Quadraturae Arithmeticae)과 5년 뒤 윌리스가 펴낸 책 “무한산술”을 통해 프랑스와 영국에서 널리 알려지게 됐다. 두 저자는 모두 이 계산에 도전했지만 실패했다. 그러나 그들만이 실패한 것은 아니다. 사실, 18세기 프랑스의 수학사학자 몽투클라(Jean Montucla)는 \(\displaystyle S _ {2} \)의 계산을 “해석학자들의 절망”이라 불렀다. 그런 해석학자 중에는 라이프니츠도 있었다. 그는 파리에서 호이겐스의 제자가 되어 수학을 배울 때, 어떤 규칙을 따르는 항을 가진 수렴하는 임의의 무한 급수의 합을 구할 수 있다고 단언했다. 그러나 영구의 수학자 펠(JOhn Pell, 1611-85)을 만났을 때, 펠은 \(\displaystyle S_2 \)로 자신만만한 이 젊은이를 좌절시켰다. 그 후 1734년에 오일러는 깜짝 놀랄 만큼 대담하게 사인에 대한 거듭제곱 급수 전개를 이용한 유도로 이 문제를 해결했다.

(원문 : An Imaginary Tale : The story of \(\displaystyle \sqrt {-1} \) - Paul J. Nahin. 경문사 193~196)

 

(나) 풍요의 세계를 좀 더 잘 살펴보기 위해, 온라인 음악판매업체인 랩소디의 경우를 살펴보자. 리얼네트웍스(RealNetworks)의 소유인 미국인 회원제 음악 사이트 랩소디는 최근에 150만 곡 이상을 서비스하고 있다. 랩소디의 월간통계를 그래프로 그려보면 여느 음반판매점의 통계와 굉장히 유사한 수요곡선을 그리고 있는 것을 볼 수 있다. 즉 히트곡들에 대한 수요가 엄청난 반면 비인기곡들은 길게 꼬리를 형성한다. 다음 그래프는 2005년 12월에 고객들이 랩소디를 통해 다운로드받은 상위 2만 5,000곡의 통계를 나타낸 것이다.

우선 왼쪽에 자리한 극소수의 음악들이 있는 영역에서 다운로드 횟수가 급격히 올라가고 있음을 볼 수 있다. 이 영역의 음악들은 모두 히트곡이기 때문에 그리 놀랄 일도 아니다. 만일 당신이 음반판매점을 경영하고 제한적인 매대를 갖고 있다면 최대판매량을 보이는 제품에서 그리 멀지 않은 수준의 상품까지로 판매를 제한하는 것은 당연한 일이다.

그래서 미국 최대의 음반소매점 월마트는 수백만 장의 음반을 보유하고 있음에도 매출 상위를 기록하는 품목들로 제한해서 음반을 진열하는데 그 양은 약 4,500장 정도이다. 이것은 랩소디의 매출 상위 2만 5,000곡에 해당하는 양이다. 윌마트에서는 매출 상위 200장의 음반이 매출의 90퍼센트 이상을 차지한다.

이처럼 히트상품에 집중하는 것은 당연하다. 히트상품이 시장의 대부분을 차지하기 때문이다. 상위 5000곡이나 10,000곡 외에 나머지 곡들은 전혀 매출을 올리지 못하는 것처럼 보인다. 이렇게 매출을 올리지 못하는 곡들에는 전혀 신경 쓸 필요가 없어 보였다.

이러한 시각은 우리가 지난 세기 동안 시장을 바라봤던 방식이다. 모든 소매점에는 그들만의 경제적 마지노선이 있어서 잘 나가지 않는 물품들은 어느 선에서 배제해버리고, 어느 정도 매출에 기여하는 상품들은 계속 진열한다. 히트상품 중심의 문화에서는 사람들이 판매곡선의 왼쪽 부분을 차지하는 상품에 과도하게 집착하고 어떤 상품이 히트상품이 될 것인지를 알아맞히기 위해 노력했다. 그러나 이런 상황을 변화시키기 위해서는 무언가 다른 방식이 필요하다. 지난 1세기 동안 이 판매곡선의 왼쪽 부분에 집착했다면, 이제는 오른쪽 부분으로 시선을 돌려보자. (중략)

그래프에서 보듯 꼬리의 끝부분에 가까운 곳에서도 수요는 여전히 살아 있다. 이 판매곡선을 그리는 영역의 곡들은 여전히 매달 1,600만 번이나 다운로드되고 있으며, 랩소디 전체 매출의 15퍼센트를 넘어선다. 개별적으로는 비록 대중적인 인기를 얻고 있지는 못하지만 그 노래들의 매출을 합하면 상당한 수익을 낼 수 있다. 여기서 우리가 주목해야 할 것은 꼬리부분에 위치한 곡들도 판매가 된다는 사실이다. 월마트와 같은 오프라인 매장에서는 6만 장 이상의 앨범을 진열하기 어렵다. 그러나 랩소디 같은 온라인소매점인 경우, 시장은 끝없이 열려있다. 랩소디의 판매 상위 6만 번째까지의 노래들은 적어도 매달 한 번은 다운로드된다. 그런데 판매 상위 10만 번째까지의 노래들과 20만 번째까지의 노래들은 물론이고 90만번째까지의 노래들, 그리고 그보다 더 낮은 순위의 노래들도 같은 양상을 보인다. 랩소디가 서비스 곡목을 늘리게 되면 비록 소수이긴 하지만 전세계에 흩어져 있는 고객들이 매달 그 노래들을 찾을 것이다. 이것이 바로 롱테일이다.

(원문 : The Long Tale(롱테일경제학) - Chris ANderson. 랜덤하우스 p60~64)

 

(다) 지금까지의 논의를 살펴보면, 오일러가 \(\displaystyle \pi \)에 대한 공식을 트럭 한 대분만큼 만들었다는 사실이 더 이상 놀라운 일은 아닐 것이다. 그리고 트럭 한 대분의 이 화물은 이미 더 중요한 내용을 싣고 있던 화물 기차에 매우 쉽게 연결할 수 있는 것들이었다. 오일러가 \(\displaystyle \pi \)의 제곱값을 구하기 위하여 추출한 많은 공식 중에 하나를 예로 들어보자. 다음에 나오는, 제곱의 역수로 이루어진 급수

\(\displaystyle \frac {1} {1 ^ {2} } + \frac {1} {2 ^ {2} } + \frac {1} {3 ^ {2} } + \cdots \) (1)

는 수십년간 수학자들을 괴롭혔던 문제이다. 미적분을 창시한 사람 중의 하나인 라이프니츠를 비롯한 많은 수학자들도 이 급수의 합을 구할 수는 없다. 베르누이 1세는 이 급수가 수렴하는 것을 증명하였지만, 그 합을 구할 수는 없었고, 장 1세도 결국에는“자신의 모든 열정이 조롱당하였다”고 고백한 것을 기록으로 남겼다. 그러나 1736년 오일러는 이 문제를 쉽게 해결하였다. 다음 급수는 뉴턴도 이미 알고 있었다.

\(\displaystyle \sin x=x- \frac {x ^ {3} } {3!} + \frac {x ^ {5} } {5!} - \frac {x ^ {7} } {7!} + \cdots \) (2)

오일러는 이 방정식이 \(\displaystyle x ^ {2} =y \)를 대입하고

\(\displaystyle \sin x=0 \) (3)

을 무한차수의 다항식으로 보아 \(\displaystyle \left ( y \neq 0 \right ) \)

\(\displaystyle 1- \frac {y} {3!} + \frac {y ^ {2} } {5!} - \frac {y ^ {3} } {7!} \cdots =0 \) (4)

을 얻었다.

그런데 방정식 (3)의 해는 \(\displaystyle 0,~\pm \pi ,~\pm 2 \pi ,~\pm 3\pi,~ \cdots \) 들이므로 (4)의 해는 \(\displaystyle \pi ^ {2} ,~ \left ( 2 \pi \right ) ^ {2} ,~ \left ( 3 \pi \right ) ^ {2} ,~ \cdots \) (\(\displaystyle 0 \)은 위에서 제외된다)들이다. 이제 오일러는 자신이 큰 업적을 남겼던 고등 대수학의 한 분야인 방정식 이론에서 일차항 \(\displaystyle \left ( 식 \left ( 4 \right ) 에서+ \frac {1} {3!} \right ) \)의 음수 계수는 근의 역수들의 합이라는 사실을 알고 있었으므로

\(\displaystyle \frac {1} {\pi ^ {2} } + \frac {1} {\left ( 2\pi \right ) ^ {2} } + \frac {1} {\left ( 3\pi \right ) ^ {2} } + \cdots = \frac {1} {3!} \)

또는

\(\displaystyle \frac {1} {1 ^ {2} } + \frac {1} {2 ^ {2} } + \frac {1} {3 ^ {2} } + \cdots = \frac {\pi ^ {2} } {6} \) (5)

을 유도하여 여러 사람을 괴롭혔던 문제를 해결하였고, 게다가 \(\displaystyle \pi ^ {2} \)에 대한 급수도 만들었다. 그러나 오일러는 여기서 그치지 않았다. 코사인 급수에 대한 과정을 반복하여 다음

\(\displaystyle \frac {\pi ^ {2} } {8} = \frac {1} {1 ^ {2} } + \frac {1} {3 ^ {2} } + \frac {1} {5 ^ {2} } + \cdots \) (6)

을 발견하였고, (6)의 두 배에서 (5)를 빼서 다음

\(\displaystyle \frac {\pi ^ {2} } {12} = \frac {1} {1 ^ {2} } - \frac {1} {2 ^ {2} } + \frac {1} {3 ^ {2} } - \frac {1} {4 ^ {2} } + \cdots \) (7)

을 얻었다. (원문 : A History of Pi - Petr Beckmann. 경문사 p198~200)

 

(라) 아르키메데스가 안과 밖에서 원에 접하는 다각형으로 구하는 방법인 ‘착출법’으로 원주율을 약 3.14로 계산한 이래, 이것을 계기로 이와 같은 방법으로 ‘자릿수 늘리기’가 시작되었다.

그 기록을 살펴보면, 중국 위나라의 수학자 유휘(劉徽ㆍ263년경~)는 정3072각형을 이용해 소수점 아래 다섯째 자리 3.14159까지 계산해 내었고, 중국 남북조시대 조충지(429~500)와 그의 아들은 원주율이 3.1415926와 3.1415927 사이에 있다는 것을 밝혔지만 아무래도 ‘착출법’의 최고 기록을 세운 사람은 16세기 독일의 수학자 루돌프다.

독일의 수학자 루돌프 코일렌(1540~1610)은 원둘레를 계속 이등분해 안과 밖에서 원에 접하는 방법으로 소수점 35자리까지 정확히 계산했다. 이 때문에 독일에서는 지금도 원주율 \(\displaystyle \pi \)를 ‘루돌프의 수’라고 부른다. 루돌프는 그의 모든 생애를 원주율을 계산하는 데 바친 사람으로 그는 이를 아주 자랑스럽게 생각해 유언으로 그의 묘비에 새기게 했다.

아르키메데스가 발견한 소수 2자리로부터 ‘루돌프의 수’의 소수 35자리까지 33자리를 늘리는 데 약 2천 년의 세월이 소요되었다. 이처럼 소수점 아래 자릿수를 33자리 늘리는 데 2천 년의 세월이 걸렸던 \(\displaystyle \pi \)의 계산에는 17세기에 들어와서 전통적인 방법이 ‘착출법’을 벗어나 새로운 방법이 도입되었다.

새로운 돌파구를 뚫은 사람은 영국의 수학자 윌리스(1616~1675)인데 그는 이항정리를 이용해 \(\displaystyle \pi =2 \times \frac {2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots } {1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots } \)이라는 획기적인 공식을 만들었다. 이것은 정다각형의 계산으로 \(\displaystyle \pi \)의 값을 구하는 방법 외에 새로운 방법으로 나타낸 최초의 공식이다. 아울러 뉴턴(1642~1727)과 라이프니츠(1646~1716)에 의해 미적분학이 나오면서 원주율 \(\displaystyle \pi \)를 무한급수로 나타내는 식이 차례차례 발견되었다.

무한급수라는 것은 \(\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {4} + \frac {1} {8} + \cdots \)처럼 수를 한없이 더하는 형태를 말하는데, 이러한 무한급수를 이용해 \(\displaystyle \pi \)값을 처음 계산한 사람은 그레고리(1638~1675)였다. 그는 미적분학을 이용해 ‘그레고리 급수’라 불리는 공식,

즉 \(\displaystyle \pi =4 \left ( 1- \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \frac {1} {9} \cdots \right ) =2 \times \left ( \frac {1} {1 \cdot 3} + \frac {1} {5 \cdot 7} + \frac {1} {9 \cdot 11} + \cdots \right ) \)의 공식을 발견함으로써 \(\displaystyle \pi \)의 계산에 새로운 방법이 있다는 것을 세상에 알렸으며 이를 계기로 많은 새로운 공식이 만들어졌다. 그 후로 \(\displaystyle \pi \)값은 소수점 아래 100자리를 넘어서게 되었고 이제는 무한급수를 이용한 원주율 자릿수 늘리기가 시작되었다. 완벽한 원(圓)이란 이 지구상의 어느 곳에도 존재하지 않으며 오직 마음속에, 상상 속에만 존재한다. 완벽한 원이란 실제의 눈으로 볼 수 있는 원이 아니라 영혼의 눈으로만 볼 수 있는 ‘이데아로서의 원’인 것이다. 아무리 완벽한 기술로 원을 그린다 해도 그것은 오차를 가지고 있게 마련이고, 설령 가장 완벽에 가까운 원을 만들었고, 성능이 아무리 좋은 현미경일지라도 현재의 과학으로는 소수점 35자리까지만 읽어낼 수 있다.

더욱이 미래에 더욱 좋은 현미경(?)이 나올 것에 대비해 윌리엄 생크스(1812~1882)는 평생에 걸쳐 소수 707자리까지 계산해 놓았다. 이 숫자는 워낙 복잡해 아무도 검산을 해볼 생각을 하지 못했으나, 컴퓨터가 발명되어 1946년에 컴퓨터를 이용해 계산을 해보니 1분 만에 528자리부터 틀렸다는 것이 발견되어 사람들을 즐겁게 했다. 1776년에 람베르트는 \(\displaystyle \pi \)는 아무리 완벽한 원과 아무리 정확한 현미경이라도 풀어낼 수 없는, 되풀이하지 않는 수가 영원히 계속되는 수인 비순환 무한소수(분수로 쓸 수 없는 수)임을 증명했다. 이것은 부피와 무게는 서로 ‘자’가 달라 비교할 수 없듯이 \(\displaystyle \pi \)도 기존의 자로 잴 수 없다는 걸 의미한다. 그럼에도 불구하고 \(\displaystyle \pi \)의 값은 1958년에 1만 자리까지 계산되었고, 점점 숫자가 늘어나 1989년에는 10억자리까지, 1995년에는 소수점 이하 42억9천496만 자리까지 계산해내더니, 2002년 12월에는 도쿄대학 기술연구소에서 1조2천400억 자리까지 구했다. 아직까지도 \(\displaystyle \pi \)값을 찾으려는 노력은 계속되고 있으며 \(\displaystyle \pi \)값은 컴퓨터의 성능검사 및 암호론에서 중요한 역할을 하고 있다.

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【논제1】

제시문 (나)는 새로운 경제 패러다임으로 불리는 롱테일법칙이라 불리는 경제학에 관한 이야기이다. 인터넷 관련 회사인 주식회사 A는 여러 해 동안의 판매량과 판매순위에 대한 역학관계를 조사한 결과 어떤 상품군의 판매량이 판매순위의 거듭제곱에 반비례

\(\displaystyle 판매량 \propto \frac {1} {판매순위 ^ {p} } ~~ ( p=1,~2,~3 \cdots ) \) 

한다는 것을 알게 되었다. 이 회사는 롱테일 전략에 따라 히트상품 위주의 판매매장을 충분히 확장해야할지를 고민하고 있다. 이 때, 이 회사의 책임자는 \(\displaystyle p \)값에 따른 판매량에 근거하여 판매매장 확장 여부를 결론내리고자 한다. 제시문 (가)의 참조하여 책임자가 내려야할 결정을 타당성을 들어 설명하시오.

 

 

 

 

【논제2】

제시문 (다)는 오일러가 무한급수 \(\displaystyle S _ {2} \)의 값이 \(\displaystyle \frac {\pi ^ {2} } {6} \)가 됨을 증명한 과정을 간략히 적어놓은 글이다. 이 글을 읽은 여러분의 친구가 제시문의 내용이 생략이 많아 이해할 수 없다고 여러분에게 보충 설명을 요구하고 있다. 제시문 (다)의 내용을 참조하여 무한급수 \(\displaystyle S _ {2} \)의 값이 \(\displaystyle \frac {\pi ^ {2} } {6} \)가 됨을 친구에게 자세히 설명하시오.

 

 

 

 

【논제3】

제시문 (다)에서 \(\displaystyle \frac {\pi ^ {2} } {8} = \frac {1} {1 ^ {2} } + \frac {1} {3 ^ {2} } + \frac {1} {5 ^ {2} } + \cdots \)이고 \(\displaystyle \frac {\pi ^ {2} } {12} = \frac {1} {1 ^ {2} } - \frac {1} {2 ^ {2} } + \frac {1} {3 ^ {2} } - \frac {1} {4 ^ {2} } + \cdots \)인 이유를 【논제2】와 같이 자세히 설명하시오.

 

 

 

 

【논제4】제시문 (라)를 읽고 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\displaystyle I _ {n} = \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } {\sin ^ {n} xdx} \)이라 할 때, \(\displaystyle I _ {n} \)과 \(\displaystyle I _ {n+2} \) 사이의 관계식을 구하시오.

 

(2) (1)을 이용하여 \(\displaystyle I _ {n} \)을 구하시오.

 

(3) (2)를 이용하여 윌리스의 공식을 유도하시오.

 

 

 

 

【논제5】무한등비급수의 합 \(\displaystyle S= \frac {1} {1-x} =1+x+x ^ {2} +x ^ {3} + \cdots \)가 성립함을 이용하여

(1) 등식 \(\displaystyle 1- \frac {1} {2} + \frac {1} {3} - \frac {1} {4} + \cdots =\ln 2 \)가 성립함을 설명하시오.

 

 

(2) 등식 \(\displaystyle 1- \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \cdots = \frac {\pi } {4} \)가 성립함을 설명하시오.

 

 

[논제1] 예시답안

인터넷 관련 회사인 주식회사 A는 여러해 동안의 판매량과 판매 순위에 대한 역학관계를 조사한 결과 다음과 같은 관계가 있음을 발견했다.

\(\displaystyle ( 판매량) \propto \frac {1} {판매순위 ^ {p} } \) (\(\displaystyle p=1,~2,~3,~\cdots \))

롱테일전략에 따라 히트상품 위주의 판매매장을 \(\displaystyle p \)의 값에 따라 판매매장을 확장할지 여부를 결론내어야 한다. 이것은 무한급수가 수렴하는가 아니면 발산하는가 여부를 확인하는 것과 같다.

만약 \(\displaystyle p>1 \)일 때,

\(\displaystyle \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \frac {1} {n ^ {p} } \)     \(\displaystyle \cdots ~① \)

은 수렴한다. 또 \(\displaystyle p=1 \)일 때,

\(\displaystyle \sum\limits_{n=1} ^{\infty} \frac { 1} {n} =\infty \)       \(\displaystyle \cdots ~② \) 

이다. 판매량이 ①의 경우인 경우는 수렴한다. 따라서 이 수렴값의 대부분은 앞부분의 유한개의 항에서 결정되므로 현재와 같은 히트상품 위주의 판매매장을 그대로 유지해야 한다. 그런데 만약 ②의 경우처럼 무한급수로 표현된 판매량이 무한대로 발산하게 되면 판매매장을 늘려 히트상품 위주의 판매하지 않고 히트상품은 아니지만 꾸준한 매출을 올려주는 그러한 상품들의 수를 늘려야 한다.

 

[논제2] 예시답안

\(\displaystyle \frac{1} {1^2} + \frac{1}  2^2 + \cdots + \frac{1}  n^2 +\cdots = \frac{  \pi^2}{ 6} \)임을 설명하기 위해서는 먼저 \(\displaystyle \sin x \)의 테일러 급수(Taylor series)전개를 알아야 한다.

\(\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3} 3! + \frac{x^5} { 5!} -\cdots+ ( -1)^n \frac{x^{2n+1}}  { ( 2n+1)!} +\cdots \) (\(\displaystyle n=0,~1,~2,~ \cdots \))

여기서

\(\displaystyle\begin{align} 0 &=\sin x  = x- \frac{x^3} {3!} + \frac{x^5} {5!} - \frac{x^7}{7!} +\cdots \\ & =x \left ( 1- \frac{x^2} {3!} + \frac{x^4} {5!} - \frac{x^6} { 7!} +\cdots \right)  ~~ \cdots ( *) \end{align}\)

(*)의 근은 \(\displaystyle 0,~ +1 \pi ,~+-2\pi ,~+-3\pi,\cdots +- n\pi,~\cdots \) (\(\displaystyle n \in N \))이다. 여기서 괄호안의 식에서 \(\displaystyle x^2 =y \)로 치환하면

\(\displaystyle 1- \frac {y} {3!} + \frac {y ^ {2} } {5!} - \frac {y ^ {3} } {7!} + \cdots =0 \)

의 근은 \(\displaystyle \pi^2 ,~ ( 2\pi)^2 ,\cdots,~ ( n \pi)^2 ,\cdots \)이다. 또 \(\displaystyle n \)차 방정식

\(\displaystyle a_n x^n +a_n-1 x^n-1 + \cdots +a_1 x +a_0 =0 \)

에서 근을 \(\displaystyle \alpha _ {1} ,~ \alpha _ {2} , \cdots , \alpha _ {n} \)이라 할 때, 근과 계수와의 관계에 의해

\(\displaystyle \frac{1}   {\alpha_1} + \frac{1}   { \alpha_2 }+ \cdots + \frac{1}   {\alpha_n }= - \frac{    a_1} { a_0} \)

이다. 따라서

\(\displaystyle \frac {1} {\pi ^ {2} } + \frac {1} { ( 2 \pi ) ^ {2} } + \cdots + \frac {1} { ( n \pi ) ^ {2} } + \cdots = \frac {1} {3!} \)

이다. 이를 정리하면

\(\displaystyle \frac{1}   { 1^2} + \frac{1}   { 2^2} + \frac{1}   { 3^2} + \cdots + \frac{1}   { n^2} + \cdots = \frac{  \pi^2} { 6} \)     \(\displaystyle \cdots ③ \)

이다.

 

[논제3] 예시답안

논제2와 마찬가지로 \(\displaystyle \cos x \)를 테일러급수 전개하면

\(\displaystyle \cos x=1- \frac {x ^ {2} } {2!} + \frac {x ^ {4} } {4!} - \cdots + ( -1) ^ {n} \frac {x ^ {n} } {2n!} + \cdots \) \(\displaystyle \cdots ( **) \)

이다. \(\displaystyle \cos x=0 \)의 근은 \(\displaystyle \frac{ \pi}{ 2} ,~ \frac{3}   { 2} \pi , ~\frac{5}    { 2} \pi ,~\cdots \)이다.

\(\displaystyle ( **) \)에서 \(\displaystyle x^2 =y \)로 치환하면 방정식

\(\displaystyle 1- \frac {y} {2!} + \frac {y ^ {2} } {4!} - \frac {y ^ {3} } {6!} + \cdots =0 \)

의 근은 \(\displaystyle \left ( \frac{ \pi} {2} \right)^2 ,~ \left ( \frac{3     \pi }{ 2} \right)^2 \cdots ,~ \left ( \frac    {( 2n-1)\pi} { 2} \right)^2 ,~ \cdots \)이다. 근과계수와의 관계에 의해

\(\displaystyle \frac {1} {\left ( \frac {\pi } {2} \right ) ^ {2} } + \frac {1} {\left ( \frac {3 \pi } {2} \right ) ^ {2} } + \frac {1} {\left ( \frac {5 \pi } {2} \right ) ^ {2} } + \cdots = \frac {1} {2!} \)

이다. 이를 정리하면

\(\displaystyle \frac{1}   { 1^2} + \frac{1}   { 3^2} + \frac{1}   { 5^2 }+ \cdots = \frac{   \pi^2}{8} \) \(\displaystyle \cdots ④ \)

이다. 위의 식 ①, ②에서 \(\displaystyle ② \times 2 -① \)하면

\(\displaystyle \frac {1} {1 ^ {2} } - \frac {1} {2 ^ {2} } + \frac {1} {3 ^ {2} } - \frac {1} {4 ^ {2} } + \cdots = \frac {\pi ^ {2} } {12} \)

이다.

 

 

[논제4]

(1) \(\displaystyle I_n = \int _0^ {\frac{ \pi }{2}} \sin ^n x dx \)라 할 때, 부분적분을 이용하여 계산하면

\(\displaystyle \begin{align} I _ {n+2} & = \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } {} \sin x\sin ^ {n+1} xdx \\&= \left [ \matrix{\!\\\!} \sin ^ {n+1} x ( -\cos x) \right ] _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } - \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } {} ( n+1)\sin ^ {n} x\cos x ( -\cos x)dx\\ & = \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } {} ( n+1)\sin ^ {n} x ( 1-\sin ^ {2} x)dx \\&= ( n+1)I _ {n} - ( n+1)I _ {n+2} \end{align}\)

이다. 즉

\(\displaystyle I _ {n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n \) (\(\displaystyle n \geq 0 \)인 자연수), \(\displaystyle I_0 = \frac{\pi} { 2} ,~I_1 =1 \)

이다.

(2)

(i) \(\displaystyle n=2m \)일 때,

\(\displaystyle I_n = I_2m = \frac {1 \times 3 \times \cdots ( 2m-1) } {2 \times 4 \times \cdots 2m } I_0 = \frac {1 \times 3 \times \cdots ( 2m-1) } {2 \times 4 \times \cdots 2m } \frac{\pi}{ 2} \)

(ii) \(\displaystyle n=2m-1 \)일 때,

\(\displaystyle I _ {n} =I _ {2m+1} = \frac {2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2m} {3 \times 5 \times 7 \times ( 2m+1)} I _ {1} = \frac {2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2m} {3 \times 5 \times 7 \times ( 2m+1)} \times1 \)

이다.

 

(3)

\(\displaystyle 0 < x < \frac {\pi } {2} \)에서 \(\displaystyle 0 < \sin x < 1 \)이므로

\(\displaystyle 0 < \sin ^ {2m+1} x < \sin ^ {2m} x < \sin ^ {2m-1} x \)이다. 즉

\(\displaystyle 0 < I_{2m+1} < I_{2m} < I_{2m-1} \)

이다. 그러므로

\(\displaystyle 1 < \frac {I _ {2m} } {I _ {2m+1} } < \frac {I _ {2m-1} } {I _ {2m+1} } = \frac {2m+1} {2m} \)  \(\displaystyle \cdots⑤ \)

이다.

따라서 \(\displaystyle \lim\limits _ {m \rightarrow \infty } {} \frac {I _ {2m-1} } {I _ {2m+1} } =1 \)이므로 ⑤에서

\(\displaystyle \lim\limits_n\rightarrow\infty \frac {I_2m} I_ {2m+1} =1 \)이다. 따라서

\(\displaystyle \begin{align} \frac {I _ {2m+1} } {I _ {2m} } & = \frac { \frac {2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2m} {3 \times 5 \times 7 \times ( 2m+1)} \times 1} { \frac {1 \times 3 \times \cdots ( 2m-1)} {2 \times 4 \times \cdots 2m} \frac {\pi } {2} } \\ & = \frac {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdots ( 2m-2) \cdot ( 2m-2) \cdot 2m \cdot 2m} {\pi \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdots ( 2m-3) \cdot ( 2m-1) \cdot ( 2m-1) \cdot ( 2m+1)}\end{align} \)

여기서 \(\displaystyle m\rightarrow\infty \)라 하면

\(\displaystyle 1= \lim\limits _ {m \rightarrow \infty } {} \frac {I _ {2m+1} } {I _ {2m} } = \frac {2} {\pi } \cdot \prod _ {m=1} ^ {\infty } \frac {2m \cdot 2m} { ( 2m-1) ( 2m-1)} \)

이다. 따라서 \(\displaystyle \frac{ \pi}{ 2} = \prod _ { m=1} ^ {\infty} \frac{2m \cdot 2m}   { ( 2m-1) ( 2m-1)} \), 즉

\(\displaystyle \pi =2 \cdot \frac {2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 8 \cdots } {1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 9 \cdots } \)

이 된다.

참고 이 공식의 형식은 매우 아름답지만 수렴이 대단히 늦다.

 

[논제5] 예시답안

(1) 등식 \(\displaystyle 1- \frac {1} {2} + \frac {1} {3} - \frac {1} {4} + \cdots =\ln 2 \)임을 설명해보자.

먼저 무한등비급수

\(\displaystyle S= \frac {1} {1-x} =1+x+x ^ {2} +x ^ {3} \cdots \) \(\displaystyle \cdots ⑥ \)

이 \(\displaystyle -1 < x < 1 \)일 때 수렴한다. 이 조건에서 ⑥의 양변을 부정적분하면

\(\displaystyle \int \frac{1} {1-x} = -\ln |1-x| +C= x + \frac{1}{ 2} x^2 + \frac{1}{ 3} x^3 + \cdots \frac{1}{n+1} x^n+1 + \cdots \) \(\displaystyle \cdots ⑦ \)

이다. ⑦의 \(\displaystyle x=0 \)을 대입하면 \(\displaystyle C=0 \)이다. 따라서

\(\displaystyle \ln |1-x|= -x - \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 - \cdots \frac{1}{n+1}x^{n+1} - \cdots \) \(\displaystyle \cdots ⑧ \)

이다. 여기서 \(\displaystyle x=-1 \)을 대입하면

\(\displaystyle 1- \frac {1} {2} + \frac {1} {3} - \frac {1} {4} + \cdots =\ln 2 \)

이다.

참고 문제는 ⑧의 식에서 \(\displaystyle x=-1 \)을 대입할 수 있느냐의 문제가 남아있다. 다른 말로 하면 ⑧의 우변이 \(\displaystyle x=-1 \)일 때 수렴하며 그것이 \(\displaystyle \ln 2 \)가 되느냐의 문제이다.

 

(2) 등식 \(\displaystyle 1- \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \cdots = \frac {\pi } {4} \)가 성립함을 보여보자. 이를 위해서 먼저 \(\displaystyle \tan x \)의 역함수 \(\displaystyle \tan ^ {-1} x \)의 미분에서 출발해야 한다.

\(\displaystyle y=\tan ^{-1} x \) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \) \(\displaystyle x=\tan y \)

에서

\(\displaystyle \frac {dy} {dx} = \frac {1} { \frac {dx} {dy} } = \frac {1} { \frac {d} {dy} \tan y} = \frac {1} {\sec ^ {2} y}= \frac {1} {1+\tan ^ {2} y} = \frac {1} {1+x ^ {2} } \)

이다 즉 \(\displaystyle \frac{  dy}{dx} = \frac{1}    {1+x^2} \)이다. 이것은 ⑤의 식에서 \(\displaystyle x \)대신에 \(\displaystyle -x^2 \)을 넣은 것과 같다. 따라서

\(\displaystyle \frac {d} {dx} ( \tan ^ {-1} x)= \frac {1} {1+x ^ {2} } =1-x ^ {2} +x ^ {4} -x ^ {6} + \cdots \) \(\displaystyle \cdots ⑨ \)

⑨식을 적분하면

\(\displaystyle \tan ^ {-1} x+C=x- \frac {x ^ {3} } {3} + \frac {x ^ {5} } {5} - \frac {x ^ {7} } {7} + \cdots \)

이다 여기에 \(\displaystyle x=0 \)대입하면 \(\displaystyle C=0 \)이다. 따라서

\(\displaystyle \tan ^{-1} x = x - \frac{   x^3} {3} + \frac{  x^5}{ 5} - \frac{   x^7}{ 7} + \cdots \)

이다. 또 \(\displaystyle \tan ^ {-1} 1= \frac {\pi } {4} \)이므로 여기에 \(\displaystyle x=1 \) 대입하면

\(\displaystyle 1- \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \cdots = \frac {\pi } {4} \)

이다.