[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1)

행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다.

다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 가는 일종의 함수라고 생각할 수 있다.

정의1. 행렬식(determinant of $\displaystyle A$)

$\displaystyle n$차의 정사각행렬 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}$의 행렬식을 $\displaystyle \left| A \right|$ 또는 $\displaystyle det(A)$로 나타내며 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

(1) $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle \left | a_{11} \right|=a_{11}$

(2) $\displaystyle n >1$일 때,

$\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\  a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\cdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right| =\sum_{i=1}^{n} \textcolor{red}{(-1)^{i+n} a_{in} M_{in}}$

여기서 $\displaystyle M_{ij}$은 행렬 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle i$행과 $\displaystyle j$열을 뺀 행렬의 행렬식을 나타내며 이것을 $\displaystyle a_{ij}$의 소행렬식이라고 한다.

또 행렬식의 정의에서 $\displaystyle (-1)^{i+n}$과 소행렬식 $\displaystyle M_{ij}$를 곱한 값을 하나의 기호로 나타내면 편한데, 행렬식 $\displaystyle \left|A \right|$에서 $\displaystyle (-1)^{i+j} M_{ij}$를 기호로 $\displaystyle A_{ij}$로 나타내고 이것을 성분 $\displaystyle a_{ij}$의 여인수(cofactor)라고 부른다. 즉

$\displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}$

그러면 행렬식을 아래와 같이 나타내기도 한다.

$\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\  a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\cdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right| =\sum_{i=1}^{n} \textcolor{blue}{a_{in} A_{in}}$

 

이제 구체적인 예를 가지고 행렬식을 계산해보자.

$\displaystyle |A|=\left| \begin{matrix} 1&-2&3\\ 2&1&-1\\-2&-1&2 \end{matrix}\right|$에서

$\displaystyle A_{11}= (-1)^{1+1} M_{11}=\left|\begin{matrix} 1&-1\\ -1&2\end{matrix}\right|=(2-1)=1$

$\displaystyle A_{21}= (-1)^{2+1} M_{21}=\left|\begin{matrix} -2&3\\ -1&2\end{matrix}\right|=-(-2+3)=-1$

$\displaystyle A_{33}= (-1)^{3+3} M_{33}=\left|\begin{matrix} 1&-2\\ 2&1\end{matrix}\right|=(1+4)=5$

 

행렬식과 여인수는 다음과 같은 관계식이 존재함이 알려져 있다. (이 말은 고등학교 과정에서 증명은 하지 않고 받아들여라는 말이다. 즉 어느 행(또는 열)에 대해 전개해도 행렬식이 똑같다는 것을 증명하는 것이 힘드니 받아들여 달라는 것이다. )

정리2. $\displaystyle 2$차 이상의 정사각행렬 $\displaystyle A$에 대하여

(i) 제 $\displaystyle i$행에 대하여 전개한 행렬식

$\displaystyle \left|A\right|= \sum_{j=1}^n a_{\textcolor{red}{i} j} A_{ij} =a_{\textcolor{red}{i}1}A_{\textcolor{red}{i}1}+a_{\textcolor{red}{i}2}A_{\textcolor{red}{i}2}+\cdots+ a_{\textcolor{red}{i}n}A_{\textcolor{red}{i}n}$

(ii) 제 $\displaystyle j$행에 대하여 전개한 행렬식

$\displaystyle \left|A\right|= \sum_{i=1}^n a_{i\textcolor{blue}{ j}} A_{ij} =a_{1\textcolor{blue}{j}}A_{1\textcolor{blue}{j} }+a_{2\textcolor{blue}{j}}A_{2\textcolor{blue}{j}}+\cdots+ a_{n \textcolor{blue}{j}}A_{n\textcolor{blue}{j}}$

 

예를 들어 행렬 $\displaystyle   A= \begin{bmatrix} 1&-2&3\\ 2&1&-1\\-2&-1&2 \end{bmatrix}$를 $\displaystyle 2$행에 대해 전개하면

$\displaystyle \begin{align} det(A)&=a_{21}A_{21}+ a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}\\&=2\times (-1)^{2+1}\left|\begin{matrix} -2&3\\-1&2 \end{matrix} \right| +1 \times (-1)^{2+2} \left|\begin{matrix} 1&3\\-2&2 \end{matrix} \right| \\& +(-1)\times (-1)^{2+3}\left|\begin{matrix} 1&-2\\-2&-1 \end{matrix} \right| \\&=-2(-4+3)+(2+6)+(-1-4)=5\end{align}$

또, $\displaystyle 3$열에 대해 전개하면

$\displaystyle \begin{align} det(A)&=a_{13}A_{13}+ a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}\\&=3\times (-1)^{1+3}\left|\begin{matrix} 2&1\\-2&-1 \end{matrix} \right| -1 \times (-1)^{2+3} \left|\begin{matrix} 1&-2\\-2&-1 \end{matrix} \right| \\& +2\times (-1)^{3+3}\left|\begin{matrix} 1&-2\\2&1 \end{matrix} \right| \\&=3(-2+2)+(-1-4)+2(1+4)=5\end{align}$

위에서 알 수 있듯이 어느 행이든 어느 열로 전개한 행렬식의 값은 똑같다는 것을 알 수 있다. 이 정도로 만족하자.