[더플러스수학] 대칭행렬과 교대행렬

정의1. 전치행렬(transpose matrix)

행렬 $\displaystyle A=(a_{ij})_{m \times n} \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})$에 대하여 행과 열을 바꾼 새로운 행렬 $\displaystyle B=(b_{ij})_{n \times m} \in M_{ \textcolor {blue}{n \times m} }(\mathbb{R})$을 행렬 $\displaystyle A$의 전치행렬이라 하고  $\displaystyle A^T$로 쓴다. 여기서 $\displaystyle  b_{\textcolor{red}{ij}} =a_{\textcolor{red}{ji}}$이다.

노트) $\displaystyle  M_{\textcolor{red}{m \times n }}(\mathbb{R})$은 성분이 모두 실수인 $\displaystyle m \times n$행렬의 집합을 나타낸다. 

예제) 행렬 $\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{pmatrix}$에 대하여 $\displaystyle A^T$을 구하면 $\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}$이다.

 

정리2. 전치행렬의 성질
두 행렬 $\displaystyle A,~B  \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})$과 행렬 $\displaystyle k \in \mathbb{R})$에 대하여
(1) $\displaystyle \left(A^T \right)^T =A$
(2) $\displaystyle \left(A+B \right)^T =A^T +B^T$
(3) $\displaystyle \left(k A \right)^T =k A^T$

(증명)?

 

정리3. 두 행렬 $\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{l \times m} }(\mathbb{R}) ,~B  \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})$에 대하여

$\displaystyle (AB)^T =B^T A^T$

증명)

2021.08.20 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)

[더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)

 

정의4. 대칭행렬(symetric matrix)

정사각행렬 $\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R})$에 대하여

$\displaystyle A^T =A$

를 만족하는 행렬 $\displaystyle A$를 대칭행렬이라 한다.

 

예) 다음 행렬 $\displaystyle A$는 대칭행렬이다. 

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&2\\2&1 \end{pmatrix}$

 

정의5. 교대행렬(alternating matrix)

정사각행렬 $\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R} )$에 대하여

$\displaystyle A^T =-A$

를 만족하는 행렬 $\displaystyle A$를 교대행렬이라 한다.

 

예) 다음 행렬 $\displaystyle A$는 교대행렬이다. 

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}0&2&3\\-2&0&1\\-3&-1&0 \end{pmatrix}$

 

정리6. 임의의 정사각행렬 $\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R})$는 다음과 같이 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있고 그 표현 방법은 유일하다.

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)+\frac{1}{2} \left(A-A^T\right)$

(증명) 일단 위의 식의 좌변을 계산하면 우변이 나오므로 위의 식이 성립한다.

여기서 $\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)$가 대칭행렬이고 $\displaystyle \frac{1}{2} \left(A-A^T\right)$이 교대행렬임을 보이면 된다. 유일성은 그 다음에 보이겠다.

행렬 $\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)$의 전치행렬을 구해보면

$\displaystyle \begin{align}    \left \{ \frac{1}{2} \left(A+A^T \right) \right\}^T &= \frac{1}{2} \left(A^T +(A^T )^T \right) \\& = \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)\end{align}$

이므로 행렬 $\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)$은 대칭행렬이다.

또, 행렬 $\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A-A^T \right)$의 전치행렬을 구해보면

$\displaystyle \begin{align}    \left \{ \frac{1}{2} \left(A-A^T \right) \right\}^T &= \frac{1}{2} \left(A^T -(A^T )^T \right) \\& = \frac{1}{2} \left(A^T -A \right)\\&=- \frac{1}{2} (A-A^T )\end{align}$

이므로 행렬 $\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A-A^T \right)$은 교대행렬이다.

이제 유일성을 보이자. 행렬 $\displaystyle A$가 위와 다른 대칭행렬 $\displaystyle B$와 교대행렬 $\displaystyle C$의 합으로 나타내어 진다고 하자. 즉

$\displaystyle A= B+C$   (3)

행렬 $\displaystyle B$가 대칭행렬이므로

$\displaystyle B^T =B$

이다. 또 행렬 $\displaystyle C$가 교대행렬이므로

$\displaystyle C^T =-C$

위의 성질을 이용하기 위해 (3)의 전치행렬을 구하면

$\displaystyle \begin{align} A^T &= (B+C)^T =B^T +C^T \\&=B  -C  \end{align}~~~(4)$

(3)과 (4)를 더하면

$\displaystyle B=\frac{1}{2}(A+A^T )$

(3)에서 (4)를 빼면

$\displaystyle C=\frac{1}{2}(A-A^T )$

따라서 대칭행렬과 교대행렬은 오직 하나 뿐이다.

 

 

정리6의 증명은 "임의의 함수는 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있고 그 방법은 유일하다"는 명제와 풀이가 비슷하다. 아래의 글을 참고하시기를......

https://plusthemath.tistory.com/217

[우함수 기함수] 함수 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있다.

 

 

정의7. 정사각행렬 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n} \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R})$에 대하여 대각합 $\displaystyle tr (A)$를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle tr( A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} =\sum_{i=1}^n a_{ii}$

 

예) 행렬 $\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6 \\7&8&9 \end{pmatrix}$에 대하여 $\displaystyle tr( A) =1+5+9=15$이다.

 

예) 교대행렬 $\displaystyle A$는 대각합 $\displaystyle tr(A)=0$이다. 왜냐하면 $\displaystyle A^T =-A$이므로 $\displaystyle a_{ii}=-a_{ii}$이므로 $\displaystyle a_{ii}=0$이기 때문이다.

 

정리8. 두 정사각행렬 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n},~B=(b_{ij})_{n \times n} \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R})$와 $\displaystyle k \in \mathbb{R} )$에 대하여 대각합 은 다음의 성질을 만족한다.
(1) $\displaystyle tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
(2) $\displaystyle tr(\textcolor{blue}{k} A)=\textcolor{blue}{k} \, tr(A)$

(증명)

 

 

 

정리9. 두 정사각행렬 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n},~B=(b_{ij})_{n \times n} \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R})$에 대하여

$\displaystyle tr(AB)=tr(BA)$

이다.

(증명)

$\displaystyle AB= \left ( \begin{matrix}  a _ {11} & \cdots & & \cdots & a _ {1n} \\ \vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\  \textcolor {red}{a _ {i1}}   & \cdots & \textcolor {red} {a _ {ik} }& \cdots & \textcolor {red} {a _ {in}} \\\vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\ a _ {n1} & \cdots & & \cdots & a _ {nn} \end{matrix} \right)    \left ( \begin{matrix} b _ {11} & \cdots & \textcolor {red} {b _ {1 i}} & \cdots & b _ {1n}\\b _ {21} & \cdots &\textcolor {red} { b _ {2i} } & \cdots & b _ {2n} \\ & & \vdots & & \\ \vdots & \cdots &\textcolor {red} { b _ {ki}} & \cdots & \vdots \\ & & \vdots & & \\ b _ {n1} & \cdots & \textcolor {red} {b _ {n i} }& \cdots & b _ {nn}  \end{matrix} \right)$ 

$\displaystyle n \times n$ 행렬 $\displaystyle AB$의 $\displaystyle (i,~i)$ 성분은 행렬 $\displaystyle A$의 $\displaystyle i$행과 행렬 $\displaystyle B$의 $\displaystyle i$열의 내적이다. 즉

$\displaystyle a_{i1}b_{1i}+a_{i2}b_{2i}+\cdots+a_{in}b_{ni}=\sum _{k=1}^n a_{ik}b_{ki}$

이다. 이 식의 $\displaystyle i$에 $\displaystyle 1,~2,~\cdots,~n$을 대입하여 나열하면

$\displaystyle \begin{align} &a_{\textcolor{red}{1}1}b_{1\textcolor{red}{1}}+a_{\textcolor{red}{1}2}b_{2\textcolor{red}{1}}+\cdots+ \boxed{a_{\textcolor{red}{1}k}b_{k\textcolor{red}{1}} } +\cdots+a_{\textcolor{red}{1}n}b_{n\textcolor{red}{1}} &\\ & a_{\textcolor{red}{2}1}b_{1\textcolor{red}{2}}+a_{\textcolor{red}{2}2}b_{2\textcolor{red}{2}}+\cdots+\boxed{ a_{\textcolor{red}{2}k}b_{k\textcolor{red}{2}} } +\cdots+a_{\textcolor{red}{2}n}b_{n\textcolor{red}{2}} &  \\ & ~~~~\vdots ~~~~\cdots & \\ &a_{\textcolor{red}{n}1}b_{1\textcolor{red}{n}}+a_{\textcolor{red}{n}2}b_{2\textcolor{red}{n}}+\cdots+\boxed{ a_{\textcolor{red}{n}k}b_{k\textcolor{red}{n}} } +\cdots+a_{\textcolor{red}{n}n}b_{n\textcolor{red}{n}} &  \end{align}~~\cdots~(1)$

또, 행렬 $\displaystyle BA$를 계산하면

$\displaystyle BA= \left ( \begin{matrix}  b _ {11} & \cdots & & \cdots & b _ {1n} \\ \vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\  \textcolor {red}{b _ {i1}}   & \cdots & \textcolor {red} {b _ {ik} }& \cdots & \textcolor {red} {b _ {in}} \\\vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\ b _ {n1} & \cdots & & \cdots & b _ {nn} \end{matrix} \right)    \left ( \begin{matrix} a _ {11} & \cdots & \textcolor {red} {a _ {1 i}} & \cdots & a _ {1n}\\a _ {21} & \cdots &\textcolor {red} { a _ {2i} } & \cdots & a _ {2n} \\ & & \vdots & & \\ \vdots & \cdots &\textcolor {red} { a _ {ki}} & \cdots & \vdots \\ & & \vdots & & \\ a _ {n1} & \cdots & \textcolor {red} {a _ {n i} }& \cdots & a _ {nn}  \end{matrix} \right)$ 

에서 $\displaystyle n \times n$ 행렬 $\displaystyle BA$의 $\displaystyle (i,~i)$ 성분은 행렬 $\displaystyle B$의 $\displaystyle i$행과 행렬 $\displaystyle a$의 $\displaystyle i$열의 내적이다. 즉

$\displaystyle b_{i1}a_{1i}+b_{i2}a_{2i}+\cdots+b_{in}a_{ni}=\sum _{k=1}^{n} b_{ik}a_{ki}$

이다. 이 식의 $\displaystyle i$에 $\displaystyle 1,~2,~\cdots,~n$을 대입하여 나열하면

$\displaystyle \begin{align} &b_{\textcolor{red}{1}1}a_{1\textcolor{red}{1}}+b_{\textcolor{red}{1}2}a_{2\textcolor{red}{1}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{1}k}a_{k\textcolor{red}{1}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{1}n}a_{n\textcolor{red}{1}} &\\ & b_{\textcolor{red}{2}1}a_{1\textcolor{red}{2}}+b_{\textcolor{red}{2}2}a_{2\textcolor{red}{2}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{2}k}a_{k\textcolor{red}{2}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{2}n}a_{n\textcolor{red}{2}} &  \\ & ~~~~\vdots ~~~~\cdots & \\ & \boxed{ b_{\textcolor{red}{k}1}a_{1\textcolor{red}{k}}+b_{\textcolor{red}{k}2}a_{2\textcolor{red}{k}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{k}k}a_{k\textcolor{red}{k}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{k}n}a_{n\textcolor{red}{k}}} & \\& ~~~~\vdots ~~~~\cdots & \\&b_{\textcolor{red}{n}1}a_{1\textcolor{red}{n}}+b_{\textcolor{red}{n}2}a_{2\textcolor{red}{n}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{n}n}a_{n\textcolor{red}{n}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{n}n}a_{n\textcolor{red}{n}} &  \end{align} ~~\cdots\cdots~(2)$

(1)의 세로로 사각형으로 된 부분과 (2)의 가로로 사각형으로 된 부분이 $\displaystyle k=1,~2,~\cdots,~n$일 때도 항상 같으므로 (1)의 합과 (2)의 합이 서로 같고 이것이 바로 대각합이다. 즉 $\displaystyle tr(AB)=tr(BA)$이다.

 

 

정리9. 두 정사각행렬 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}$에 대하여

$\displaystyle tr(A)=tr(A^T)$

이다.

(증명)

 

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

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