[더플러스수학] 대칭행렬과 교대행렬

정의1. 전치행렬(transpose matrix)

행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{m \times n} \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})\)에 대하여 행과 열을 바꾼 새로운 행렬 \(\displaystyle B=(b_{ij})_{n \times m} \in M_{ \textcolor {blue}{n \times m} }(\mathbb{R})\)을 행렬 \(\displaystyle A \)의 전치행렬이라 하고  \(\displaystyle A^T \)로 쓴다. 여기서 \(\displaystyle  b_{\textcolor{red}{ij}} =a_{\textcolor{red}{ji}} \)이다.

노트) \(\displaystyle  M_{\textcolor{red}{m \times n }}(\mathbb{R})\)은 성분이 모두 실수인 \(\displaystyle m \times n\)행렬의 집합을 나타낸다. 

예제) 행렬 \(\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{pmatrix}\)에 대하여 \(\displaystyle A^T\)을 구하면 \(\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}\)이다.

 

정리2. 전치행렬의 성질
두 행렬 \(\displaystyle A,~B  \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})\)과 행렬 \(\displaystyle k \in \mathbb{R})\)에 대하여
(1) \(\displaystyle \left(A^T \right)^T =A\)
(2) \(\displaystyle \left(A+B \right)^T =A^T +B^T\)
(3) \(\displaystyle \left(k A \right)^T =k A^T \)

(증명)?

 

정리3. 두 행렬 \(\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{l \times m} }(\mathbb{R}) ,~B  \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})\)에 대하여

\(\displaystyle (AB)^T =B^T A^T \)

증명)

2021.08.20 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)

[더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)

 

정의4. 대칭행렬(symetric matrix)

정사각행렬 \(\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R}) \)에 대하여

\(\displaystyle A^T =A\)

를 만족하는 행렬 \(\displaystyle A\)를 대칭행렬이라 한다.

 

예) 다음 행렬 \(\displaystyle A\)는 대칭행렬이다. 

\(\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&2\\2&1 \end{pmatrix}\)

 

정의5. 교대행렬(alternating matrix)

정사각행렬 \(\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R} )\)에 대하여

\(\displaystyle A^T =-A\)

를 만족하는 행렬 \(\displaystyle A\)를 교대행렬이라 한다.

 

예) 다음 행렬 \(\displaystyle A\)는 교대행렬이다. 

\(\displaystyle A =\begin{pmatrix}0&2&3\\-2&0&1\\-3&-1&0 \end{pmatrix}\)

 

정리6. 임의의 정사각행렬 \(\displaystyle A \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R}) \)는 다음과 같이 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있고 그 표현 방법은 유일하다.

\(\displaystyle A = \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)+\frac{1}{2} \left(A-A^T\right) \)

(증명) 일단 위의 식의 좌변을 계산하면 우변이 나오므로 위의 식이 성립한다.

여기서 \(\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)\)가 대칭행렬이고 \(\displaystyle \frac{1}{2} \left(A-A^T\right) \)이 교대행렬임을 보이면 된다. 유일성은 그 다음에 보이겠다.

행렬 \(\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)\)의 전치행렬을 구해보면

\(\displaystyle \begin{align}    \left \{ \frac{1}{2} \left(A+A^T \right) \right\}^T &= \frac{1}{2} \left(A^T +(A^T )^T \right) \\& = \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)\end{align} \)

이므로 행렬 \(\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A+A^T \right)\)은 대칭행렬이다.

또, 행렬 \(\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A-A^T \right)\)의 전치행렬을 구해보면

\(\displaystyle \begin{align}    \left \{ \frac{1}{2} \left(A-A^T \right) \right\}^T &= \frac{1}{2} \left(A^T -(A^T )^T \right) \\& = \frac{1}{2} \left(A^T -A \right)\\&=- \frac{1}{2} (A-A^T )\end{align} \)

이므로 행렬 \(\displaystyle   \frac{1}{2} \left(A-A^T \right)\)은 교대행렬이다.

이제 유일성을 보이자. 행렬 \(\displaystyle A\)가 위와 다른 대칭행렬 \(\displaystyle B\)와 교대행렬 \(\displaystyle C\)의 합으로 나타내어 진다고 하자. 즉

\(\displaystyle A= B+C\)   (3)

행렬 \(\displaystyle B\)가 대칭행렬이므로

\(\displaystyle B^T =B \)

이다. 또 행렬 \(\displaystyle C\)가 교대행렬이므로

\(\displaystyle C^T =-C\)

위의 성질을 이용하기 위해 (3)의 전치행렬을 구하면

\(\displaystyle \begin{align} A^T &= (B+C)^T =B^T +C^T \\&=B  -C  \end{align}~~~(4)\)

(3)과 (4)를 더하면

\(\displaystyle B=\frac{1}{2}(A+A^T ) \)

(3)에서 (4)를 빼면

\(\displaystyle C=\frac{1}{2}(A-A^T ) \)

따라서 대칭행렬과 교대행렬은 오직 하나 뿐이다.

 

 

정리6의 증명은 "임의의 함수는 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있고 그 방법은 유일하다"는 명제와 풀이가 비슷하다. 아래의 글을 참고하시기를......

https://plusthemath.tistory.com/217

[우함수 기함수] 함수 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있다.

 

 

정의7. 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n} \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R}) \)에 대하여 대각합 \(\displaystyle tr (A)\)를 다음과 같이 정의한다.

\(\displaystyle tr( A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} =\sum_{i=1}^n a_{ii}\)

 

예) 행렬 \(\displaystyle A =\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6 \\7&8&9 \end{pmatrix}\)에 대하여 \(\displaystyle tr( A) =1+5+9=15\)이다.

 

예) 교대행렬 \(\displaystyle A \)는 대각합 \(\displaystyle tr(A)=0\)이다. 왜냐하면 \(\displaystyle A^T =-A\)이므로 \(\displaystyle a_{ii}=-a_{ii}\)이므로 \(\displaystyle a_{ii}=0\)이기 때문이다.

 

정리8. 두 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n},~B=(b_{ij})_{n \times n} \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R}) \)와 \(\displaystyle k \in \mathbb{R} )\)에 대하여 대각합 은 다음의 성질을 만족한다.
(1) \(\displaystyle tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\)
(2) \(\displaystyle tr(\textcolor{blue}{k} A)=\textcolor{blue}{k} \, tr(A) \)

(증명)

 

 

 

정리9. 두 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n},~B=(b_{ij})_{n \times n} \in M_{\textcolor{red}{n \times n} }(\mathbb{R}) \)에 대하여

\(\displaystyle tr(AB)=tr(BA)\)

이다.

(증명)

\(\displaystyle AB= \left ( \begin{matrix}  a _ {11} & \cdots & & \cdots & a _ {1n} \\ \vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\  \textcolor {red}{a _ {i1}}   & \cdots & \textcolor {red} {a _ {ik} }& \cdots & \textcolor {red} {a _ {in}} \\\vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\ a _ {n1} & \cdots & & \cdots & a _ {nn} \end{matrix} \right)    \left ( \begin{matrix} b _ {11} & \cdots & \textcolor {red} {b _ {1 i}} & \cdots & b _ {1n}\\b _ {21} & \cdots &\textcolor {red} { b _ {2i} } & \cdots & b _ {2n} \\ & & \vdots & & \\ \vdots & \cdots &\textcolor {red} { b _ {ki}} & \cdots & \vdots \\ & & \vdots & & \\ b _ {n1} & \cdots & \textcolor {red} {b _ {n i} }& \cdots & b _ {nn}  \end{matrix} \right) \) 

\(\displaystyle n \times n\) 행렬 \(\displaystyle AB\)의 \(\displaystyle (i,~i)\) 성분은 행렬 \(\displaystyle A\)의 \(\displaystyle i\)행과 행렬 \(\displaystyle B\)의 \(\displaystyle i\)열의 내적이다. 즉

\(\displaystyle a_{i1}b_{1i}+a_{i2}b_{2i}+\cdots+a_{in}b_{ni}=\sum _{k=1}^n a_{ik}b_{ki} \)

이다. 이 식의 \(\displaystyle i\)에 \(\displaystyle 1,~2,~\cdots,~n\)을 대입하여 나열하면

\(\displaystyle \begin{align} &a_{\textcolor{red}{1}1}b_{1\textcolor{red}{1}}+a_{\textcolor{red}{1}2}b_{2\textcolor{red}{1}}+\cdots+ \boxed{a_{\textcolor{red}{1}k}b_{k\textcolor{red}{1}} } +\cdots+a_{\textcolor{red}{1}n}b_{n\textcolor{red}{1}} &\\ & a_{\textcolor{red}{2}1}b_{1\textcolor{red}{2}}+a_{\textcolor{red}{2}2}b_{2\textcolor{red}{2}}+\cdots+\boxed{ a_{\textcolor{red}{2}k}b_{k\textcolor{red}{2}} } +\cdots+a_{\textcolor{red}{2}n}b_{n\textcolor{red}{2}} &  \\ & ~~~~\vdots ~~~~\cdots & \\ &a_{\textcolor{red}{n}1}b_{1\textcolor{red}{n}}+a_{\textcolor{red}{n}2}b_{2\textcolor{red}{n}}+\cdots+\boxed{ a_{\textcolor{red}{n}k}b_{k\textcolor{red}{n}} } +\cdots+a_{\textcolor{red}{n}n}b_{n\textcolor{red}{n}} &  \end{align}~~\cdots~(1)\)

또, 행렬 \(\displaystyle BA\)를 계산하면

\(\displaystyle BA= \left ( \begin{matrix}  b _ {11} & \cdots & & \cdots & b _ {1n} \\ \vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\  \textcolor {red}{b _ {i1}}   & \cdots & \textcolor {red} {b _ {ik} }& \cdots & \textcolor {red} {b _ {in}} \\\vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\ b _ {n1} & \cdots & & \cdots & b _ {nn} \end{matrix} \right)    \left ( \begin{matrix} a _ {11} & \cdots & \textcolor {red} {a _ {1 i}} & \cdots & a _ {1n}\\a _ {21} & \cdots &\textcolor {red} { a _ {2i} } & \cdots & a _ {2n} \\ & & \vdots & & \\ \vdots & \cdots &\textcolor {red} { a _ {ki}} & \cdots & \vdots \\ & & \vdots & & \\ a _ {n1} & \cdots & \textcolor {red} {a _ {n i} }& \cdots & a _ {nn}  \end{matrix} \right) \) 

에서 \(\displaystyle n \times n\) 행렬 \(\displaystyle BA\)의 \(\displaystyle (i,~i)\) 성분은 행렬 \(\displaystyle B\)의 \(\displaystyle i\)행과 행렬 \(\displaystyle a\)의 \(\displaystyle i\)열의 내적이다. 즉

\(\displaystyle b_{i1}a_{1i}+b_{i2}a_{2i}+\cdots+b_{in}a_{ni}=\sum _{k=1}^{n} b_{ik}a_{ki} \)

이다. 이 식의 \(\displaystyle i\)에 \(\displaystyle 1,~2,~\cdots,~n\)을 대입하여 나열하면

\(\displaystyle \begin{align} &b_{\textcolor{red}{1}1}a_{1\textcolor{red}{1}}+b_{\textcolor{red}{1}2}a_{2\textcolor{red}{1}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{1}k}a_{k\textcolor{red}{1}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{1}n}a_{n\textcolor{red}{1}} &\\ & b_{\textcolor{red}{2}1}a_{1\textcolor{red}{2}}+b_{\textcolor{red}{2}2}a_{2\textcolor{red}{2}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{2}k}a_{k\textcolor{red}{2}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{2}n}a_{n\textcolor{red}{2}} &  \\ & ~~~~\vdots ~~~~\cdots & \\ & \boxed{ b_{\textcolor{red}{k}1}a_{1\textcolor{red}{k}}+b_{\textcolor{red}{k}2}a_{2\textcolor{red}{k}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{k}k}a_{k\textcolor{red}{k}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{k}n}a_{n\textcolor{red}{k}}} & \\& ~~~~\vdots ~~~~\cdots & \\&b_{\textcolor{red}{n}1}a_{1\textcolor{red}{n}}+b_{\textcolor{red}{n}2}a_{2\textcolor{red}{n}}+\cdots+b_{\textcolor{red}{n}n}a_{n\textcolor{red}{n}}  +\cdots+b_{\textcolor{red}{n}n}a_{n\textcolor{red}{n}} &  \end{align} ~~\cdots\cdots~(2)\)

(1)의 세로로 사각형으로 된 부분과 (2)의 가로로 사각형으로 된 부분이 \(\displaystyle k=1,~2,~\cdots,~n\)일 때도 항상 같으므로 (1)의 합과 (2)의 합이 서로 같고 이것이 바로 대각합이다. 즉 \(\displaystyle tr(AB)=tr(BA)\)이다.

 

 

정리9. 두 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)에 대하여

\(\displaystyle tr(A)=tr(A^T)\)

이다.

(증명)

 

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

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