[더플러스수학] 필요충분조건-특이행렬과 고윳값 0

문제의 상황

고급수학 연습문제 중 "행렬 \(\displaystyle A\)가 역행렬을 갖지 않을 필요충분조건은 행렬 \(\displaystyle A\)의 고윳값 중 \(\displaystyle 0\)이 있다."

영어로

"Show that a matrix \(\displaystyle A\) is singular if and only if \(\displaystyle 0\) is an eigenvalue of \(\displaystyle A\)"

(증명) 

\(\displaystyle (\Longleftarrow )\)

(증명1) 행렬 \(\displaystyle A\)가 고윳값 \(\displaystyle 0\)을 갖는다고 가정하자. 

고윳값의 정의에 의해 

\(\displaystyle A \vec x = \lambda \vec x ,~ \vec x \neq \vec 0 \)

에서 \(\displaystyle \lambda =0 \)이므로

\(\displaystyle A \vec x = \vec 0 \)    (1)

여기서 \(\displaystyle   \vec x \neq \vec 0 \)인 \(\displaystyle  \vec x  \)가 존재해야 하므로 \(\displaystyle det (A)=0\)이다. 

왜냐하면 \(\displaystyle det (A) \neq 0\)이면 행렬 \(\displaystyle A\)는 가역행렬이므로 역행렬을 갖는다. 따라서 (1)의 양변에 \(\displaystyle A^{-1}\)를 곱하면

\(\displaystyle A \vec x = \vec 0 ~\Longleftrightarrow~ A^{-1}(A \vec x )= A^{-1} \vec 0 \)

\(\displaystyle\therefore~ \vec x = \vec 0 \)

이것은 \(\displaystyle   \vec x \neq \vec 0 \)이란 가정에 모순이다.

 

\(\displaystyle (\Longrightarrow )\)

\(\displaystyle A \)가 특이행렬이면 \(\displaystyle A \vec x = \vec 0\)이 되는 \(\displaystyle \vec x \neq \vec 0\)이 존재한다. 물론 그 역도 성립한다. 따라서

\(\displaystyle A \vec x = 0 \vec x \)

따라서 고윳값의 정의에 의해 \(\displaystyle   0\)은 행렬 \(\displaystyle A \)의 고윳값이다.