[더플러스수학] 필요충분조건-특이행렬과 고윳값 0

문제의 상황

고급수학 연습문제 중 "행렬 $\displaystyle A$가 역행렬을 갖지 않을 필요충분조건은 행렬 $\displaystyle A$의 고윳값 중 $\displaystyle 0$이 있다."

영어로

"Show that a matrix $\displaystyle A$ is singular if and only if $\displaystyle 0$ is an eigenvalue of $\displaystyle A$"

(증명) 

$\displaystyle (\Longleftarrow )$

(증명1) 행렬 $\displaystyle A$가 고윳값 $\displaystyle 0$을 갖는다고 가정하자. 

고윳값의 정의에 의해 

$\displaystyle A \vec x = \lambda \vec x ,~ \vec x \neq \vec 0$

에서 $\displaystyle \lambda =0$이므로

$\displaystyle A \vec x = \vec 0$    (1)

여기서 $\displaystyle   \vec x \neq \vec 0$인 $\displaystyle  \vec x$가 존재해야 하므로 $\displaystyle det (A)=0$이다. 

왜냐하면 $\displaystyle det (A) \neq 0$이면 행렬 $\displaystyle A$는 가역행렬이므로 역행렬을 갖는다. 따라서 (1)의 양변에 $\displaystyle A^{-1}$를 곱하면

$\displaystyle A \vec x = \vec 0 ~\Longleftrightarrow~ A^{-1}(A \vec x )= A^{-1} \vec 0$

$\displaystyle\therefore~ \vec x = \vec 0$

이것은 $\displaystyle   \vec x \neq \vec 0$이란 가정에 모순이다.

 

$\displaystyle (\Longrightarrow )$

$\displaystyle A$가 특이행렬이면 $\displaystyle A \vec x = \vec 0$이 되는 $\displaystyle \vec x \neq \vec 0$이 존재한다. 물론 그 역도 성립한다. 따라서

$\displaystyle A \vec x = 0 \vec x$

따라서 고윳값의 정의에 의해 $\displaystyle   0$은 행렬 $\displaystyle A$의 고윳값이다.