[평가원기출]고3 2022학년도 9월 평가원 기하 30번

좌표평면에서 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}(3,~-1),~\mathrm {B}(0,~2),~\mathrm{C)}(1,~0)$에 대하여 두 점 $\displaystyle \mathrm{P,~Q}$가

$\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{AP}} \right|=1,~\left| \overrightarrow {\mathrm{BQ}} \right|=2,~\overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{OC}} \geq \frac{\sqrt2}{2}$

를 만족시킬 때, $\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P,~Q}$를 $\displaystyle \mathrm{P_0,~Q_0}$이라 하자.

선분 $\displaystyle \mathrm{AP_0}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{X}$에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{BX}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{BQ_0}}\geq 1$일 때, $\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{Q_0 X}}\right|^2$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{q}{p}$이다. $\displaystyle p+q$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle  \mathrm{O}$는 원점이고 $\displaystyle p,~q$는 서로소인 자연수이다.) [$\displaystyle 4$점\) 

 

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[평가원기출] 2022학년도 9월 평가원 킬러문항 22번 [더플러스수학]

 

 

$\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{AP}} \right|=1$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 자취는 중심이 $\displaystyle\mathrm{A}(-3,~1)$이고 반지름이 $\displaystyle1$인 원이다. 즉,

$\displaystyle (x+3)^2 +(y-1)^2 =1$

또, $\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{BQ}} \right|=2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 자취는 중심이 $\displaystyle\mathrm{B}(0,~2)$이고 반지름이 $\displaystyle3$인 원이다. 즉,

$\displaystyle x^2 +(y-2)^2 =4$

또, $\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{OC}} \geq \frac{\sqrt2}{2}$이므로

$\displaystyle \begin{align} \overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{OC}} &=\left| \mathrm {AP} \right| \left| \mathrm{OC} \right| \cos \theta \\&=1 \times 1\times \cos \theta \geq \frac{\sqrt2}{2} \end{align}$

$\displaystyle \therefore~ \cos \theta  \geq \frac{\sqrt2}{2}$  $\displaystyle \therefore~ - \frac{\pi}{4} \leq \theta  \leq \frac{\pi}{4}$