[평가원기출]고3 2022학년도 9월 평가원 기하 30번

좌표평면에서 세 점 \(\displaystyle \mathrm{A}(3,~-1),~\mathrm {B}(0,~2),~\mathrm{C)}(1,~0)\)에 대하여 두 점 \(\displaystyle \mathrm{P,~Q}\)가

\(\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{AP}} \right|=1,~\left| \overrightarrow {\mathrm{BQ}} \right|=2,~\overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{OC}} \geq \frac{\sqrt2}{2}\)

를 만족시킬 때, \(\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 \(\displaystyle \mathrm{P,~Q}\)를 \(\displaystyle \mathrm{P_0,~Q_0}\)이라 하자.

선분 \(\displaystyle \mathrm{AP_0}\) 위의 점 \(\displaystyle \mathrm{X}\)에 대하여 \(\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{BX}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{BQ_0}}\geq 1\)일 때, \(\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{Q_0 X}}\right|^2 \)의 최댓값은 \(\displaystyle \frac{q}{p}\)이다. \(\displaystyle p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle  \mathrm{O} \)는 원점이고 \(\displaystyle p,~q\)는 서로소인 자연수이다.) [\(\displaystyle 4\)점\) 

 

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[평가원기출] 2022학년도 9월 평가원 킬러문항 22번 [더플러스수학]

 

 

\(\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{AP}} \right|=1\)이므로 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)의 자취는 중심이 \(\displaystyle\mathrm{A}(-3,~1)\)이고 반지름이 \(\displaystyle1\)인 원이다. 즉,

\(\displaystyle (x+3)^2 +(y-1)^2 =1\)

또, \(\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{BQ}} \right|=2\)이므로 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)의 자취는 중심이 \(\displaystyle\mathrm{B}(0,~2)\)이고 반지름이 \(\displaystyle3\)인 원이다. 즉,

\(\displaystyle x^2 +(y-2)^2 =4\)

또, \(\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{OC}} \geq \frac{\sqrt2}{2}\)이므로

\(\displaystyle \begin{align} \overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{OC}} &=\left| \mathrm {AP} \right| \left| \mathrm{OC} \right| \cos \theta \\&=1 \times 1\times \cos \theta \geq \frac{\sqrt2}{2} \end{align}\)

\(\displaystyle \therefore~ \cos \theta  \geq \frac{\sqrt2}{2}\)  \(\displaystyle \therefore~ - \frac{\pi}{4} \leq \theta  \leq \frac{\pi}{4}\)