[2021년3월 미적분 30번] [킬러문항30번풀이][더플러스수학]

 

자연수 $\displaystyle n$에 대하여 삼차함수 $\displaystyle f ( x)=x \left (  x-n \right) \left (  x-3n ^{2} \right)$이 극대가 되는 $\displaystyle x$를 $\displaystyle a _{ n}$이라 하자. $\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle f ( x)=f \left (  a _{ n} \right)$의 근 중에서 $\displaystyle a _{ n}$이 아닌 근을 $\displaystyle b _{ n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {a _{ n} b _{ n}} {n ^{3}}} = \frac {q} {p}$이다. $\displaystyle p+q$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

 

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정답 $\displaystyle 5$

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

$\displaystyle \begin{align}  f ( x)  & =x \left (  x-n \right) \left (  x-3n ^{2} \right) \\&  =x ^{3} - \left (  3n ^{2} +n \right) x ^{2} +3n ^{3} x  \end{align}$ 

$\displaystyle f  '  ( x)=3x ^{2} -2 ( 3n ^{2} +n)x+3n ^{3}$

$\displaystyle f  '  ( x)=0$에서 

$\displaystyle x= \frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3}$ 

또는 $\displaystyle x= \frac {3n ^{2} +n+ \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3}$

함수 $\displaystyle f ( x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수이므로 

$\displaystyle x= \frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3}$에서 극댓값을 갖는다.

즉 $\displaystyle a _{ n} = \frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3}$

$\displaystyle \begin{align} \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {a _{ n}} {n}} & = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3n}} \\&  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3n+1- \sqrt {9n ^{2} -3n+1}} {3}}\\& = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {\left (  3n+1 \right) ^{2} - \left (  9n ^{2} -3n+1 \right)} {3 \left (  3n+1+ \sqrt {9n ^{2} -3n+1} \right)}} \\&  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3n} {3n+1+ \sqrt {9n ^{2} -3n+1}}} \\&  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3} {3+ \frac {1} {n} + \sqrt {9- \frac {3} {n} + \frac {1} {n ^{2}}}}} \\& = \frac {1} {2} \end{align}$  

방정식 $\displaystyle f ( x)-f \left (  a _{ n} \right) =0$은 $\displaystyle x=a _{ n}$을 중근으로 가지고, $\displaystyle a _{ n}$이 아닌 근이 $\displaystyle b _{ n}$이므로 

$\displaystyle     x \left (  x-n \right) \left (  x-3n ^{2} \right) -f(a_n )=0$ 

의 근은 $\displaystyle  a_n ,~a_n ,~b_n$이므로 근과 계수의 관계에 의해

$\displaystyle a_n +a_n +b_n = n+3n^2,~ 2a_n +b_n = n+3n^2$

이다. $\displaystyle  \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {a _{ n}} {n}} = \frac {1} {2}$이므로 위의 식의 양변을 $\displaystyle n^2$으로 나누어 변형하면

$\displaystyle    \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2a_n +b_n}{n^2} =\frac {n+3n^2}{n^2}$, $\displaystyle    \lim\limits_{n \rightarrow \infty} 2\times \frac{a_n}{n}\times \frac{1}{n}  +\frac{b_n}{n^2} =3$

$\displaystyle \therefore~     2\times \frac{1}{2} \times 0  +\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{n^2} =3$

$\displaystyle \therefore~     \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{n^2} =3$

$\displaystyle \begin{align} \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty }  \frac {a _{ n} b _{ n}} {n ^{3}}  &  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty }  \frac {a _{ n}}{n} \frac{b _{ n}}{n^2}   =\frac{1}{2} \times 3 \\&= \frac{3}{2}\end{align}$ 

$\displaystyle \therefore~ \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty }  \frac {a _{ n} b _{ n}} {n ^{3}}   = \frac {3} {2}$

$\displaystyle p=2$, $\displaystyle q=3$이므로 

$\displaystyle p+q=5$