[2021년3월 미적분 30번] [킬러문항30번풀이][더플러스수학]

 

자연수 \(\displaystyle n  \)에 대하여 삼차함수 \(\displaystyle f ( x)=x \left (  x-n \right) \left (  x-3n ^{2} \right)   \)이 극대가 되는 \(\displaystyle x  \)를 \(\displaystyle a _{ n}   \)이라 하자. \(\displaystyle x  \)에 대한 방정식 \(\displaystyle f ( x)=f \left (  a _{ n} \right)   \)의 근 중에서 \(\displaystyle a _{ n}   \)이 아닌 근을 \(\displaystyle b _{ n}   \)이라 할 때, \(\displaystyle \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {a _{ n} b _{ n}} {n ^{3}}} = \frac {q} {p}   \)이다. \(\displaystyle p+q  \)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle p  \)와 \(\displaystyle q  \)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

 

https://youtu.be/RxiLt8jqTJM(구독과 좋아요)

 

정답 \(\displaystyle 5\)

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

\(\displaystyle \begin{align}  f ( x)  & =x \left (  x-n \right) \left (  x-3n ^{2} \right) \\&  =x ^{3} - \left (  3n ^{2} +n \right) x ^{2} +3n ^{3} x  \end{align}\) 

\(\displaystyle f  '  ( x)=3x ^{2} -2 ( 3n ^{2} +n)x+3n ^{3} \)

\(\displaystyle f  '  ( x)=0  \)에서 

\(\displaystyle x= \frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3} \) 

또는 \(\displaystyle x= \frac {3n ^{2} +n+ \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3} \)

함수 \(\displaystyle f ( x)  \)는 최고차항의 계수가 \(\displaystyle 1  \)인 삼차함수이므로 

\(\displaystyle x= \frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3} \)에서 극댓값을 갖는다.

즉 \(\displaystyle a _{ n} = \frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3} \)

\(\displaystyle \begin{align} \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {a _{ n}} {n}} & = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3n ^{2} +n- \sqrt {9n ^{4} -3n ^{3} +n ^{2}}} {3n}} \\&  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3n+1- \sqrt {9n ^{2} -3n+1}} {3}}\\& = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {\left (  3n+1 \right) ^{2} - \left (  9n ^{2} -3n+1 \right)} {3 \left (  3n+1+ \sqrt {9n ^{2} -3n+1} \right)}} \\&  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3n} {3n+1+ \sqrt {9n ^{2} -3n+1}}} \\&  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {3} {3+ \frac {1} {n} + \sqrt {9- \frac {3} {n} + \frac {1} {n ^{2}}}}} \\& = \frac {1} {2} \end{align}\)  

방정식 \(\displaystyle f ( x)-f \left (  a _{ n} \right) =0 \)은 \(\displaystyle x=a _{ n}   \)을 중근으로 가지고, \(\displaystyle a _{ n}   \)이 아닌 근이 \(\displaystyle b _{ n}   \)이므로 

\(\displaystyle     x \left (  x-n \right) \left (  x-3n ^{2} \right) -f(a_n )=0\) 

의 근은 \(\displaystyle  a_n ,~a_n ,~b_n \)이므로 근과 계수의 관계에 의해

\(\displaystyle a_n +a_n +b_n = n+3n^2,~ 2a_n +b_n = n+3n^2 \)

이다. \(\displaystyle  \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty } {\frac {a _{ n}} {n}} = \frac {1} {2} \)이므로 위의 식의 양변을 \(\displaystyle n^2\)으로 나누어 변형하면

\(\displaystyle    \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2a_n +b_n}{n^2} =\frac {n+3n^2}{n^2} \), \(\displaystyle    \lim\limits_{n \rightarrow \infty} 2\times \frac{a_n}{n}\times \frac{1}{n}  +\frac{b_n}{n^2} =3 \)

\(\displaystyle \therefore~     2\times \frac{1}{2} \times 0  +\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{n^2} =3 \)

\(\displaystyle \therefore~     \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{n^2} =3 \)

\(\displaystyle \begin{align} \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty }  \frac {a _{ n} b _{ n}} {n ^{3}}  &  = \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty }  \frac {a _{ n}}{n} \frac{b _{ n}}{n^2}   =\frac{1}{2} \times 3 \\&= \frac{3}{2}\end{align}\) 

\(\displaystyle \therefore~ \lim\limits _{n  \rightarrow   \infty }  \frac {a _{ n} b _{ n}} {n ^{3}}   = \frac {3} {2} \)

\(\displaystyle p=2 \), \(\displaystyle q=3  \)이므로 

\(\displaystyle p+q=5 \)