[수학의 기초] 평균값의 정리와 구간단속

$\displaystyle 53.7 \mathrm{km}$의 울산-포항간 고속도로가 개통되어 이동시간이 $\displaystyle 30$분 시대가 열렸다.

어느 날 울산에 살던 성현이가 포항에 있는 대학교 포스텍($\displaystyle \mathrm{POSTECH}$)에 있는 '상학'이라는 학교 선배를 만날 겸 대학을 탐방하기 위해 울산-포항간 고속도로를 이용하여 울산에서 출발하여 포항에 $\displaystyle 30$분만에 도착했다. 도착한 직후 교통경찰관인 준현와 성현이의 대화내용을 적어 본다. 물론 가상의 대화이다.

 

교통경찰 준현 : 속도를 위반하셨군요!

운전자 성현 : 무슨 말씀이세요?  저는 규정속도를 절대로 넘은 적이 없어요!

교통경찰 준현 : 당신은 오늘 아침 $\displaystyle 10$시 정각에 울산게이트를 출발하여 $\displaystyle 10$시 $\displaystyle 30$분에 포항에 도착했습니다.

이 고속도로는 제한속도가 시속 $\displaystyle 100\mathrm{km}$입니다. 그런데 운전자는 한 번은 이 속도를 넘은적이 있습니다.

운전자 성현: 예? 무슨 말을 하세요. 당신의 말을 인정할 수 없어요?

 

 

위의 대화에서 교통경찰 준현의 말은 논리적으로 비약이 심해서 운전자 성현이는 인정을 하지 못한다. 

여러분이면 성현이가 "과속을 했다"는 것을 논리적으로 설명할 수 있을까?

증명

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함수$\displaystyle f ( t)$를 다음과 같이 정의하자.

$\displaystyle t$시간이 흘렀을 때 자동차와 울산 톨게이트까지의 고속도로 위의 거리를 $\displaystyle f ( t) \mathrm {km}$라 하자.

그러면 $\displaystyle f ( 0)=0$, $\displaystyle f \left(\frac{30}{60}\right ) = 53.7 \mathrm{km}$이고 거리의 함수 $\displaystyle f$는 연속이고 미분가능하다고 할 때,

평균값의 정리에 의해

$\displaystyle 100 \mathrm{km}/h < \frac{f ( 4)-f ( 0)}{\frac{30}{60}-0} = \frac{53.7}{\frac{1}{2}} =107.4=f' ( c)=v_c$ $\displaystyle \left( 0<c< \frac{30}{60} \right)$

를 만족하는 $\displaystyle c$가 존재한다. 즉 $\displaystyle t=c$일 때 속도는 $\displaystyle \frac{53.7}{\frac{1}{2}} =107.4 >100\mathrm {km}/h$로 과속한 적이 적어도 한 번 있다.

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다음 상황을 생각해보자.

제한 속도가 $\displaystyle \mathrm {60km}/h$인 도로에서 속도 측정기를 갖춘 두 대의 순찰차 $\displaystyle A,~B$가 $\displaystyle 5 \mathrm {km}$의 거리를 두고 과속 차량을 단속하고 있다.
아래 그림에서 어떤 승용차에 대하여 $\displaystyle A$ 순찰차가 속도를 측정한 결과 $\displaystyle 50 \mathrm {km}/h$이었고, $\displaystyle 4$분 뒤에 $\displaystyle B$ 순찰차가 같은 승용차의 속도를 측정한 결과 $\displaystyle 55 \mathrm {km}/h$이었다고 한다. 

이런 상황에서, 승용차는 도로 $\displaystyle 5 \mathrm {km}$ 구간을 달리는 $\displaystyle 4$분 동안

$\displaystyle 60 \mathrm {km}/h$의 제한속도

를 위반했는지, 안 했는지를 논리적으로 설명할 수 있을까? 물론 여기서 시간에 대한 승용차가 움직인 거리의 함수는 미분가능하다고 가정하자.

(증명)

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함수 $\displaystyle f ( t)$를 시각 $\displaystyle t$(시간)일 때까지 자동차가 움직인 거리라 하자. 그러면 $\displaystyle f ( 0)=0$, $\displaystyle f \left ( \frac {4} {60} \right ) =5 \mathrm {km}$이고, $\displaystyle f ' ( 0)=50 \mathrm {km}/h$, $\displaystyle f ' \left ( \frac {4} {60} \right ) =55 \mathrm {km}/h$이다. 함수 $\displaystyle f$는 미분가능한 함수이므로 적분에 관한 평균값 정리에 의해

$\displaystyle \frac {1} { \frac {4} {60} -0} \int _ {0} ^ { \frac {4} {60} }  f ' ( t)dt=f ' ( c)=v _ {c}$($\displaystyle 0< c < \frac {4} {60}$)

를 만족하는 $\displaystyle c$가 존재한다. 그런데 위 식에서 $\displaystyle \int _ {0} ^ { \frac {4} {60} } f ' ( t)dt=5 \mathrm {km}$이므로 좌변은 $\displaystyle \frac {5} { \frac {4} {60} } =75 \mathrm {km}/h$이므로 속도가 제한 속도 $\displaystyle 60 \mathrm{ km}/h$를 넘은 때가 $\displaystyle 4$분 동안 적어도 한 번은 있었다.

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구간단속

과속으로 인한 자동차 사고를 예방하기 위하여 도로의 상태에 따라 제한속도를 정하고 때로는 단속을 통하여 과속을 예방하고 있다. 특히 운전자가 무인 단속 카메 라 앞에서는 감속을 하지만 곧 과속을 하는 경향이 있기 때문에 우리나라에서도 ‘구 간 단속’이란 방법을 도입하였다. 이를테면 제한속도가 시속 $\displaystyle 100 \mathrm{ km}$인 직선 도로에 서 $\displaystyle 10 \mathrm{ km}$ 간격을 두고 설치되어 있는 카메라를 어떤 자동차가 $\displaystyle 5$분 만에 통과하였다 면, 이 자동차의 평균속도가 시속 $\displaystyle 120 \mathrm{ km}$이므로 이 구간 사이에서 적어도 한 번은 과속을 했다는 뜻이므로 단속 대상이 된다.  -『고등학교 수학』

 

구간 평균속도

 

 

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