[수학의 기초] 평균값의 정리(1)

평균값의 정리에 대하여 알아보고 롤의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명해 보자.

롤의 정리

함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이고 열린구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에서 미분가능할 때, \(\displaystyle f(a)=f(b)\)이면 

\(\displaystyle f'(c)=0\)

인 \(\displaystyle c\)가 열린구간 \(\displaystyle (a,~b\)에 적어도 하나 존재한다.

(증명)

함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이므로 최대 최소의 정리 의 정리를 이용하여 증명한다.

먼저 함수\(\displaystyle f(x)\)가 열린구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에 속하는 점 \(\displaystyle c \)에서 최댓값 또는 최솟값을 가질 때 와 그렇지 않을 때로 나누어서 증명하자.

(1) 열린구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에 속하는 점 \(\displaystyle c \)에서 최댓값 또는 최솟값을 가질 때

닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 \(\displaystyle f(c)\)가 최댓값일 때,

\(\displaystyle a \leq x \leq c \)에서 \(\displaystyle f(x) \leq f(c) \)이므로

\(\displaystyle f(x) - f(c) \leq 0\)      \(\displaystyle \frac{f(x) - f(c)}{x-c} \geq 0 ~~\cdots\cdots ~①\)   

\(\displaystyle x=c \in (a,~b)\)에서 함수 \(\displaystyle f(x)\)는 미분가능하므로 ①의 양변에 극한 ( \(\displaystyle   \lim\limits_{x \rightarrow c -}  \) )를 취하면

\(\displaystyle f'(c)=\lim\limits_{x \rightarrow c-}\frac{f(x) - f(c)}{x-c} \geq 0 \)

\(\displaystyle c \leq x \leq b \)에서 \(\displaystyle f(x) \leq f(c)\)이므로 위와 똑같이 하면

\(\displaystyle f'(c)=\lim\limits_{x \rightarrow c-}\frac{f(x) - f(c)}{x-c} \leq 0 \)

따라서 \(\displaystyle f'(c)=0\)이다.

닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 \(\displaystyle f(c)\) 최솟값을 가질 때도 위와 같이 하면 \(\displaystyle f'(c)=0\)이다.

(2) 그렇지 않을 때 즉, (1)을 부정하면

\(\displaystyle \sim \left( \right.\) 열린구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에 속하는 점 \(\displaystyle c \)에서 최댓값 또는 최솟값을 가질 때  \(\displaystyle   \left. \right)\)

다른 말로 밑줄 친 부분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

어떤 \(\displaystyle c \in (a,~b)\)가 존재하여 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.

이것을 부정하면 "어떤"의 부정은 "모든", "임의의"이므로

임의의 \(\displaystyle c \in (a,~b)\)에 대하여 최댓값을 갖지 않고 최솟값도 갖지 않는다.

즉, 최댓값과 최솟값을 갖는 \(\displaystyle x \)는 \(\displaystyle a\)와 \(\displaystyle b\)이다. 그런데 \(\displaystyle f(a)=f(b)\)이므로 

함수 \(\displaystyle f(x)\)는 구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 상수함수이다. 

따라서 구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에 속하는 모든 점에서 미분하면 \(\displaystyle 0\)이므로 \(\displaystyle f'(c)=0\)인 \(\displaystyle c \in (a,~b)\)가 존재한다.