[수학의 기초] 디리클레 자 함수(Dirichlete ruler function)-Thomae function

과학고에서 배우는 AP-Calculus에서 나오는 디리클레 자함수(Dirichlete Ruler function)에 대해 알아보자. 

토마스 Calculus 12판에서 나오는 디리클레 자함수를 인용하면 아래와 같다.

The Dirichlet ruler function

If \(\displaystyle x \) is a rational number, then \(\displaystyle  x\) can be written in a unique way as a quotient of integers \(\displaystyle  \frac{m}{n}\) where \(\displaystyle n >0\) and \(\displaystyle  m\) and \(\displaystyle n \) have no common factors greater than \(\displaystyle  1\)  (We say that such a fraction is in lowest terms. For example, \(\displaystyle  \frac{6}{4}\) written in lowest terms is \(\displaystyle  \frac{3}{2}\).)

Let \(\displaystyle  f(x) \) be defined for all \(\displaystyle x\) in the interval \(\displaystyle [0, ~1] \) by

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{1}{n},~~&if~x= \frac{m}{n}~is~a ~rational ~number~in~lowest~terms\\0& if ~x ~is~irrational. \end{cases}\)

For instance, \(\displaystyle f(0)=f(1)=1,~f \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2},~f \left(\frac{1}{3}\right)=f \left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}\), \(\displaystyle  f \left(\frac{1}{4}\right)=f \left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}\), and so on.

a. Show that \(\displaystyle f\) is discontinuous at every rational number in \(\displaystyle [0, ~1]\).

b. Show that \(\displaystyle f\) is continuous at every irrational number in \(\displaystyle [0,~ 1]\).
(Hint: If is a given positive number, show that there are only finitely many rational numbers \(\displaystyle r\) in \(\displaystyle [0, ~1]\) such that \(\displaystyle f(r) \geq \epsilon\). )

c. Sketch the graph of ƒ. Why do you think ƒ is called the “ruler function”?

 

Thomae function

이 함수를 Thomae function이라고 부르기도 한다. 이것을 한글로 요약해서 정의역 \(\displaystyle [0,~1]\)에서 표현하면

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} 0 &(x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q})\\ 1 &(x=0)\\ \frac{1}{n} &(x = \frac{n}{m},~ m,~n은~서로소,~n>0)\end{cases}\)

이제 다음이 성립함을 보이자.

(1) 함수 \(\displaystyle f \)는 점 \(\displaystyle x=a \in [0,~1] \cap \mathbb{Q}\)에서 불연속이다.

(2) 함수 \(\displaystyle f \)는 점 \(\displaystyle x=a \in [0,~1] \cap \mathbb{R}-\mathbb{Q}\)에서 연속이다. 즉 무리수인 점에서 연속이다.

(증명)

(1) 유리수인 점 \(\displaystyle c= \frac{n}{m},~(m,~n\)은 서로소인 자연수) 에서 위의 함수가 불연속인 것을 보이는 것은 다음을 보이는 것과 같다. 즉

\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq \frac{1}{m}\)

왜냐하면 \(\displaystyle f(c)=\frac{1}{m} >0\)이므로 극한이 존재한다 하더라도 그 값이 \(\displaystyle \frac{1}{m}\)이 아니므로 즉, \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq f(c)=\frac{1}{m}\)이므로 연속이 될 수 없기 때문이다.

\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq \frac{1}{m}\)

이것에 대한 자세한 내용은 극한의 정의인 \(\displaystyle  \epsilon-\delta\)와 극한의 부정에 대한 아래글을 참조하시길 바랍니다. 

2022.01.23 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정

이제 \(\displaystyle  \epsilon= \frac{1}{2m}\)으로 잡으면 \(\displaystyle  c\)를 제외한 \(\displaystyle  c\)부근에 아무리 \(\displaystyle  \delta>0\)간격의 열린 구간을 잡아도 그 구간 안에는 반드시 무리수가 존재한다. 무리수의 조밀성에 의해 

따라서 이 무리수를 \(\displaystyle  x_0\)라 하면 \(\displaystyle f(x_0 )=0\)이므로 이것은 \(\displaystyle \left| f(x)-\frac{1}{m} \right| < \frac{1}{2m}\)에 속하지 않는다. 따라서 불연속이다.

구체적으로 무리수 \(\displaystyle  x_0\)를 \(\displaystyle c= \frac{n}{m}\) 부근에서 구해보자.

임의의 \(\displaystyle \delta\) 에 대하여 \(\displaystyle \delta > \frac{\sqrt{2}}{N}\)을 만족하는 자연수 \(\displaystyle N\)이 존재한다. 그리고 \(\displaystyle  \frac{\sqrt{2}}{N}\)은 무리수이므로 \(\displaystyle  x_0\)를 \(\displaystyle  x_0 =c+ \frac{\sqrt{2}}{N}\)으로 두면

\(\displaystyle \left| c -x_0 \right| = \left|\frac{n}{m}-x_0 \right| = \frac{\sqrt{2}}{N} <\delta\)

을 만족한다. 따라서 이 무리수 \(\displaystyle  x_0\)를 함수 \(\displaystyle  f\)에 대입하면

\(\displaystyle  f(x_0)=0\)이고  \(\displaystyle \left| f(x_0 )-\frac{1}{m} \right|= \frac{1}{m} > \frac{1}{2m}\)

즉, \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq \frac{1}{n}\)이므로 불연속이다.

(2) 무리수인 점 \(\displaystyle x=a \in (0,~1)\)에서 연속임을 보이자.

먼저 \(\displaystyle \epsilon>0\)이 주어졌다고 하자.

만약 \(\displaystyle x \in (0,~1)\)가 무리수이면 \(\displaystyle f(x)=0\)이므로 어떤 실수 \(\displaystyle \delta\)에 대해서도  \(\displaystyle \left|x-a \right|<\delta\)이면 \(\displaystyle \left|f(x)-f(a) \right|=\left|0-0\right|=0 < \epsilon\)이다.

이제 우리는 \(\displaystyle x \in (0,~1)\)가 유리수일 때, 

\(\displaystyle \left|x-a \right|<\delta\)이면 \(\displaystyle \left|f(x)-f(a) \right|<\epsilon\)    \(\displaystyle \cdots\cdots ~①\)

를 만족하는 \(\displaystyle \delta=\delta(\epsilon)\)를 결정해야 한다. 즉, \(\displaystyle \epsilon\)이 주어질 때, 그것에 대응하는 \(\displaystyle \delta\)를 잡아야 한다.

천천히 우리가 \(\displaystyle \delta\)를 잡는 과정을 \(\displaystyle \epsilon= \frac{1}{4},~a = \frac{1}{\sqrt{2}}\)일 때 한번 보여보자.

\(\displaystyle \frac{1}{N}<\epsilon= \frac{1}{4} \leq \frac{1}{N-1}\)을 만족하는 자연수 \(\displaystyle N\)이 존재한다. 여기서 \(\displaystyle N=5\)이다.

분모가 \(\displaystyle 5\)이상인 모든 기약분수 \(\displaystyle \frac{q}{p} (g(p,~q)=1,~p \geq 5,~p,~q \in \mathbb{N})\)는 

\(\displaystyle \left|f \left( \frac{q}{p}\right)-f \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right|=\left| \frac{1}{p}-0\right|= \frac{1}{p}<\epsilon=\frac{1}{4}\)

이므로 ①이 성립한다.

따라서 분모가 \(\displaystyle 4\)이하인 기약분수 \(\displaystyle \frac{q}{p} (g(p,~q)=1,~2\leq p \leq4,~p,~q \in \mathbb{N})\)일 때,

\(\displaystyle \left|f \left( \frac{q}{p}\right)-\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right|=\left| \frac{1}{p}-0\right|= \frac{1}{p} \geq \epsilon=\frac{1}{4}\)

이므로 적당한 \(\displaystyle \delta\)를 잡아서 \(\displaystyle \left| x- \frac{1}{\sqrt2}\right|<\delta\)에 분모가 \(\displaystyle 4\)이하인 기약분수가 포함되지 않도록 해야 한다.

분모가 \(\displaystyle 4\)인 기약분수 \(\displaystyle \frac{1}{4},~\frac{3}{4}\) 를 구간 \(\displaystyle [0,~1]\)에 표시하면 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)은 

\(\displaystyle \frac{1}{4}<\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{3}{4}\)

이므로 분모가 \(\displaystyle 4\)인 기약분수를 포함하지 않으려면 \(\displaystyle \delta\)는 다음과 같이 잡아야 한다.

\(\displaystyle \delta_4 =\min \left \{\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{4}\right|,~\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{3}{4}\right| \right\}\)

또, 분모가 \(\displaystyle 3\)인 기약분수 \(\displaystyle \frac{1}{3},~\frac{2}{3}\) 를 구간 \(\displaystyle [0,~1]\)에 표시하면 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)은

\(\displaystyle \frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{2}{3}\)

이므로 분모가 \(\displaystyle 3\)인 기약분수를 포함하지 않으려면 \(\displaystyle \delta\)는 다음과 같이 잡아야 한다.

\(\displaystyle \delta_3 =\min \left \{\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{3}\right|,~\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{2}{3}\right| \right\}\)

또, 분모가 \(\displaystyle 2\)인 기약분수 \(\displaystyle \frac{1}{2} \) 를 구간 \(\displaystyle [0,~1]\)에 표시하면 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)은

\(\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}<1\)

이므로 분모가 \(\displaystyle 1\)인 기약분수를 포함하지 않으려면 \(\displaystyle \delta\)는 다음과 같이 잡아야 한다.

\(\displaystyle \delta_2 =\min \left \{\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{2}\right|,~\left| \frac{1}{\sqrt2}-1\right| \right\}\)

이상에 보듯이 새롭게 \(\displaystyle \delta\)를 다음과 같이 잡자.

\(\displaystyle \delta= \min \left\{ \delta_2 ,~\delta_3 ,~\delta_4\right\}\)

그러면 \(\displaystyle \left| x- \frac{1}{\sqrt2}\right|<\delta\)의 범위에는 분모가 \(\displaystyle 4\)이하인 어떤 기약분수도 없으므로 이 범위의 모든 수(유리수이나 무리수 모두)는 

\(\displaystyle \left|f \left( x \right)-f \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right|=\left| f(x)-0\right| <\epsilon=\frac{1}{4}\)

을 만족한다. 따라서 함수 \(\displaystyle f\)는 연속이다.

이제 남은 것은 이 과정으로 임의의 \(\displaystyle \epsilon\)에 대하여 서술하는 것이 남았다. 과정이 좀 복잡하지만 위의 과정을 넘지 않을 것이다.

 

곧 위의 과정을 정리해서 증명을 마무리하겠습니다.  방학이라 틈틈히 하느라 ... 개봉박두....

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

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