[수학의 기초] 디리클레 자 함수(Dirichlete ruler function)-Thomae function

과학고에서 배우는 AP-Calculus에서 나오는 디리클레 자함수(Dirichlete Ruler function)에 대해 알아보자. 
토마스 Calculus 12판에서 나오는 디리클레 자함수를 인용하면 아래와 같다.

The Dirichlet ruler function

If $\displaystyle x$ is a rational number, then $\displaystyle  x$ can be written in a unique way as a quotient of integers $\displaystyle  \frac{m}{n}$ where $\displaystyle n >0$ and $\displaystyle  m$ and $\displaystyle n$ have no common factors greater than $\displaystyle  1$  (We say that such a fraction is in lowest terms. For example, $\displaystyle  \frac{6}{4}$ written in lowest terms is $\displaystyle  \frac{3}{2}$.)

Let $\displaystyle  f(x)$ be defined for all $\displaystyle x$ in the interval $\displaystyle [0, ~1]$ by

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{1}{n},~~&if~x= \frac{m}{n}~is~a ~rational ~number~in~lowest~terms\\0& if ~x ~is~irrational. \end{cases}$

For instance, $\displaystyle f(0)=f(1)=1,~f \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2},~f \left(\frac{1}{3}\right)=f \left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}$, $\displaystyle  f \left(\frac{1}{4}\right)=f \left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}$, and so on.
a. Show that $\displaystyle f$ is discontinuous at every rational number in $\displaystyle [0, ~1]$.
b. Show that $\displaystyle f$ is continuous at every irrational number in $\displaystyle [0,~ 1]$.
(Hint: If is a given positive number, show that there are only finitely many rational numbers $\displaystyle r$ in $\displaystyle [0, ~1]$ such that $\displaystyle f(r) \geq \epsilon$. )
c. Sketch the graph of ƒ. Why do you think ƒ is called the “ruler function”?
 

Thomae function

이 함수를 Thomae function이라고 부르기도 한다. 이것을 한글로 요약해서 정의역 $\displaystyle [0,~1]$에서 표현하면

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 0 &(x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q})\\ 1 &(x=0)\\ \frac{1}{n} &(x = \frac{n}{m},~ m,~n은~서로소,~n>0)\end{cases}$

이제 다음이 성립함을 보이자.
(1) 함수 $\displaystyle f$는 점 $\displaystyle x=a \in [0,~1] \cap \mathbb{Q}$에서 불연속이다.
(2) 함수 $\displaystyle f$는 점 $\displaystyle x=a \in [0,~1] \cap \mathbb{R}-\mathbb{Q}$에서 연속이다. 즉 무리수인 점에서 연속이다.
(증명)
(1) 유리수인 점 $\displaystyle c= \frac{n}{m},~(m,~n$은 서로소인 자연수) 에서 위의 함수가 불연속인 것을 보이는 것은 다음을 보이는 것과 같다. 즉
$\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq \frac{1}{m}$
왜냐하면 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{m} >0$이므로 극한이 존재한다 하더라도 그 값이 $\displaystyle \frac{1}{m}$이 아니므로 즉, $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq f(c)=\frac{1}{m}$이므로 연속이 될 수 없기 때문이다.
$\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq \frac{1}{m}$
이것에 대한 자세한 내용은 극한의 정의인 $\displaystyle  \epsilon-\delta$와 극한의 부정에 대한 아래글을 참조하시길 바랍니다. 
2022.01.23 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정
이제 $\displaystyle  \epsilon= \frac{1}{2m}$으로 잡으면 $\displaystyle  c$를 제외한 $\displaystyle  c$부근에 아무리 $\displaystyle  \delta>0$간격의 열린 구간을 잡아도 그 구간 안에는 반드시 무리수가 존재한다. 무리수의 조밀성에 의해 
따라서 이 무리수를 $\displaystyle  x_0$라 하면 $\displaystyle f(x_0 )=0$이므로 이것은 $\displaystyle \left| f(x)-\frac{1}{m} \right| < \frac{1}{2m}$에 속하지 않는다. 따라서 불연속이다.
구체적으로 무리수 $\displaystyle  x_0$를 $\displaystyle c= \frac{n}{m}$ 부근에서 구해보자.
임의의 $\displaystyle \delta$ 에 대하여 $\displaystyle \delta > \frac{\sqrt{2}}{N}$을 만족하는 자연수 $\displaystyle N$이 존재한다. 그리고 $\displaystyle  \frac{\sqrt{2}}{N}$은 무리수이므로 $\displaystyle  x_0$를 $\displaystyle  x_0 =c+ \frac{\sqrt{2}}{N}$으로 두면
$\displaystyle \left| c -x_0 \right| = \left|\frac{n}{m}-x_0 \right| = \frac{\sqrt{2}}{N} <\delta$
을 만족한다. 따라서 이 무리수 $\displaystyle  x_0$를 함수 $\displaystyle  f$에 대입하면
$\displaystyle  f(x_0)=0$이고  $\displaystyle \left| f(x_0 )-\frac{1}{m} \right|= \frac{1}{m} > \frac{1}{2m}$
즉, $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c } f(x) \neq \frac{1}{n}$이므로 불연속이다.
(2) 무리수인 점 $\displaystyle x=a \in (0,~1)$에서 연속임을 보이자.
먼저 $\displaystyle \epsilon>0$이 주어졌다고 하자.
만약 $\displaystyle x \in (0,~1)$가 무리수이면 $\displaystyle f(x)=0$이므로 어떤 실수 $\displaystyle \delta$에 대해서도  $\displaystyle \left|x-a \right|<\delta$이면 $\displaystyle \left|f(x)-f(a) \right|=\left|0-0\right|=0 < \epsilon$이다.
이제 우리는 $\displaystyle x \in (0,~1)$가 유리수일 때, 
$\displaystyle \left|x-a \right|<\delta$이면 $\displaystyle \left|f(x)-f(a) \right|<\epsilon$    $\displaystyle \cdots\cdots ~①$
를 만족하는 $\displaystyle \delta=\delta(\epsilon)$를 결정해야 한다. 즉, $\displaystyle \epsilon$이 주어질 때, 그것에 대응하는 $\displaystyle \delta$를 잡아야 한다.
천천히 우리가 $\displaystyle \delta$를 잡는 과정을 $\displaystyle \epsilon= \frac{1}{4},~a = \frac{1}{\sqrt{2}}$일 때 한번 보여보자.
$\displaystyle \frac{1}{N}<\epsilon= \frac{1}{4} \leq \frac{1}{N-1}$을 만족하는 자연수 $\displaystyle N$이 존재한다. 여기서 $\displaystyle N=5$이다.
분모가 $\displaystyle 5$이상인 모든 기약분수 $\displaystyle \frac{q}{p} (g(p,~q)=1,~p \geq 5,~p,~q \in \mathbb{N})$는 
$\displaystyle \left|f \left( \frac{q}{p}\right)-f \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right|=\left| \frac{1}{p}-0\right|= \frac{1}{p}<\epsilon=\frac{1}{4}$
이므로 ①이 성립한다.
따라서 분모가 $\displaystyle 4$이하인 기약분수 $\displaystyle \frac{q}{p} (g(p,~q)=1,~2\leq p \leq4,~p,~q \in \mathbb{N})$일 때,
$\displaystyle \left|f \left( \frac{q}{p}\right)-\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right|=\left| \frac{1}{p}-0\right|= \frac{1}{p} \geq \epsilon=\frac{1}{4}$
이므로 적당한 $\displaystyle \delta$를 잡아서 $\displaystyle \left| x- \frac{1}{\sqrt2}\right|<\delta$에 분모가 $\displaystyle 4$이하인 기약분수가 포함되지 않도록 해야 한다.
분모가 $\displaystyle 4$인 기약분수 $\displaystyle \frac{1}{4},~\frac{3}{4}$ 를 구간 $\displaystyle [0,~1]$에 표시하면 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$은 
$\displaystyle \frac{1}{4}<\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{3}{4}$
이므로 분모가 $\displaystyle 4$인 기약분수를 포함하지 않으려면 $\displaystyle \delta$는 다음과 같이 잡아야 한다.
$\displaystyle \delta_4 =\min \left \{\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{4}\right|,~\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{3}{4}\right| \right\}$
또, 분모가 $\displaystyle 3$인 기약분수 $\displaystyle \frac{1}{3},~\frac{2}{3}$ 를 구간 $\displaystyle [0,~1]$에 표시하면 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$은
$\displaystyle \frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{2}{3}$
이므로 분모가 $\displaystyle 3$인 기약분수를 포함하지 않으려면 $\displaystyle \delta$는 다음과 같이 잡아야 한다.
$\displaystyle \delta_3 =\min \left \{\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{3}\right|,~\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{2}{3}\right| \right\}$
또, 분모가 $\displaystyle 2$인 기약분수 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 를 구간 $\displaystyle [0,~1]$에 표시하면 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$은
$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}<1$
이므로 분모가 $\displaystyle 1$인 기약분수를 포함하지 않으려면 $\displaystyle \delta$는 다음과 같이 잡아야 한다.
$\displaystyle \delta_2 =\min \left \{\left| \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{2}\right|,~\left| \frac{1}{\sqrt2}-1\right| \right\}$
이상에 보듯이 새롭게 $\displaystyle \delta$를 다음과 같이 잡자.
$\displaystyle \delta= \min \left\{ \delta_2 ,~\delta_3 ,~\delta_4\right\}$
그러면 $\displaystyle \left| x- \frac{1}{\sqrt2}\right|<\delta$의 범위에는 분모가 $\displaystyle 4$이하인 어떤 기약분수도 없으므로 이 범위의 모든 수(유리수이나 무리수 모두)는 
$\displaystyle \left|f \left( x \right)-f \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right|=\left| f(x)-0\right| <\epsilon=\frac{1}{4}$
을 만족한다. 따라서 함수 $\displaystyle f$는 연속이다.
이제 남은 것은 이 과정으로 임의의 $\displaystyle \epsilon$에 대하여 서술하는 것이 남았다. 과정이 좀 복잡하지만 위의 과정을 넘지 않을 것이다.
 
곧 위의 과정을 정리해서 증명을 마무리하겠습니다.  방학이라 틈틈히 하느라 ... 개봉박두....
 
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