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[더플러스수학] 고급수학 교과서 질문 복소평면 이항방정식 풀이수학과 공부이야기 2021. 11. 1. 12:26
과고2학년 학생들이 고급수학 교과서에서 질문해서 문제와 나의 풀이를 적어본다.
고급수학 교과서 심화문제
가 방정식 ()의 임의의 한 해라 하자. 또, 의 근(의 제곱근 중 하나인 )에 를 곱해서 의 모든 해를 만들 수 있음을 보여라. 즉, 해집합 은
이다.
(증명) 먼저 인 에 대하여 이 를 만족함을 보이자.
가 의 한 해이므로
이 이 한 해이므로
따라서
은 차 방정식이므로 근은 모두 개다. 따라서 집합 의 모든 원소는 를 만족함을 보였으므로 집합 의 모든 원소는 서로 다름을 귀류법으로 보이자.
여기서 의 해인 은 인 어떤 에 대해서도 라고 가정하자.
예를 들어 일 때 의 한 근을 라 하고, 의 근은 인데 여기서 이라 한다면 집합 는
에서 과 이 서로 같고, 과 이 서로 같으므로 집합 의 원소의 개수는 개 밖에 없다. 따라서 인 해집합이 집합 가 될 수 없다.
이 , , , , , , 을 만족하는 의 한 해라고 가정하자.
집합 의 원소의 개수가 개임을 보이자. 귀류법으로
인 어떤 가 존재하여 라 가정하자.
그러면 이므로
이므로
이고 이므로
그런데 이므로 존재하지 않는다.
따라서 집합 의 원소는 모두 다르고 개다. 따라서 집합 는 의 해집합이다.
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