[더플러스수학] 고급수학 교과서 질문 복소평면 이항방정식 풀이

과고2학년 학생들이 고급수학 교과서에서 질문해서 문제와 나의 풀이를 적어본다.

고급수학 교과서 심화문제

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\(\displaystyle \zeta \)가 방정식 \(\displaystyle z^n = \omega \)(\(\displaystyle \neq 0 \))의 임의의 한 해라 하자. 또, \(\displaystyle x^n = 1 \)의 근(\(\displaystyle 1 \)의 \(\displaystyle n \)제곱근 중 하나인 \(\displaystyle \omega _ {n} \))에 \(\displaystyle \zeta \)를 곱해서 \(\displaystyle z ^ {n} = \omega \)의 모든 해를 만들 수 있음을 보여라. 즉, 해집합 \(\displaystyle S \)은

\(\displaystyle S= \left\{ \zeta ,~ \zeta \omega _ {n} ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {2} ,~ \cdots ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {n-1} \right\} \)

이다.

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(증명) 먼저 \(\displaystyle 0 \leq k \leq n-1 \)인 \(\displaystyle k \)에 대하여 \(\displaystyle \zeta \omega _ {n} ^ {k} \)이 \(\displaystyle z ^ {n} = \omega \)를 만족함을 보이자.

\(\displaystyle \zeta \)가 \(\displaystyle z ^ {n} = \omega \)의 한 해이므로 \(\displaystyle \zeta^n = \omega \)

\(\displaystyle \omega _ {n} \)이 \(\displaystyle x^n =1 \)이 한 해이므로 \(\displaystyle \left ( \omega _ {n} \right ) ^ {n} =1 \)

따라서

\(\displaystyle \left ( \zeta \omega _ {n} ^ {k} \right)^n \)\(\displaystyle = \left ( \zeta ) ^ {n} \left ( \omega _ {n} ^ {k} \right ) ^ {n} \right . \)\(\displaystyle =\omega \times ( \omega_n ^n )^k = \omega \times 1^k = \omega \)

\(\displaystyle z ^ {n} = \omega \)은 \(\displaystyle n \)차 방정식이므로 근은 모두 \(\displaystyle n \)개다. 따라서 집합 \(\displaystyle S \)의 모든 원소는 \(\displaystyle z ^ {n} = \omega \)를 만족함을 보였으므로 집합 \(\displaystyle S \)의 모든 원소는 서로 다름을 귀류법으로 보이자.

여기서 \(\displaystyle x ^ {n} =1 \)의 해인 \(\displaystyle \omega_n \)은 \(\displaystyle 1 \leq k \leq n-1 \)인 어떤 \(\displaystyle k \)에 대해서도 \(\displaystyle \left ( \omega _ {n} \right ) ^ {k} \neq 1 \)라고 가정하자.

예를 들어 \(\displaystyle n=4 \)일 때 \(\displaystyle z ^ {4} = \omega \)의 한 근을 \(\displaystyle \zeta \)라 하고, \(\displaystyle x ^ {4} =1 \)의 근은 \(\displaystyle 1,~-1,~i,~-i \)인데 여기서 \(\displaystyle \omega _ {4} =-1 \)이라 한다면 집합 \(\displaystyle S \)는

\(\displaystyle S= \left\{ \zeta ,~ \zeta \times ( -1),~ \zeta \times ( -1) ^ {2} ,~ \zeta \times ( -1) ^ {3} \right\} \)

에서 \(\displaystyle \zeta \times ( -1) \)과 \(\displaystyle \zeta \times ( -1) ^ {3} \)이 서로 같고, \(\displaystyle \zeta \times ( -1)^2 \)과 \(\displaystyle \zeta \times ( -1) ^ {4} \)이 서로 같으므로 집합 \(\displaystyle S \)의 원소의 개수는 \(\displaystyle 2 \)개 밖에 없다. 따라서 \(\displaystyle z^4 = \omega \)인 해집합이 집합 \(\displaystyle S \)가 될 수 없다.

\(\displaystyle \omega_n \)이 \(\displaystyle \omega _ {n} ^ {1} \neq 1 \), \(\displaystyle \omega_n^2 \neq 1 \), \(\displaystyle \cdots \), \(\displaystyle \omega_n^k \neq 1 \), \(\displaystyle \cdots \), \(\displaystyle \omega_n^n-1 \neq 1 \), \(\displaystyle \omega _ {n} ^ {n} =1 \)을 만족하는 \(\displaystyle x ^ {n} =1 \)의 한 해라고 가정하자.

집합 \(\displaystyle S= \left\{ \zeta ,~ \zeta \omega _ {n} ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {2} ,~ \cdots ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {n-1} \right\} \)의 원소의 개수가 \(\displaystyle n \)개임을 보이자. 귀류법으로

\(\displaystyle 0 \leq p,~q \leq n-1 \)인 어떤 \(\displaystyle p,~q \) \(\displaystyle \left ( p<q \right ) \)가 존재하여 \(\displaystyle \zeta \omega _ {n} ^ {p} = \zeta \omega _ {n} ^ {q} \)라 가정하자.

그러면 \(\displaystyle \zeta \neq 0 \)이므로

\(\displaystyle \zeta \omega _ {n} ^ {p} = \zeta \omega _ {n} ^ {q} \) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \) \(\displaystyle \omega _ {n} ^ {p} =\omega _ {n} ^ {q} \) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \) \(\displaystyle \omega _ {n} ^ {p} \left\{1- ( \omega _ {n} ) ^ {q-p} \right\} =0 \)

\(\displaystyle \omega _ {n} \neq 0 \)이므로 \(\displaystyle ( \omega _ {n} ) ^ {q-p} =1 \)

\(\displaystyle \omega _ {n} ^ {n} =1 \)이고 \(\displaystyle p<q \) 이므로

\(\displaystyle q-p=n,~2n,~3n,~ \cdots ~ \)

그런데 \(\displaystyle 0<q-p<n \)이므로 존재하지 않는다.

따라서 집합 \(\displaystyle S \)의 원소는 모두 다르고 \(\displaystyle n \)개다. 따라서 집합 \(\displaystyle S \)는 \(\displaystyle z ^ {n} =\omega \)의 해집합이다.