[더플러스수학] 고급수학 교과서 질문 복소평면 이항방정식 풀이

과고2학년 학생들이 고급수학 교과서에서 질문해서 문제와 나의 풀이를 적어본다.

고급수학 교과서 심화문제

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$\displaystyle \zeta$가 방정식 $\displaystyle z^n = \omega$($\displaystyle \neq 0$)의 임의의 한 해라 하자. 또, $\displaystyle x^n = 1$의 근($\displaystyle 1$의 $\displaystyle n$제곱근 중 하나인 $\displaystyle \omega _ {n}$)에 $\displaystyle \zeta$를 곱해서 $\displaystyle z ^ {n} = \omega$의 모든 해를 만들 수 있음을 보여라. 즉, 해집합 $\displaystyle S$은

$\displaystyle S= \left\{ \zeta ,~ \zeta \omega _ {n} ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {2} ,~ \cdots ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {n-1} \right\}$

이다.

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(증명) 먼저 $\displaystyle 0 \leq k \leq n-1$인 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \zeta \omega _ {n} ^ {k}$이 $\displaystyle z ^ {n} = \omega$를 만족함을 보이자.

$\displaystyle \zeta$가 $\displaystyle z ^ {n} = \omega$의 한 해이므로 $\displaystyle \zeta^n = \omega$

$\displaystyle \omega _ {n}$이 $\displaystyle x^n =1$이 한 해이므로 $\displaystyle \left ( \omega _ {n} \right ) ^ {n} =1$

따라서

$\displaystyle \left ( \zeta \omega _ {n} ^ {k} \right)^n$$\displaystyle = \left ( \zeta ) ^ {n} \left ( \omega _ {n} ^ {k} \right ) ^ {n} \right .$$\displaystyle =\omega \times ( \omega_n ^n )^k = \omega \times 1^k = \omega$

$\displaystyle z ^ {n} = \omega$은 $\displaystyle n$차 방정식이므로 근은 모두 $\displaystyle n$개다. 따라서 집합 $\displaystyle S$의 모든 원소는 $\displaystyle z ^ {n} = \omega$를 만족함을 보였으므로 집합 $\displaystyle S$의 모든 원소는 서로 다름을 귀류법으로 보이자.

여기서 $\displaystyle x ^ {n} =1$의 해인 $\displaystyle \omega_n$은 $\displaystyle 1 \leq k \leq n-1$인 어떤 $\displaystyle k$에 대해서도 $\displaystyle \left ( \omega _ {n} \right ) ^ {k} \neq 1$라고 가정하자.

예를 들어 $\displaystyle n=4$일 때 $\displaystyle z ^ {4} = \omega$의 한 근을 $\displaystyle \zeta$라 하고, $\displaystyle x ^ {4} =1$의 근은 $\displaystyle 1,~-1,~i,~-i$인데 여기서 $\displaystyle \omega _ {4} =-1$이라 한다면 집합 $\displaystyle S$는

$\displaystyle S= \left\{ \zeta ,~ \zeta \times ( -1),~ \zeta \times ( -1) ^ {2} ,~ \zeta \times ( -1) ^ {3} \right\}$

에서 $\displaystyle \zeta \times ( -1)$과 $\displaystyle \zeta \times ( -1) ^ {3}$이 서로 같고, $\displaystyle \zeta \times ( -1)^2$과 $\displaystyle \zeta \times ( -1) ^ {4}$이 서로 같으므로 집합 $\displaystyle S$의 원소의 개수는 $\displaystyle 2$개 밖에 없다. 따라서 $\displaystyle z^4 = \omega$인 해집합이 집합 $\displaystyle S$가 될 수 없다.

$\displaystyle \omega_n$이 $\displaystyle \omega _ {n} ^ {1} \neq 1$, $\displaystyle \omega_n^2 \neq 1$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \omega_n^k \neq 1$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \omega_n^n-1 \neq 1$, $\displaystyle \omega _ {n} ^ {n} =1$을 만족하는 $\displaystyle x ^ {n} =1$의 한 해라고 가정하자.

집합 $\displaystyle S= \left\{ \zeta ,~ \zeta \omega _ {n} ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {2} ,~ \cdots ,~ \zeta \omega _ {n} ^ {n-1} \right\}$의 원소의 개수가 $\displaystyle n$개임을 보이자. 귀류법으로

$\displaystyle 0 \leq p,~q \leq n-1$인 어떤 $\displaystyle p,~q$ $\displaystyle \left ( p<q \right )$가 존재하여 $\displaystyle \zeta \omega _ {n} ^ {p} = \zeta \omega _ {n} ^ {q}$라 가정하자.

그러면 $\displaystyle \zeta \neq 0$이므로

$\displaystyle \zeta \omega _ {n} ^ {p} = \zeta \omega _ {n} ^ {q}$ $\displaystyle \Longleftrightarrow$ $\displaystyle \omega _ {n} ^ {p} =\omega _ {n} ^ {q}$ $\displaystyle \Longleftrightarrow$ $\displaystyle \omega _ {n} ^ {p} \left\{1- ( \omega _ {n} ) ^ {q-p} \right\} =0$

$\displaystyle \omega _ {n} \neq 0$이므로 $\displaystyle ( \omega _ {n} ) ^ {q-p} =1$

$\displaystyle \omega _ {n} ^ {n} =1$이고 $\displaystyle p<q$ 이므로

$\displaystyle q-p=n,~2n,~3n,~ \cdots ~$

그런데 $\displaystyle 0<q-p<n$이므로 존재하지 않는다.

따라서 집합 $\displaystyle S$의 원소는 모두 다르고 $\displaystyle n$개다. 따라서 집합 $\displaystyle S$는 $\displaystyle z ^ {n} =\omega$의 해집합이다.