[2022년 3월교육청 모의고사 기하 30번] 포물선의 정의 응용 [더플러스수학]

그림과 같이 꼭짓점이 $\displaystyle \mathrm{A_1}$ 이고 초점이 $\displaystyle \mathrm{F_1}$ 인 포물선 $\displaystyle P_1$과 $\displaystyle \mathrm{A_2}$ 이고 초점이 $\displaystyle \mathrm{F_2}$ 인 포물선 $\displaystyle P_2$가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 $\displaystyle \mathrm{F_1 F_2}$와 평행하고, 두 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{A_1A_2}},~ \overline{\mathrm{F_1 F_2}}$의 중점은 서로 일치한다. 

두 포물선 $\displaystyle P_1,~P_2$가 서로 다른 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 $\displaystyle \mathrm{A_2}$에 가까운 점을 $\displaystyle \mathrm{B_2}$라 하자. 포물선 $\displaystyle P_1$이 선분 $\displaystyle \mathrm{F_1 F_2}$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}$라 할 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{B,~C}$가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) $\displaystyle \overline{\mathrm{A_1C}}= 5\sqrt 5$ 

(나) $\displaystyle \overline{\mathrm{F_1B}}-\overline{\mathrm{F_2 B}} =\frac{48}{5}$ 

삼각형 $\displaystyle \mathrm{BF_2 F_1}$의 넓이가 $\displaystyle S$일 때, $\displaystyle 10S$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \angle \mathrm{F_1F_2B}<90^{\circ}$)

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