[2022년 3월교육청 모의고사 기하 30번] 포물선의 정의 응용 [더플러스수학]

그림과 같이 꼭짓점이 \(\displaystyle \mathrm{A_1}\) 이고 초점이 \(\displaystyle \mathrm{F_1}\) 인 포물선 \(\displaystyle P_1\)과 \(\displaystyle \mathrm{A_2}\) 이고 초점이 \(\displaystyle \mathrm{F_2}\) 인 포물선 \(\displaystyle P_2\)가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 \(\displaystyle \mathrm{F_1 F_2} \)와 평행하고, 두 선분 \(\displaystyle \overline{\mathrm{A_1A_2}},~ \overline{\mathrm{F_1 F_2}} \)의 중점은 서로 일치한다. 

두 포물선 \(\displaystyle P_1,~P_2\)가 서로 다른 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 \(\displaystyle \mathrm{A_2}\)에 가까운 점을 \(\displaystyle \mathrm{B_2}\)라 하자. 포물선 \(\displaystyle P_1\)이 선분 \(\displaystyle \mathrm{F_1 F_2} \) 와 만나는 점을 \(\displaystyle \mathrm{C} \)라 할 때, 두 점 \(\displaystyle \mathrm{B,~C} \)가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) \(\displaystyle \overline{\mathrm{A_1C}}= 5\sqrt 5 \) 

(나) \(\displaystyle \overline{\mathrm{F_1B}}-\overline{\mathrm{F_2 B}} =\frac{48}{5}\) 

삼각형 \(\displaystyle \mathrm{BF_2 F_1}\)의 넓이가 \(\displaystyle S\)일 때, \(\displaystyle 10S\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle \angle \mathrm{F_1F_2B}<90^{\circ}\))

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