[2020년3월 가형 미적분 30번] [더플러스수학]

#2020년_3월_가형_모의고사_30번 #미적분킬러문항 문제에 대한 여러가지 풀이 입니다.

최고차항의 계수가 \(\displaystyle 4 \)인 삼차함수 \(\displaystyle f ( x) \)와 실수 \(\displaystyle t \)에 대하여 함수 \(\displaystyle g ( x) \)를 

\(\displaystyle g ( x)= \int _ {t} ^ {x} {f ( s)} ds \)

라 하자. 상수 \(\displaystyle a \)에 대하여 두 함수 \(\displaystyle f ( x) \)와 \(\displaystyle g ( x) \)가 다음 조건을 만족시킨다.

---

(가) \(\displaystyle f '  ( a)=0 \)

(나) 함수 \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | \)가 미분가능하지 않은 \(\displaystyle x \)의 개수는 \(\displaystyle 1 \)이다.

---

실수 \(\displaystyle t \)에 대하여 \(\displaystyle g ( a) \)의 값을 \(\displaystyle h ( t) \)라 할 때, \(\displaystyle h ( 3)=0 \)이고 함수 \(\displaystyle h ( t) \)는 \(\displaystyle t=2 \)에서 최댓값 \(\displaystyle 27 \)을 가진다. \(\displaystyle f ( 5) \)의 값을 구하시오. [4점]

 

 

https://youtu.be/qyXy-ucm-mw(풀이1)

https://youtu.be/bqNYjfLhEOY(풀이2)

 

 

 

(풀이3) 정답 432

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 문제를 해결한다.

\(\displaystyle f ( x) \)가 최고차항의 계수가 \(\displaystyle 4 \)인 삼차함수이므로 

\(\displaystyle g ( x)= \int _ {t} ^ {x} {} f ( s)ds \)는 최고차항의 계수가 \(\displaystyle 1 \)인 사차함수이고 실수 전체의 집합에서 함수 \(\displaystyle g ( x)-g ( a) \)는 미분가능하다. 

\(\displaystyle g ( x) \geq g ( a) \)일 때, \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | =g ( x)-g ( a) \)

\(\displaystyle g ( x) < g ( a) \)일 때, \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | = - \left\{ g ( x)-g ( a) \right\} \)

이므로 함수 \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | \)은 \(\displaystyle g ( x)-g ( a) \neq 0 \)인 모든 \(\displaystyle x \)에서 미분가능하다.

\(\displaystyle g ( x)-g ( a)=0 \)를 만족시키는 \(\displaystyle x \)의 값을 \(\displaystyle k \)라 하면,

\(\displaystyle g ( k)=g ( a) \)이므로 

\(\displaystyle \frac {\left | g ( x)-g ( a) \right | - \left | g ( k)-g ( a) \right |} {x-k} = \frac {\left | g ( x)-g ( k) \right |} {x-k} \)

(ⅰ) \(\displaystyle x=k \)의 좌우에서 \(\displaystyle g ( x)-g ( a) \)의 부호가 같을 때

\(\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow k-} {} \frac {\left | g ( x)-g ( k) \right |} {x-k} = \lim\limits _ {x \rightarrow k+} {} \frac {\left | g ( x)-g ( k) \right |} {x-k} \)

이므로 함수 \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | \)는 \(\displaystyle x=k \)에서 미분가능하다.

(ⅱ) \(\displaystyle x=k \)의 좌우에서 \(\displaystyle g ( x)-g ( a) \)의 부호가 다르고 \(\displaystyle f ( k)=0 \)일 때

\(\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow k-} {} \frac {\left | g ( x)-g ( k) \right |} {x-k} = \lim\limits _ {x \rightarrow k+} {} \frac {\left | g ( x)-g ( k) \right |} {x-k} \)

이므로 함수 \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | \)는 \(\displaystyle x=k \)에서 미분가능하다.

(ⅲ) \(\displaystyle x=k \)의 좌우에서 \(\displaystyle g ( x)-g ( a) \)의 부호가 다르고 \(\displaystyle f ( k) \neq 0 \)일 때,

\(\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow k-} {} \frac {\left | g ( x)-g ( a) \right |} {x-k} \neq \lim\limits _ {x \rightarrow k+} {} \frac {\left | g ( x)-g ( a) \right |} {x-k} \)

이므로 함수 \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | \)는 \(\displaystyle x=k \)에서 미분가능하지 않다.

(나)에서 함수 \(\displaystyle \left | g ( x)-g ( a) \right | \)가 미분가능하지 않은 \(\displaystyle x \)의 개수가 \(\displaystyle 1 \)이므로

\(\displaystyle g ( x)-g ( a)=0 \), \(\displaystyle g '  ( x)=f ( x) \neq 0 \)

인 \(\displaystyle x \)가 단 하나 존재한다는 것을 알 수 있다.

그러므로 사차함수 \(\displaystyle y=g ( x) \)는 단 하나의 극솟값을 갖고 함수 \(\displaystyle g ( x) \)의 그래프와 직선 \(\displaystyle y=g ( a) \)는 서로 다른 두 점에서 만난다.

\(\displaystyle g '  ( x)=0 \)인 방정식 \(\displaystyle g ( x)-g ( a)=0 \)의 근을 \(\displaystyle \alpha \), 함수 \(\displaystyle g ( x) \)가 극솟값을 가질 때의 \(\displaystyle x \)의 값을 \(\displaystyle \beta \)라 하면 \(\displaystyle \alpha \), \(\displaystyle \beta \)의 대소관계에 따라 다음과 같이 두 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) \(\displaystyle \alpha < \beta \)인 경우 (단, \(\displaystyle g ( \gamma )=g ( \alpha ) \), \(\displaystyle \beta < \gamma \))

함수 \(\displaystyle y=g ( x) \)의 도함수 \(\displaystyle y=f ( x) \)의 그래프를 그려 보면

\(\displaystyle g ( \alpha )=g ( \gamma )=g ( a) \)이므로 \(\displaystyle \alpha =a \) 또는 \(\displaystyle \gamma =a \)(가)에서 \(\displaystyle f '  ( a)=0 \)이므로 \(\displaystyle \alpha =a \)이다.

따라서 \(\displaystyle f ( x)=4 \left ( x-a \right ) ^ {2} \left ( x- \beta \right ) \)이다.

\(\displaystyle h ( t)=g ( a)= \int _ {t} ^ {a} {f ( s)} ds \)\(\displaystyle = - \int _ {a} ^ {t} {} f ( s)ds \)에서

\(\displaystyle h '  ( t)= -f ( t) \)함수 \(\displaystyle h ( t) \)가 \(\displaystyle t=2 \)에서 최댓값, 즉 극댓값을 가지므로 \(\displaystyle h '  ( 2)= -f ( 2)=0 \)

따라서 \(\displaystyle a=2 \) 또는 \(\displaystyle \beta =2 \)이다.

\(\displaystyle a=2 \)이면 \(\displaystyle h ( 2)= \int _ {2} ^ {2} {f ( t)} dt=0 \neq 27 \) 이므로 \(\displaystyle a \neq 2 \)\(\displaystyle \beta =2 \)이면

\(\displaystyle h ( 3)= \int _ {3} ^ {a} {f ( s)} ds=0 \)이고,\(\displaystyle h ( 2)= \int _ {2} ^ {a} {f ( s)} ds=27 \)이므로

\(\displaystyle h ( 2)-h ( 3)= \int _ {2} ^ {3} {f ( s)} ds=27 \)이다.

\(\displaystyle \begin{align} \int _ {2} ^ {3} {f ( s)} ds &= \int _ {2} ^ {3} {4 \left ( s-a \right ) ^ {2} \left ( s-2 \right )} ds \\&  = \int _ {2} ^ {3} {4 \left\{ s ^ {3} -2 \left ( a+1 \right ) s ^ {2} + \left ( a ^ {2} +4a \right ) s-2a ^ {2} \right\} } ds \\& = \left [ s ^ {4} - \frac {8} {3} \left ( a+1 \right ) s ^ {3} +2 \left ( a ^ {2} +4a \right ) s ^ {2} -8a ^ {2} s \right ] _ {2} ^ {3} \\&  =65- \frac {152} {3} \left ( a+1 \right ) +10 \left ( a ^ {2} +4a \right ) -8a ^ {2} \\&  =2a ^ {2} - \frac {32} {3} a+ \frac {43} {3}  =27 \end{align}\)

이므로

\(\displaystyle 3a ^ {2} -16a-19=0 \)

\(\displaystyle \left ( a+1 \right ) \left ( 3a-19 \right ) =0 \)\(\displaystyle a= -1 \) 또는 \(\displaystyle a= \frac {19} {3} \)\(\displaystyle a < 2 \)이므로

\(\displaystyle a= -1 \)이다.

\(\displaystyle f ( x)=4 \left ( x+1 \right ) ^ {2} \left ( x-2 \right ) \)라 하면 함수 \(\displaystyle f ( x) \)는 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) \(\displaystyle \alpha > \beta \)인 경우 (단, \(\displaystyle g ( \gamma )=g ( \alpha ) \), \(\displaystyle \gamma < \beta \))

함수 \(\displaystyle y=g ( x) \)의 도함수 \(\displaystyle y=f ( x) \)의 그래프를 그려 보면

(가)에서 \(\displaystyle f '  ( a)=0 \)이므로 \(\displaystyle \alpha =a \)이다.

따라서 \(\displaystyle f ( x)=4 \left ( x-a \right ) ^ {2} \left ( x- \beta \right ) \)이다.\(\displaystyle \alpha < \beta \)인 경우와 마찬가지로 \(\displaystyle \beta =2 \)이다.

\(\displaystyle f ( x)=4 \left ( x-a \right ) ^ {2} \left ( x-2 \right ) \)\(\displaystyle a \neq 3 \)이면 \(\displaystyle h ( 3)= \int _ {3} ^ {a} {} f ( s)ds \neq 0 \)이므로 \(\displaystyle a=3 \)

따라서 \(\displaystyle f ( x)=4 \left ( x-3 \right ) ^ {2} \left ( x-2 \right ) \)이고

\(\displaystyle h ( 2) \)\(\displaystyle = \int _ {2} ^ {a} {} f ( s)ds \)\(\displaystyle = \int _ {2} ^ {3} {} 4 \left ( s-3 \right ) ^ {2} \left ( s-2 \right ) ds \)\(\displaystyle = \frac {1} {3} \)\(\displaystyle h ( 2) \neq 27 \)이므로

주어진 조건을 만족시키는 함수 \(\displaystyle f ( x) \)가 존재하지 않는다.

따라서 \(\displaystyle f ( x)=4 \left ( x+1 \right ) ^ {2} \left ( x-2 \right ) \)이다.

\(\displaystyle f ( 5)=4 \times 36 \times 3=432 \)