[더플러스수학] 2011학년도 시립대 수리논술

[2011년도 시립대 수리논술]

개구간 $ \left ( - \frac {\pi } {2} , \frac {\pi } {2} \right ) $에서 정의된 함수 $ F ( x)=\sin x $의 역함수를 $ G ( x) $라고 하고, 개구간 $ ( -2,2) $에서 정의된 함수 $ f ( x)=2\sin \left ( \frac {\pi x} {4} \right ) $의 역함수를 $ g ( x) $라고 하자.

(a) $ g ( 1) $과 $ h ( g ( \sqrt {2} )) $의 값을 구하여라. 여기서 $ h ( x) $는 개구간 $ \left ( - \frac {\pi } {2} , \frac {\pi } {2} \right ) $에서 정의된 $ \tan x $의 역함수이다.

(b) 함수 $ G $를 이용하여 $ g ( x) $를 나타내어라. 그리고 두 함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $의 그래프 개형을 그려라.

(c) 두 함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.

(d) 함수 $ g ( x) $의 도함수를 구하여라.

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힌트 및 정답

(a) $ g ( 1)= \frac {2} {3} $, $ h ( g ( \sqrt {2} ))= \frac {\pi } {4} $

(b) $ g ( x)= \frac {4} {\pi } G \left ( \frac {x} {2} \right ) $ (c) $ \frac {32} {\pi } -8 $

(d) $ \frac {4} {\pi \sqrt {4-x ^ {2} } } $