[더플러스수학] 2008학년도 성균관대 과학인재전형

[2008학년도 성균관대 수시2 과학인재전형]

폐구간 $[a,~b]$에 정의된 함수 $f~:~[a,~b] \rightarrow R$이 연속이고 $( a,~b)$에서 미분가능하면 다음 평균값 정리를 만족하는 것이 알려져 있다.

평균값 정리 : $a$와 $b$사이에 어떤 $c$가 존재하여 $f ( b)-f ( a)= \frac {df} {dx} ( c) ( b-a)$를 만족한다.

(a) 위의 정리의 의미를 (그래프를 생각하여 기하학적인 관점에서) 설명하시오.

(b) 폐구간 $[-1,~1]$에서 연속이면서 미분가능한 함수 $f$가 다음과 같이 정의되어 있다.

$f ( x)= \frac {x ^ {4} +x ^ {3} +x ^ {2} +x+4} {2x ^ {8} +3x ^ {6} +4x ^ {4} +5x ^ {2} + \frac {2x} {x ^ {2} +1} \cos \left ( \frac {\pi } {2} x \right ) +2} -1$

위의 정리들을 이용하여 도함수 $\frac {df} {dx} ( x)$는 폐구간 $[-1,~1]$에서 최소한 하나의 근을 가짐을 보여라.