[더플러스수학] 2009학년도 서울시립대 심층면접

[2009학년도 서울시립대 심층면접문제]

지수함수 $ e ^ {x} $를 이용하여 두 함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $를 다음과 같이 정의하자.

$ f ( x)= \frac {1} {2} \left ( e ^ {x} -e ^ {-x} \right )$ ,  $g ( x)= \frac {1} {2} \left ( e ^ {x} +e ^ {-x} \right ) $

그러면 두 함수는 서로 도함수가 된다. 즉, $ \frac {d ( f ( x))} {dx} =g ( x), ~\frac {d ( g ( x))} {dx} =f ( x) $이 성립한다. 또한 $ [g ( x)] ^ {2} -[f ( x)] ^ {2} =1 $의 방정식도 성립한다. 주어진 두 함수를 이용하여 다음의 물음에 답하여라.

(a) $ f ( x) $와 $ g ( x) $의 그래프의 개형을 그리고, 각 함수의 역함수의 정의역과 치역을 구하여라.

(b) 음함수의 미분법을 이용하여 두 함수의 역함수 $ f ^ {-1} ( x) $와 $ g ^ {-1} ( x) $의 도함수를 구하여라.

(c) 함수 $ y=f ^ {-1} ( x) $를 $ x $의 함수로 나타내어라.

(d) 두 함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $를 이용해 정의된 함수 $ h ( x)=\ln ( g ( x))+x \frac {f ( x)} {g ( x)} $의 $ 0 $ 부터 $ 1 $까지의 정적분의 값을 구하여라.