[더플러스수학] 2011학년도 서강대 수리논술

(2011학년도 서강대 수시1차 논술)

두 개의 원이 직각으로 만난다는 것은, 두 개의 점에서 만나며 각 교점에서의 각 원에 대한 접선이 수직인 것을 말한다. 중심이 점 $ O $이고 반지름이 $ 1 $인 원 $ C $에 대하여, [그림 3]과 같이 $ C $와 직각으로 만나며 반지름이 $ r _ {n} $이고 중심이 $ O _ {n} $인 원 $ C _ {n} $들을 배치하려고 한다($ n=1,2, \cdots $). 이때 원 $ C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots $의 내부들은 서로 만나지 않도록 한다. $ C $와 $ C _ {n} $의 두 교점을 각각 $ P _ {n} $, $ Q _ {n} $이라 하면 직선 $ OP _ {n} $과 $ OQ _ {n} $은 각각 점 $ P _ {n} $, $ Q _ {n} $에서의 $ C _ {n} $의 접선임을 알 수 있다. 그런데 $ r _ {n} = \frac {1} {n} $이면 $ C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots $들을 모두 배치하는 것이 불가능하지만, $ r _ {n} = \frac {1} {2 ^ {n} } $이라면 [그림 4]와 같이 $ C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots $들을 시계반대방향으로 돌아가면서 접하게 배치해 나가면 $ C _ {n} $들을 모두 배치할 수 있을 것이다.

그림 4

                그림3

【2-1】 [그림 3]에서처럼 원 $ C $위의 호 $ P _ {n} Q _ {n} $에 해당하는 중심각의 크기의 $ \frac {1} {2} $을 $ \theta _ {n} $이라 하자. 부채꼴 $ O _ {n} P _ {n} Q _ {n} $의 호 $ P _ {n} Q _ {n} $과 선분 $ P _ {n} Q _ {n} $으로 둘러싸인 영역의 넓이 $ A _ {n} $을 $ \theta _ {n} $으로 나타내어라. $ r _ {n} $이 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \in F } {} r _ {n} =0 $를 만족한다고 할 때, $ \lim\limits _ {n \rightarrow \in F } {} \frac {A _ {n} } {r _ {n} ^ {2} } $을 구하라.

【2-2】 $ 0 \leq x \leq \frac {\pi } {4} $일 때, 부등식 $ x \leq \tan x \leq 2x $가 성립함을 보여라.

【2-3】 앞의 문항【2-2】의 부등식을 이용하여 제시문 속의 밑줄 친 내용이 타당함을 설명하라.

【2-4】 $ r _ {n} = \frac {1} {2 ^ {n} } $일 때 [그림 4]와 같이 $ C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots $들을 접하게 하지 않고, 임의의 위치에 배치해 나간다면 $ C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots $을 모두 배치하는 것이 항상 가능한지를 논하라.