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[더플러스수학] 2011학년도 서강대 수리논술수리논술과 심층면접 2019. 8. 20. 16:46
(2011학년도 서강대 수시1차 논술)
두 개의 원이 직각으로 만난다는 것은, 두 개의 점에서 만나며 각 교점에서의 각 원에 대한 접선이 수직인 것을 말한다. 중심이 점 O이고 반지름이 1인 원 C에 대하여, [그림 3]과 같이 C와 직각으로 만나며 반지름이 rn이고 중심이 On인 원 Cn들을 배치하려고 한다(n=1,2,⋯). 이때 원 C1,C2,C3,⋯의 내부들은 서로 만나지 않도록 한다. C와 Cn의 두 교점을 각각 Pn, Qn이라 하면 직선 OPn과 OQn은 각각 점 Pn, Qn에서의 Cn의 접선임을 알 수 있다.
그런데 rn=1n이면 C1,C2,C3,⋯들을 모두 배치하는 것이 불가능하지만, rn=12n이라면 [그림 4]와 같이 C1,C2,C3,⋯들을 시계반대방향으로 돌아가면서 접하게 배치해 나가면 Cn들을 모두 배치할 수 있을 것이다.
그림 4 그림3
【2-1】 [그림 3]에서처럼 원 C위의 호 PnQn에 해당하는 중심각의 크기의 12을 θn이라 하자. 부채꼴 OnPnQn의 호 PnQn과 선분 PnQn으로 둘러싸인 영역의 넓이 An을 θn으로 나타내어라. rn이 limn→∈Frn=0를 만족한다고 할 때, limn→∈FAnr2n을 구하라.
【2-2】 0≤x≤π4일 때, 부등식 x≤tanx≤2x가 성립함을 보여라.
【2-3】 앞의 문항【2-2】의 부등식을 이용하여 제시문 속의 밑줄 친 내용이 타당함을 설명하라.
【2-4】 rn=12n일 때 [그림 4]와 같이 C1,C2,C3,⋯들을 접하게 하지 않고, 임의의 위치에 배치해 나간다면 C1,C2,C3,⋯을 모두 배치하는 것이 항상 가능한지를 논하라.
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