[더플러스수학] 2011학년도 서강대 수리논술

(2011학년도 서강대 수시1차 논술)

두 개의 원이 직각으로 만난다는 것은, 두 개의 점에서 만나며 각 교점에서의 각 원에 대한 접선이 수직인 것을 말한다. 중심이 점 $O$이고 반지름이 $1$인 원 $C$에 대하여, [그림 3]과 같이 $C$와 직각으로 만나며 반지름이 $r _ {n}$이고 중심이 $O _ {n}$인 원 $C _ {n}$들을 배치하려고 한다($n=1,2, \cdots$). 이때 원 $C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots$의 내부들은 서로 만나지 않도록 한다. $C$와 $C _ {n}$의 두 교점을 각각 $P _ {n}$, $Q _ {n}$이라 하면 직선 $OP _ {n}$과 $OQ _ {n}$은 각각 점 $P _ {n}$, $Q _ {n}$에서의 $C _ {n}$의 접선임을 알 수 있다. 그런데 $r _ {n} = \frac {1} {n}$이면 $C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots$들을 모두 배치하는 것이 불가능하지만, $r _ {n} = \frac {1} {2 ^ {n} }$이라면 [그림 4]와 같이 $C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots$들을 시계반대방향으로 돌아가면서 접하게 배치해 나가면 $C _ {n}$들을 모두 배치할 수 있을 것이다.

그림 4

                그림3

【2-1】 [그림 3]에서처럼 원 $C$위의 호 $P _ {n} Q _ {n}$에 해당하는 중심각의 크기의 $\frac {1} {2}$을 $\theta _ {n}$이라 하자. 부채꼴 $O _ {n} P _ {n} Q _ {n}$의 호 $P _ {n} Q _ {n}$과 선분 $P _ {n} Q _ {n}$으로 둘러싸인 영역의 넓이 $A _ {n}$을 $\theta _ {n}$으로 나타내어라. $r _ {n}$이 $\lim\limits _ {n \rightarrow \in F } {} r _ {n} =0$를 만족한다고 할 때, $\lim\limits _ {n \rightarrow \in F } {} \frac {A _ {n} } {r _ {n} ^ {2} }$을 구하라.

【2-2】 $0 \leq x \leq \frac {\pi } {4}$일 때, 부등식 $x \leq \tan x \leq 2x$가 성립함을 보여라.

【2-3】 앞의 문항【2-2】의 부등식을 이용하여 제시문 속의 밑줄 친 내용이 타당함을 설명하라.

【2-4】 $r _ {n} = \frac {1} {2 ^ {n} }$일 때 [그림 4]와 같이 $C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots$들을 접하게 하지 않고, 임의의 위치에 배치해 나간다면 $C _ {1} ,C _ {2} ,C _ {3} , \cdots$을 모두 배치하는 것이 항상 가능한지를 논하라.