[수학의 기초] 학습교안: 다항식의 기저

학습목표:
- 다항식의 기저에 대한 개념을 이해한다.
- 다항식의 기저의 종류와 특징을 파악한다.
- 다항식의 기저를 활용하여 다항식을 표현하는 방법을 습득한다.

1. 기저의 개념 소개:

- 기저는 벡터 공간에서 사용되는 중요한 개념으로, 그 공간의 모든 벡터를 특정한 방식으로 조합하여 표현할 수 있는 최소한의 일차 독립적인 벡터 집합을 의미한다. 다시 말해, 기저는 벡터 공간의 모든 벡터를 선형 조합하여 표현할 수 있는 최소한의 필요한 벡터의 집합입니다. 이러한 기저의 성질은 다음과 같습니다:

1. 일차 독립성(Linearity):

기저의 모든 벡터는 서로 일차 독립적이어야 합니다. 즉, 한 벡터를 나머지 기저 벡터의 선형 조합으로 나타낼 수 없는 것이어야 합니다.

2. 생성성(Spanning):

기저 벡터의 선형 조합으로 공간 내의 모든 벡터를 생성할 수 있어야 합니다. 다시 말해, 공간 내의 임의의 벡터는 기저 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 있어야 합니다.

예를 들어 2차 이하의 다항식의 표준 기저는 1, \(x\), \(x^2\)로 구성되어 있습니다. 이러한 표준 기저는 벡터 공간에서의 기저의 정의를 만족하는 이유는 다음과 같습니다:

1. 선형 독립성: 1, \(x\), \(x^2\)는 서로 선형 독립적인 함수입니다. 즉, 어떤 상수 \(a\), \(b\), \(c\)를 가지고 일차결합을 해도 0이 되는 경우는 오직 \(a = b = c = 0\)일 때 뿐입니다. 따라서 이들은 일차 독립적인 벡터입니다.

2. 생성성: 임의의 2차 이하의 다항식 \(ax^2 + bx + c\)는 1, \(x\), \(x^2\)의 일차 결합으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, \(ax^2 + bx + c = a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2\)와 같이 표현할 수 있습니다. 이것은 1, \(x\), \(x^2\)가 2차 이하의 다항식을 생성하는 데 충분한 선형 독립적인 벡터들이라는 것을 보여줍니다.

따라서 2차 이하의 다항식의 표준 기저는 벡터 공간에서의 기저의 정의를 만족합니다.

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2. 다항식의 기저의 종류와 특징:

가. 표준 기저(Standard basis):

   - 표준 기저는 가장 기본적인 형태의 다항식으로, 주로 다항식의 차수에 따라 구성된다.
   - 예시: \(1, ~x, ~x^2,~ x^3, ~\ldots\)
   - "이동된 표준기저"
   - 예시: \(\displaystyle 1,~(x-a),~(x-a)^2 ,~(x-a)^3,~\ldots\)
* 2차 이하의 다항식의 표준 기저는 1, \(x\), \(x^2\)로 구성되어 있습니다. 이러한 표준 기저는 벡터 공간에서의 기저의 정의를 만족하는 이유는 다음과 같습니다:

1. 일차 독립성: 1, \(x\), \(x^2\)는 서로 선형 독립적인 함수입니다. 즉, 어떤 상수 \(a\), \(b\), \(c\)를 가지고 선형 조합을 해도 0이 되는 경우는 오직 \(a = b = c = 0\)일 때 뿐입니다. 따라서 이들은 선형 독립적인 벡터입니다.
왜냐하면 모든 실수 \(x\)에 대하여  \(\displaystyle a +b x+cx^2 =0\)가 성립하면 \(a = b = c = 0\)이다.
2. 생성성: 임의의 2차 이하의 다항식 \(ax^2 + bx + c\)는 1, \(x\), \(x^2\)의 선형 조합으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, \(ax^2 + bx + c = a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2\)와 같이 표현할 수 있습니다. 이것은 1, \(x\), \(x^2\)가 2차 이하의 다항식을 생성하는 데 충분한 선형 독립적인 벡터들이라는 것을 보여줍니다.

따라서 2차 이하의 다항식의 표준 기저는 벡터 공간에서의 기저의 정의를 만족합니다.

나. 라그랑주 기저(Lagrange basis):

   - 라그랑주 기저는 다항식을 보다 효율적으로 나타내기 위해 사용되는 특별한 기저이다.
   - 주어진 \(n\) 개의 다항식 집합을 사용하여 라그랑주 보간법을 적용하여 다항식을 표현한다.
예를 들어 2차이하의 다항식의 집합에서 다음 조건을 만족하는 2차 다항식을 구하는 문제가 나왔다고 하자. 
(i) 다항식 \(\displaystyle p(1)=2,~p(3)=5,~p(4)=-1\)
(ii) \(\displaystyle p(x)\)는 2차이하의 다항식이다.
(풀이) 이차 이하의 다항식의 라그랑쥐 기저는 \(\displaystyle (x-1)(x-3),~(x-3)(x-5),~(x-5)(x-1)\)
따라서 다항식 \(\displaystyle p(x)\)는 실수 \(\displaystyle a,~b,~c\)에 대하여 기저  \(\displaystyle (x-1)(x-3),~(x-3)(x-5),~(x-5)(x-1)\)의 일차결합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(\displaystyle p(x)=a(x-1)(x-3)+b(x-3)(x-5)+c(x-5)(x-1)\)

여기에 (i)의 조건을 대입하여 상수 \(\displaystyle a,~b,~c\)를 구해보면
\(\displaystyle 2=p(1)= b(1-3)(1-5) \)  \(\displaystyle\therefore~b=\frac{ 2}{(1-3)(1-5)}= \frac{1}{4} \)  
\(\displaystyle 5=p(3)= c(3-5)(3-1) \)  \(\displaystyle\therefore~c=\frac{ 5}{(3-5)(3-1)}= -\frac{5}{4} \)  
\(\displaystyle -1=p(4)= a(4-1)(4-3) \)  \(\displaystyle\therefore~a=\frac{ -1}{(4-1)(4-3)}= -\frac{1}{3} \)  
따라서 다항식 \(\displaystyle p(x)\)는
\(\displaystyle p(x)=- \frac 1 3 (x-1)(x-3)+\frac 1 4 (x-3)(x-5)-\frac 5 4(x-5)(x-1)\)

다. 뉴턴 기저(Newton basis):

   - 뉴턴 기저는 다항식을 뉴턴 다항식으로 표현하는 데 사용되는 기저이다.
   - 주어진 다항식을 뉴턴 다항식으로 전환하여 다항식을 기저의 선형 조합으로 나타낸다.
주어진 세 점 \((1, 2)\), \((2, 3)\), \((3, 5)\)을 이용하여 이차 다항식 \(\displaystyle p(x)\)를 뉴턴 기저를 사용하여 구해보자.

세 점을 보면서 세 실수 \(\displaystyle a,~b,~c\)애 대하여 다음과 같이 이차다항식을 표현해보자.
\(\displaystyle p(x)=a+ b(x-1)+c(x-1)(x-2)\)
이 식에 세 점 \((1, 2)\), \((2, 3)\), \((3, 5)\)을 대입하면
\(\displaystyle 2=p(1)=a\)
\(\displaystyle 3=p(2)=a+ b(2 -1)\)    \(\displaystyle \therefore~b=1\)
\(\displaystyle 5=p(3)=a+ b(3 -1)+c(3-1)(3-2)\)    \(\displaystyle \therefore~c=2\)
뉴턴 기저를 사용하여 이차 다항식은 다음과 같이 표현됩니다:

\(\displaystyle  p (x) = = 2 + 1(x - 1) + 2(x - 1)(x - 2) = 2x^2 - 5x + 5 \)

따라서 주어진 세 점을 지나는 이차 다항식은 \(\displaystyle 2x^2 - 5x + 5\)입니다.

라. 테일러 기저(Taylor basis):

   - 테일러 기저는 다항식을 테일러 급수로 나타내는 데 사용되는 기저이다.
   - 다항식을 테일러 급수로 전개하여 특정 점 주변의 다항식 근사값를 얻을 수 있다.
이차이하의 테일러 기저를 이용하여 함수 \(\displaystyle f(x)\)의 근사값을 구할 때는 다음과 같이 나타내서 구한다.
이차 이하의 다항식에서 x = a에서의 테일러 기저는 다음과 같이 주어진 함수를 해당 점에서의 테일러 전개를 이용하여 근사화합니다:

\(\displaystyle  f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 \)

여기서:
- \( f(a) \)는 함수의 값을 \( x = a \)에서의 값으로 대체합니다.
- \( f'(a) \)는 함수의 도함수를 \( x = a \)에서의 값으로 대체합니다.
- \( f''(a) \)는 함수의 이차 도함수를 \( x = a \)에서의 값으로 대체합니다.

따라서 이차 이하의 다항식에서 x = a에서의 테일러 기저는 위의 식으로 주어집니다. 즉 위의 식에서 등호를 넣으면 된다.
우리는 다항식을 구하는게 목적이지 근사다항식을 구하는게 아니라면 "이동된 표준기저"를 쓰면 된다.
4. 다항식의 기저 적용과 특징 분석:**
- 각각의 기저를 사용하여 다항식을 표현하는 방법과 각 기저의 장단점을 분석한다.

5. 예시 및 연습 문제:**
- 학생들은 주어진 다항식을 다양한 기저로 표현하고, 각각의 기저가 다항식을 어떻게 표현하는지 연습한다.