[수학의 기초]샌드위치정리 증명 입실론델타논법 [더플러스수학학원]

이번엔 미적분에서 극한 단원에서 중요한 정리 중 하나인 샌드위치 정리에 대해 입실론델타논법으로 증명할께요.
그럼 먼저 다음처럼 입실론델타논법으로 함수의 극한을 정의하자.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$의 정의

임의의 $\epsilon >0$에 대하여 적당한 $\delta =\delta (\epsilon)$이 존재하여
$0<|x-c|<\delta $ 이면 $|f(x)-L|<\epsilon $

먼저 샌드위정리에 대해 알아 보자.

샌드위치 정리

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L,~\lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이고 $\displaystyle f(x) \leq h(x) \leq g(x)$이고 $L=M$이면

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} h(x)=L(=M)$

(증명) 이것을 입실론델타논법으로 증명할께요.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L,~\lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이고 $L=M$이므로

임의의 $\epsilon >0$에 대하여 적당한 $\delta _1$이 존재하여

$0<|x-c|<\delta_1 $ 이면 $|f(x)-L|<\epsilon $

$-\epsilon <f(x)-L <\epsilon $  $\cdots$ (i)

또, 적당한 $\delta _2$이 존재하여

$0<|x-c|<\delta_2 $ 이면 $|g(x)-L|<\epsilon $

$-\epsilon <g(x)-L <\epsilon $ $\cdots$ (ii)

여기서 $\delta = \min \left\{ \delta_1, ~\delta_2 \right \}$라 두고 $\displaystyle f(x) \leq h(x) \leq g(x)$이므로 양변에 $L$을 빼고 (i), (ii)를 이용하면

$\displaystyle -\epsilon < f(x) -L\leq h(x)-L \leq g(x)-L < \epsilon $

즉,

$\displaystyle -\epsilon <  h(x)-L < \epsilon $

즉, $\displaystyle  |h(x)-L |< \epsilon $

따라서 $0<|x-c| < \delta$ 이면 $\displaystyle  |h(x)-L |< \epsilon $ 이므로

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} h(x)=L(=M)$


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