[입실론-델타논법] 극한의 기본성질 증명(2) [더플러스수학학원]

 
이제 입실론-델타논법으로 극한의 기본성질을 증명하자. 입실론-델타논법에 대하여 궁금하면 다음을 보세요. 
2024.12.15 - [수학과 공부이야기] - [입실론-델타논법] 극한의 기본성질 증명(1) [더플러스수학학원]

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[수학의 기초]샌드위치정리 증명 입실론델타논법 [더플러스수학학원]

먼저 함수의 극한에 대한 엄밀한 정의를 적으면 다음과 같다.

함수의 극한 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$의 정의
임의의 $\epsilon>0$에 대하여 적절한 $\delta=\delta(\epsilon)$가 존재하여
$\textcolor{red}{0}< | x-c|< \delta$       $\Longrightarrow$    $|f(x)-L|<\epsilon$

영어로 쓰면

Definition of Limits $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$
Let $\epsilon>0$ be given, then we can find $\delta=\delta(\epsilon)$ such that
$\textcolor{red}{0}< | x-c|< \delta$       $\Longrightarrow$    $|f(x)-L|<\epsilon$

 
함수의 극한의 기본성질은 다음과 같다.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L,~\lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이라 할 때,
(1) 상수 $k$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} k f(x)=k L$
(2) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left\{f(x) \pm g(x)\right\}=L+M$
(3) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left\{f(x) \ g(x)\right\}=L M$
(4) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac L M$  (단, $M \neq 0$)

(증명) 
(1) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$이므로
(i) $k \neq 0$일 때,
$\displaystyle \epsilon>0$이 주어졌다고 하자.
적당한 $\displaystyle \delta>0$가 존재하여

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta$  이면 $\displaystyle \left| f(x) -L \right| < \textcolor{red}{\boxed{\,\,\,}}\,\, \epsilon$

*여기서 $\displaystyle \textcolor{red} { \boxed{\,\,\,}}$에 들어갈 숫자를 결정해야 한다.

$\displaystyle \left| kf(x) -k L \right| = |k|| f(x)- L | <| k| \times \frac{\epsilon}{|k|} = \epsilon$

따라서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} k f(x)=k L$이다.

위의 꼴을 보면 $\displaystyle   \boxed{\,\,\,} =\textcolor{red}{ \frac{\epsilon}{|k|}}$임을 알 수 있다.

(ii) $k=0$일 때,
$\displaystyle \epsilon>0$이 주어졌다고 하자.  어떤 $\delta>0$를 잡더라도

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta$  이면  $\displaystyle \left| kf(x) -k L \right| =   |0-0 | < \epsilon$

따라서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} k f(x)=k L$이다.

(2) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L,~\lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$라 가정하면

임의의 $\displaystyle \epsilon>0$에 대하여 적당한 $\displaystyle \delta_1 >0$가 존재하여

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta_1$  이면 $\displaystyle \left| f(x) -L \right| < \textcolor{red}{\boxed{\,\,\,}}  \,\, \epsilon$    $\cdots\cdots$ ①

또, 적당한 $\displaystyle \delta_2 >0$가 존재하여

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta_2$  이면 $\displaystyle \left| g(x) -M \right| < \textcolor{red}{\boxed{\,\,\,}}  \,\, \epsilon$  $\cdots\cdots$ ②

*여기서 $\displaystyle\textcolor{red}{   \boxed{\,\,\,}}$에 들어갈 숫자를 결정해야 한다.
여기서 $\textcolor{red}{\delta }= \min \left\{ \delta_1 ,~\delta_2 \right\}$라 두면 $\displaystyle 0< |x-c| <\delta$ 이면 ①, ② 둘 다 만족하므로

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta$이면
$\displaystyle \begin{aligned}  \left| \left\{f(x) +g(x) \right\} -( L+M) \right| &= \left| \left\{f(x) -L\right\}+\left\{g(x) -M\right\}\right| \\&\leq   \left|f(x) -L\right|  + \left|g(x) -M\right|  < \frac{\epsilon}{2}+ \frac{\epsilon}{2}  = \epsilon \end{aligned}$
따라서 ①, ②의 박스 안의 수는 둘 다  $\displaystyle   \boxed{\,\,\,} =\textcolor{red}{ \frac{\epsilon}{2}}$임을 알 수 있다.
물론 첫번째 박스를 $\displaystyle   \boxed{\,\,\,} =\textcolor{red}{ \frac{2\epsilon}{3}}$, 두 번째 박스를 $\displaystyle   \boxed{\,\,\,} =\textcolor{red}{ \frac{1\epsilon}{3}}$로 해서 두 박스의 합이 $\epsilon$이 되면 된다.
 
(3) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L,~\lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$라 가정하자. 여기서 먼저 삼각부등식을 이용하여 변형하면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}  \left| \left\{f(x) g(x) \right\} - LM \right| &= \left| \left\{f(x) -L\right\}g(x) +L\left\{g(x) -M\right\}\right| \\&\leq   \left|f(x) -L\right| \textcolor{red}{\left| g(x) \right|} +\textcolor{blue}{ \left|L \right|} \left|g(x) -M\right|  \end{aligned}$  $\cdots\cdots$ (*)

위에서 붉은 색 부분을 변형하여 $x$의 값과 관계없는 값으로 표현해야 하며 또, 푸른 색 부분에서 $|L|$의 값이 $0$이 될 수 있으니 $|L|+1$로 바꿔 $0$이 안되게 하자.

붉은 색 부분을 변형해 보자. $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이므로 극한의 정의에 의해 $\epsilon=1$일 때도 성립하므로
적당한 $\delta_1>0$이 존재하여

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta_1$이면 $\displaystyle |g(x) -M| <1$

가 성립한다. 또, 이 식을 삼각부등식으로 변형하면

$\displaystyle |g(x)|-|M| \leq  |g(x) -M| <1$

이므로

$\displaystyle |g(x)| <|M| +1$      $\cdots\cdots$ ①

또, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L,~\lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이므로

임의의 $\epsilon>0$에 대하여 적당한 양수 $\delta_2, ~\delta_3$이 존재하여

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta_2$이면 $\displaystyle |f(x) -L| < \textcolor{red}{\boxed{\,\,\,}}  \,\,  \epsilon$    $\cdots\cdots$ ②
$\displaystyle 0< |x-c| <\delta_3$이면 $\displaystyle |g(x) -M| < \textcolor{red}{\boxed{\,\,\,}}  \,\,  \epsilon$    $\cdots\cdots$ ③

①, ②, ③을 이용하여  (*)을 변형해 보자.

여기서 $\textcolor{red}{\delta }= \min \left\{ \delta_1 ,~\delta_2 ,~\delta_3\right\}$라 두면 $\displaystyle 0< |x-c| <\delta$ 이면 ①, ② , ③ 모두 만족하므로 

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta$이면
$\displaystyle \begin{aligned}  \left| \left\{f(x) g(x) \right\} - LM \right| &= \left| \left\{f(x) -L\right\}g(x) +L\left\{g(x) -M\right\}\right| \\&\leq   \left|f(x) -L\right|  \left| g(x) \right|  +  \left|L \right|  \left|g(x) -M\right| \\&\leq\left|f(x) -L\right|  (|M|+1)+(|L|+1)\left|g(x) -M\right| \\&< \frac{\epsilon}{2(|M|+1)}(|M|+1)+(|L|+1) \frac{\epsilon}{2 (|L|+1) } \\&= \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=  {\epsilon}    \end{aligned}$
따라서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left\{f(x) \ g(x)\right\}=L M$이다.

따라서 ②, ③ 의 박스 안의 수는 각각 $\displaystyle   \boxed{\,\,\,} =\textcolor{red}{  \frac{\epsilon}{2(|M|+1)} }$ ,  $\displaystyle   \boxed{\,\,\,} =\textcolor{red}{ \frac{\epsilon}{2(|L|+1)} }$임을 알 수 있다.

(4) (4)를 증명하기 위해 먼저 $0$이 아닌 $M$에 대하여 $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이면 

$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c} \frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}$    $\cdots\cdots$ ①

임을 보이자.

그러면 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}= f(x) \times \frac{1}{g(x)}$로 변형하면 이것과  ①과 (3)을 이용하면 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac L M$ 이 증명된다.

이제 증명하자. $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이므로 $\displaystyle \epsilon=\frac{|M|}{2}$일 때도 성립하므로 적당한 $\delta_1>0$이 존재하여 

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta_1$이면   $\displaystyle | g(x)-M| < \frac{|M|}{2}$

에서 삼각부등식을 적용하면

$\displaystyle |M| =\left|g(x)+ \left\{M-g(x)\right\}\right| \leq |g(x)|+ \left| M-g(x)\right| < |g(x)|+ \frac{|M|}{2}$

$\displaystyle |M|  < |g(x)|+ \frac{|M|}{2}$

$\displaystyle \therefore~| g(x)| >  \frac{|M|}{2}$      $\cdots\cdots$ ②

또, $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c} g(x)=M$이므로
임의의 $\epsilon>0$에 대하여 적당한 $\delta_2>0$이 존재하여 

$\displaystyle 0< |x-c| <\delta_2$이면 $\displaystyle | g(x)-M| < \textcolor{red}{\boxed{\,\,\,}}  \,\, \epsilon$
이제 여기서 $\textcolor{red}{\delta }= \min \left\{ \delta_1 ,~\delta_2 \right\}$라 두면 $\displaystyle 0< |x-c| <\delta$ 이면 ①, ②를 모두 만족하므로 
$\displaystyle \begin{aligned}  \left| \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M} \right| &= \frac{\left| g(x)-M\right|}{|g(x)||M|}\\&< \frac{2}{|M|^2}\left| g(x)-M \right| \\& < \frac{2}{|M|^2} \times \frac{|M|^2} {2} \epsilon =\epsilon \end{aligned}$
$\displaystyle \therefore~  \lim_{x \rightarrow c} \frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}$
* $\displaystyle   \textcolor{red}{\boxed{\,\,\,}}$의 값은 $\displaystyle   \textcolor{red}{ \frac{|M|^2}{2}}$이다.
증명이 다 되었다.



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