[입실론-델타논법] 극한의 기본성질 증명(1) [더플러스수학학원]

울산과고전문 더플러스수학학원입니다.
2024년 12월 울산과고 기말고사가 끝났습니다. 이제 울산과고2학년 학생들은 다음학기 수업내용인 AP_Calculus를 공부해야 한다. 특히 처음 나오는 $\epsilon-\delta$논법에 대한 이해가 절실히 필요한데 매년 학생들은 어려워 하고 있다.
여기에서는 $\epsilon-\delta$으로 함수의 극한을 어떻게 정의되는지 보고 늘 정석이나 교과서에서 극한의 기본성질에 대한 증명은 고등학교 과정을 넘어서므로 그냥 받아 들이자고 한 것은 이제 $\epsilon-\delta$논법으로 증명할 차례이다.
먼저 $\epsilon-\delta$논법으로 함수의 극한을 정의합시다.

함수의 극한 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$의 정의
임의의 $\epsilon>0$에 대하여 적절한 $\delta=\delta(\epsilon)$가 존재하여
$\textcolor{red}{0}< | x-c|< \delta$       $\Longrightarrow$    $|f(x)-L|<\epsilon$

영어로 쓰면

Definition of Limits $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$
Let $\epsilon>0$ be given, then we can find $\delta=\delta(\epsilon)$ such that
$\textcolor{red}{0}< | x-c|< \delta$       $\Longrightarrow$    $|f(x)-L|<\epsilon$

 
여기서 $\delta$를 찾아야 한다. 중요한 것은 $\delta$를 $x$값에 관계없는 $\epsilon$에 대한 식으로 찾아한 한다는 것을 명심해야 한다.
$\delta$를 구하는 방법은 크게 두가지 있다.
(1) 방정식을 푸는 방법
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} (3x+2) = 8$을 증명해보자.
위의 형식적인-formal proof-증명을 적기 전에 먼저 scatch로 $x$와 관계없는 오직 $\epsilon$과 관계된 $\delta$를 찾아보자.
다음 부등식을 먼저 풀자.
$\displaystyle | (3x+2)- 8| < \epsilon$        $\displaystyle |3 ( x-2)| < \epsilon$   
$\displaystyle | x-2| <\frac{ \epsilon}{3}$   
여기서 $\displaystyle \delta=\frac{ \epsilon}{3}$ 로 잡으면 완성되었다.
이제 형식적인 증명을 적자.
임의의 $\epsilon>0$에 대하여 적절한 $\displaystyle\delta= \textcolor{red}{\frac{ \epsilon}{3}}$가 존재하여 
$\textcolor{red}{0}< | x-c|< \delta$       $\Longrightarrow$    $|(3x+2)-8|<\epsilon$

이번엔 일차함수가 아닌 이차함수의 극한을 증명해보자.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} (x^2+2) = 6$
먼저 $\displaystyle | (x^2+2)-6| < \epsilon$       
$\displaystyle |(x+2)( x-2)| < \epsilon$   
여기서 이 부등식을 풀면 $x$는 $2$ 부근이므로 양수이다.
$\displaystyle \sqrt{ 4-\epsilon}< x< \sqrt {4+\epsilon}$   
$\displaystyle  \sqrt{ 4-\epsilon} -2<x-2< \sqrt {4+\epsilon} -2$ 
여기서 $\delta = \min\left\{ 2-\sqrt {4-\epsilon} ,  \sqrt {4+\epsilon} -2 \right\}$ 으로 잡으면 된다.
증명을 완성하면
$\epsilon>0$이 주어져 있다고 하면
$\delta = \textcolor{red} {\min\left\{ 2-\sqrt {4-\epsilon} ,  \sqrt {4+\epsilon} -2 \right\}}$ 를 잡으면
$\textcolor{red}{0}< | x-c|< \delta$       $\Longrightarrow$    $\displaystyle | (x^2+2)-6| < \epsilon$       
이 풀이에서는 이차부등식의 풀이가 쉽게 때문에 어렵지 않게 풀 수 있다. 그런데 이 부등식이 3차, 지수, 삼각함수, 로그함수를 포함한 부등식이면 어떻게 할까? 그 고민의 해결이 다음의 과정이다.
(2) 예를 들어 $\delta=1$로 잡으면서 하는 방법
위의 예에서 본 이차함수의 극한 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} (x^2+2) = 6$으로 시작하자.
이것 역시 처음의 출발은 똑같다.
$\displaystyle | (x^2+2)-6| < \epsilon$           $\cdots\cdots$ (i)
$\displaystyle |(x+2)( x-2)| < \epsilon$
그런데 이식에서 $x-2$는 있어야 한다. 이것을 이용하여 $\delta$를 구해야 하니까. 그런데 $(x+2)$부분을 어떻게 할 것인가가 고민이다.
그래서 우리는 극한을 $x=2$부근에서 함숫값의 움직임을 조사하니까 $|x-2|<1$인 범위에서 함수 $x^2 +2$의 움직임을 조사해도 된다. 즉 $|x-2|<1$의 부등식을 풀면 $1<x<3$이다. 여기서 $x+2$의 범위는 $3<x+2<5$이다.
(i)의 부등식을 다음과 같이 나타내자.
$\displaystyle | (x^2+2)-6|= |(x+2)(x-2)|=|x+2||x-2| <5|x-2|< \epsilon$
$\displaystyle  |x-2|<\frac{ \epsilon}{5}$
여기서 $\displaystyle \delta = \min \left\{1,~\frac{\epsilon}{5}\right\}$로 잡으면
$0< |x-2|< \delta$ 이면  $\displaystyle | (x^2+2)-6| < \epsilon$을 만족한다.
따라서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} (x^2+2) = 6$이다.
여기서 고민은 $\delta$의 값을 $1,~ 0.5,~5$ 등 마음대로 잡아도 되나? 어떻게 잡아야 좋은지이다. $\delta=1$ 로 잡은 이유는 만약 $1$로 잡으면 $1<x<3$으로 간단히 되어  $x+2$의 범위를 편하게 표현할 수 있기 때문이다. 또, 이 범위에서 함수가 정의되기 때문이기도 한다.

다른 문제를 한 번 더 풀어보자. 이번에 무리함수의 극한 문제를 보자.

 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{x-1} = 1$

이 문제 역시 다음 부등식에서 시직한다.
 $\displaystyle  \left|\sqrt{x-1} -1\right|<\epsilon$      $\cdots\cdots$ (ii)
위의 부등식에서 $x-2$라는 인수를 포함하게 변형해야 $\delta$의 값을 결정할 수 있으므로 위의 부등식의 좌변을 분자를
유리화하여 변형하면
 $\displaystyle   \frac{1}{\sqrt{x-1} +1} |x-2  |<\epsilon$
여기서  $\displaystyle   \frac{1}{\sqrt{x-1} +1}$의 범위를 구하기 위해 먼저 $\delta=1$로 두자. 그러면
$|x-2|<1$      $1<x<3$
따라서 이 범위에서 $\displaystyle   \frac{1}{\sqrt{x-1} +1}$의 범위를 구하면 
$\displaystyle   \frac{1}{\sqrt 2 +1}<\frac{1}{\sqrt{x-1} +1} <1$
(ii)에서 
 $\displaystyle  \left|\sqrt{x-1} -1\right| =  \frac{1}{\sqrt{x-1} +1} |x-2  | < 1 |x-2  | <\epsilon$
즉 $\delta_1 =\epsilon$로 잡고 이제 $\delta =\min\left\{1,~\delta_1 \right\}$으로 잡으면 
임의의 $\epsilon>0$에 대하여  $\displaystyle  0<|x-2|<\delta$이면 
$\displaystyle  \left|\sqrt{x-1} -1\right| =  \frac{1}{\sqrt{x-1} +1} |x-2  | < 1 |x-2  | <\epsilon$
이므로  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{x-1} = 1$
그런데 여기서 $|x-2|<2$로 잡으면 안된다. 왜냐하면 $0<x<4$이여서 함수 $\sqrt{x-1}$이 정의될 수 없기 때문이다. 물론 $\delta= \frac{1}{2}$로 잡으면 된다. 그렇지만 $x$의 범위가 분수가 나와 계산이 좀 귀찮아 질 수 있다. 그래서 여러분이 맞게 알아서 잡기를 바란다.
이제까지의 $\epsilon-\delta$논법의 연습을 가지고 극한의 기본성질을 증명하자. 많이 복잡해 보일 것이다. 그러나 왜 그렇게 잡아야 하는 지를 알면 Calculus의 부록에 있는 증명방법을 외우지 않고서도 여러분 스스로 자유롭게 증명할 수 있을 것이다.
 
$\epsilon-\delta$논법에 대하여 알아보자.
$\displaystyle |f(x)-L| < \textcolor{red}{\epsilon} ~~\Longrightarrow ~ \int_a^ b f(x)dx = \lim_{x \rightarrow c } f(x) =L$
다음 편을 기대하세요.

2024.12.20 - [수학과 공부이야기] - [입실론-델타논법] 극한의 기본성질 증명(2)

입실론델타 첫수업영상입니다.
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