[수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(2)

울산 옥동에 있는 울산과고전문 더플러스수학학원입니다. 오늘은 울산과고입학을 위한 자소서에서 수학의 주제로  학생들이 자주 쓰는 세르보어 정리에 대해 알아보자.

특히 학생들이 정확히 이해하지 못하면 엄청난 긴장이 있는 과고면접에서 제대로 말하지 못할 것입니다. 한줄 한줄 정확히 이해하려고 노력합시다.

(정리) 세르보어 정리 (Servoir's Theorem)
삼각형 $\triangle \mathrm {ABC}$에서 선분 $\mathrm{\overline{BC}}$의 중점을 $\mathrm M$이라 하자. 또, 외심을 $\mathrm O$, 수심을 $\mathrm H$라 할 때, 다음 성질을 만족한다.
                                     $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}= 2 \overline{OM}}$

(증명) 다음 그림에서 보듯이 점 $\mathrm C$에서 외심 $\mathrm O$를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 $\mathrm D$라 하자. 또, 점 $\mathrm B$에서 선분 $\mathrm{\overline{AC}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm E$라 하자.

$\mathrm {\overline{CD}}$가 지름이므로 $\mathrm {\angle DBC}=90^{\circ}$이다. 또 점 $\mathrm H$가 수심이므로  $\mathrm {\overline{AH} \bot \overline{BC} }$

$\mathrm {\overline{BD}} //\mathrm {\overline{AH}}$

또, $\mathrm {\overline{CD}}$가 지름이므로 $\mathrm {\angle DAC}=90^{\circ}$이다. 또 점 $\mathrm H$가 수심이므로  $\mathrm {\overline{AE} \bot \overline{AC} }$

$\mathrm {\overline{DA}} //\mathrm {\overline{BH}}$

따라서 $\mathrm { ADBH}$는 평행사변형이므로

$\mathrm {\overline{BD}} =\mathrm {\overline{AH}}$     $\cdots\cdots$ (i)

한편 $\mathrm {\overline{BM}} =\mathrm {\overline{CM}}$, $\mathrm {OC} =\mathrm {OD}$이므로 $\triangle \mathrm { CBD}$에서 중점연결정리에 의해

$\mathrm {\overline{BD}} =2\mathrm {\overline{OM}}$      $\cdots\cdots$ (ii)

$ \therefore~ \mathrm {\overline{OM}}:  \mathrm {\overline{AH}}= 1:2$                                         $\Box$

 

(정리) 오일러 직선 (Euler Line)
삼각형 $\triangle \mathrm {ABC}$에서 외심을 $\mathrm O$, 수심을 $\mathrm H$, 무게중심을
$\mathrm G$라 할 때, 이 세 점 $\mathrm {O,~G,~H}$는 항상 같은 직선 위에 존재하고, 이 직선을 오일러 직선(Euler line)이라고 한다.
또, 이 세 점은 다음의 비례식을 만족한다.

                                     $\displaystyle \mathrm{\overline{OG} :\overline{GH}}=1:2$

이 증명은 위의 세르보어 정리를 사용하면 아주 쉽게 할 수 있다.

(증명) 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$과 $L$의 교점을 $\mathrm G$라 하자.

세르보어 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM} :\overline{AH}}=1:2$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM} //\overline{AH}}$이므로 

$\displaystyle \mathrm{\angle{GOM} =\angle{GHA}}$, $\displaystyle \mathrm{\angle{OMG} =\angle{GAH}}$

이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle{GOM} \sim \triangle{GHA}}$

닮은비는 $1:2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AG} :\overline{GM}}=2:1$이고  $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$이 중선이므로 점 $G$는 $\displaystyle \mathrm{\triangle{ABC}}$의 무게중심이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{ O,~G,~H}$는 같은 직선 위에 있다. 즉, 오일러직선이다.

                                         $\Box$

 

2025.09.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(1)