[더플러스수학] 2005학년도 서울대 심층면접 문제 (정시)

[서울대 2005학년도 정시] 다음 물음에 답하여라.

(1) $ P $가 $ n $차 다항식일 때, 방정식 $ P \left ( x \right ) =0 $의 근의 개수는 $ n $보다 클 수 없음을 증명하시오.

(2) 다항식 $ f _ {1} ,f _ {2} ,f _ {3} , \cdots $가 다음을 만족한다.

(가) $ f _ {1} \left ( x \right ) =x $ (나) $ \frac {d} {dx} f _ {n} \left ( x \right ) =nf _ {n-1} \left ( x \right ) \left ( n=2,3, \cdots \right ) $ (다) $ \int _ {-1} ^ {1} {f _ {n} \left ( x \right ) dx=0 \left ( n=1,2, \cdots \right )} $

$ f _ {2} ,~f _ {3} ,~f _ {4} ,~f _ {5} $를 구해보면 다음과 같다.    

    $ f _ {2} \left ( x \right ) =x ^ {2} - \frac {1} {3} $, $ f _ {3} \left ( x \right ) =x ^ {3} -x $,

    $ f _ {4} \left ( x \right ) =x ^ {4} -2x ^ {2} + \frac {7} {15} $, $ f _ {5} \left ( x \right ) =x ^ {5} - \frac {10} {3} x ^ {3} + \frac {7} {3} x $

(a) $ f _ {6} \left ( x \right ) $ 를 구하시오.

(b) 방정식 $ f _ {n} ( x)=0 $이 서로 다른 $ n $개의 실근을 가지면, $ f _ {n-1} \left ( x \right ) =0 $의 서로 다른 실근의 개수가 정확히 $ n-1 $임을 보이시오.

(c) 방정식 $ f _ {6} \left ( x \right ) =0 $의 서로 다른 실근의 개수가 정확하게 2임을 보이시오.

※ 참고 : $ 7 ^ {4} -5 \cdot 3 \cdot 7 ^ {3} +3 ^ {2} \cdot 7 ^ {3} -3 ^ {2} \cdot 31=64 $

(d) 6 이상인 모든 $ n $에 대해서 방정식 $ f _ {n} \left ( x \right ) =0 $의 서로 다른 실근의 개수는 $ n $보다 작게 됨을 설명하시오.