[더플러스수학] 2008학년도 서울대 수리논술 (정시)

 
https://youtu.be/scf2gzZ2dA4

[서울대 2008학년도 정시] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

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(가) 닫힌구간 $ \left [ a,b \right ] $에서 연속인 함수 $ f $에 대하여 $$ \frac {1} {b-a} \int _ {a} ^ {b} {f \left ( x \right ) dx=f \left ( c \right )} $$ 를 만족하는 $ c $가 $ a $와 $ b $ 사이에 적어도 하나는 존재한다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를 ‘적분에 관한 평균값의 정리’라고 한다. 이것은 닫힌구간 $ \left [ a,~b \right ] $에서 $ f \left ( x \right ) \geq 0 $일 때, 곡선 $ y=f \left ( x \right ) $와 $ x $축 및 두 직선 $ x=a,~x=b $로 둘러싸인 도형의 넓이가 밑변의 길이가 $ b-a $이고 높이가 $ f \left ( c \right ) $인 직사각형의 넓이와 같다는 것을 의미한다.

(나)  1852년 물리학자 맥스월은 기체분자의 속도분포 문제를 해결하였다.
맥스웰-볼츠만의 속도분포는 기체분자의 속도 $ v $의 확률분포함수
$$ P \left ( v \right ) =4 \pi \left ( \frac {M} {2 \pi RT} \right ) ^ { \frac {3} {2} } v ^ {2} e ^ {- \frac {Mv ^ {2} } {2RT} } $$
로 주어진다. 여기서 $ M $은 몰 질량, $ R $은 기체상수, $ T $는 온도이다. 예를 들어 $ 300K $에서 산소분자의 속도분포는 다음과 같다.

이 경우 산소분자의 속도가 $ v _ {1} =590m/s $와 $ v _ {2} =610m/s $ 사이의 값을 가질 확률을 구하기 위해서는 $ \int _ {v _ {1} } ^ {v _ {2} } {P \left ( v \right ) dv} $ 를 계산해야 하는데, 적분에 관한 평균값의 정리에 의해 이 적분값은 근사적으로 $ \left ( v _ {2} -v _ {1} \right ) P \left ( \frac {v _ {1} +v _ {2} } {2} \right ) $와 같다. 과학의 여러 분야에서 나타나는 함수를 작은 구간에서 적분해야 할 필요가 있을 때, 이와 같이 구간 안에서 함수의 적당한 값과 구간의 길이를 곱하여 적분값의 근삿값으로 사용한다.
(다)  적분에 관한 평균값의 정리로부터 도함수 $ f ' $이 닫힌구간 $ \left [ a,b \right ] $에서 연속이면 $$ \frac {f \left ( b \right ) -f \left ( a \right )} {b-a} =f ' \left ( c \right ) $$를 만족하는 $ c $가 $ a $와 $ b $ 사이에 적어도 하나 존재한다는 ‘미분에 관한 평균값의 정리’를 유도할 수 있다.
곡선 $ y=f \left ( x \right ) $ 위의 두 점 $ \mathrm{A} \left ( a,f \left ( a \right ) \right ) $와 $ \mathrm{B} \left ( b,~f \left ( b \right ) \right ) $를 지나는 직선 $ \mathrm{AB} $의 기울기는 $ \frac {f \left ( b \right ) -f \left ( a \right )} {b-a} $이고, $ f ' \left ( c \right ) $는 점 $ \left ( c,~f \left ( c \right ) \right ) $에서 곡선 $ y=f \left ( x \right ) $에 접하는 직선의 기울기이다. 따라서 미분에 관한 평균값의 정리는 곡선 $ y=f \left ( x \right ) $의 접선 중에 직선 $ \mathrm{AB} $와 평행한 것이 적어도 하나 존재한다는 것을 의미한다.

미분에 관한 평균값의 정리는 여러 가지 부등식을 증명하거나 다양한 함수의 근삿값을 구하는 데 이용된다.
(라)
함수 $ f $가 닫힌구간 $ \left [ a,~b \right ] $를 포함하는 열린구간에서 미분가능하고 $ f ' $이 닫힌구간 $ \left [ a,~b \right ] $에서 연속일 때, 곡선 $ y=f \left ( x \right ) $ 위의 점 $ \left ( a,~f \left ( a \right ) \right ) $에서 점 $ \left ( b,~f \left ( b \right ) \right ) $까지의 곡선의 길이는 $$ \int _ {a} ^ {b} \sqrt {1+ \left\{ f ' \left ( x \right ) \right\} ^ {2} } dx $$ 이다.

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[논제 1]
적분에 관한 평균값의 정리를 이용하여 도함수 $ f ' $이 닫힌구간 $ \left [ a,b \right ] $에서 연속이면 $$ \frac {f \left ( b \right ) -f \left ( a \right )} {b-a} =f ' \left ( c \right ) $$를 만족하는 $ c $가 $ a $와 $ b $ 사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 설명하시오.
 
[논제 2]
함수 $ f \left ( x \right ) =x ^ {3} $에 대하여 닫힌구간 $ \left [ 1,~2 \right ] $에서 논제 1의 등식을 만족하는 $ c $의 값을 구하시오.
 
[논제 3]
도함수가 0인 함수에 대하여 알아보자.
[3-1]　열린구간 $ \left ( a,~b \right ) $에 속하는 모든 $ x $에 대하여 $ f ' \left ( x \right ) =0 $이면, $ f $는 열린구간 $ \left ( a,~b \right ) $에서 상수함수가 됨을 설명하시오.
[3-2]　상수함수가 아닌 함수 $$ g \left ( x \right ) = { \begin {cases} 1, & x>0 \\ -1, & x<0\end {cases} } $$에 대하여 $ g ' \left ( x \right ) $를 구하고, 이 결과를 논제 3-1의 내용과 연관시켜 설명하시오.
 
[논제 4]
$ \left ( 1+x \right ) ^ {1/4} $의 근사식을 찾아보려고 한다.
[4-1] $ |x| \leq \frac {1} {2} $ 일 때 부등식 $$ | \left ( 1+x \right ) ^ {1/4} -1| \leq \frac {|x|} {2} $$가 성립함을 설명하시오.
[4-2] $ |x| \leq \frac {1} {2} $ 일 때 부등식 $$ | \left ( 1+x \right ) ^ {1/4} - \left ( 1+ \frac {1} {4} x \right ) | \leq \frac {3} {4} x ^ {2} $$ 이 성립함을 설명하시오.
 
[논제 5] 임의의 실수 $ t $에 대하여 곡선 $ y=x ^ {3} $ 위의 점 $ \left ( t,~t ^ {3} \right ) $에서 점 $ \left ( m \left ( t \right ) , \left\{ m \left ( t \right ) \right\} ^ {3} \right ) $까지 곡선의 길이가 1이 되도록 $ m \left ( t \right ) $가 $ t $의 함수로서 미분가능하다고 할 때, $$ \lim\limits _ {t \rightarrow \infty } {t ^ {3} \left [ 1- \left\{ m ' \left ( t \right ) \right\} ^ {2} \right ]} $$의 값을 구하고 그 과정을 설명하시오.

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