[더플러스수학] 2008학년도 서울대 수리논술 (정시)

 
https://youtu.be/scf2gzZ2dA4

[서울대 2008학년도 정시] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

---

(가) 닫힌구간 $\left [ a,b \right ]$에서 연속인 함수 $f$에 대하여 $$\frac {1} {b-a} \int _ {a} ^ {b} {f \left ( x \right ) dx=f \left ( c \right )}$$  를 만족하는 $c$가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나는 존재한다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를 ‘적분에 관한 평균값의 정리’라고 한다. 이것은 닫힌구간 $\left [ a,~b \right ]$에서 $f \left ( x \right ) \geq 0$일 때, 곡선 $y=f \left ( x \right )$와 $x$축 및 두 직선 $x=a,~x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이가 밑변의 길이가 $b-a$이고 높이가 $f \left ( c \right )$인 직사각형의 넓이와 같다는 것을 의미한다.

(나)  1852년 물리학자 맥스월은 기체분자의 속도분포 문제를 해결하였다.
맥스웰-볼츠만의 속도분포는 기체분자의 속도 $v$의 확률분포함수
$$P \left ( v \right ) =4 \pi \left ( \frac {M} {2 \pi RT} \right ) ^ { \frac {3} {2} } v ^ {2} e ^ {- \frac {Mv ^ {2} } {2RT} }$$
로 주어진다. 여기서 $M$은 몰 질량, $R$은 기체상수, $T$는 온도이다. 예를 들어 $300K$에서 산소분자의 속도분포는 다음과 같다.

이 경우 산소분자의 속도가 $v _ {1} =590m/s$와 $v _ {2} =610m/s$ 사이의 값을 가질 확률을 구하기 위해서는 $\int _ {v _ {1} } ^ {v _ {2} } {P \left ( v \right ) dv}$ 를 계산해야 하는데, 적분에 관한 평균값의 정리에 의해 이 적분값은 근사적으로 $\left ( v _ {2} -v _ {1} \right ) P \left ( \frac {v _ {1} +v _ {2} } {2} \right )$와 같다. 과학의 여러 분야에서 나타나는 함수를 작은 구간에서 적분해야 할 필요가 있을 때, 이와 같이 구간 안에서 함수의 적당한 값과 구간의 길이를 곱하여 적분값의 근삿값으로 사용한다.
(다)  적분에 관한 평균값의 정리로부터 도함수 $f '$이 닫힌구간 $\left [ a,b \right ]$에서 연속이면 $$\frac {f \left ( b \right ) -f \left ( a \right )} {b-a} =f ' \left ( c \right )$$ 를 만족하는 $c$가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다는 ‘미분에 관한 평균값의 정리’를 유도할 수 있다.
곡선 $y=f \left ( x \right )$ 위의 두 점 $\mathrm{A} \left ( a,f \left ( a \right ) \right )$와 $\mathrm{B} \left ( b,~f \left ( b \right ) \right )$를 지나는 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\frac {f \left ( b \right ) -f \left ( a \right )} {b-a}$이고, $f ' \left ( c \right )$는 점 $\left ( c,~f \left ( c \right ) \right )$에서 곡선 $y=f \left ( x \right )$에 접하는 직선의 기울기이다. 따라서 미분에 관한 평균값의 정리는 곡선 $y=f \left ( x \right )$의 접선 중에 직선 $\mathrm{AB}$와 평행한 것이 적어도 하나 존재한다는 것을 의미한다.

미분에 관한 평균값의 정리는 여러 가지 부등식을 증명하거나 다양한 함수의 근삿값을 구하는 데 이용된다.
(라)
함수 $f$가 닫힌구간 $\left [ a,~b \right ]$를 포함하는 열린구간에서 미분가능하고 $f '$이 닫힌구간 $\left [ a,~b \right ]$에서 연속일 때, 곡선 $y=f \left ( x \right )$ 위의 점 $\left ( a,~f \left ( a \right ) \right )$에서 점 $\left ( b,~f \left ( b \right ) \right )$까지의 곡선의 길이는 $$\int _ {a} ^ {b} \sqrt {1+ \left\{ f ' \left ( x \right ) \right\} ^ {2} } dx$$  이다.

---

[논제 1]
적분에 관한 평균값의 정리를 이용하여 도함수 $f '$이 닫힌구간 $\left [ a,b \right ]$에서 연속이면 $$\frac {f \left ( b \right ) -f \left ( a \right )} {b-a} =f ' \left ( c \right )$$ 를 만족하는 $c$가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 설명하시오.
 
[논제 2]
함수 $f \left ( x \right ) =x ^ {3}$에 대하여 닫힌구간 $\left [ 1,~2 \right ]$에서 논제 1의 등식을 만족하는 $c$의 값을 구하시오.
 
[논제 3]
도함수가 0인 함수에 대하여 알아보자.
[3-1]　열린구간 $\left ( a,~b \right )$에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f ' \left ( x \right ) =0$이면, $f$는 열린구간 $\left ( a,~b \right )$에서 상수함수가 됨을 설명하시오.
[3-2]　상수함수가 아닌 함수 $$g \left ( x \right ) = { \begin {cases} 1, & x>0 \\ -1, & x<0\end {cases} }$$ 에 대하여 $g ' \left ( x \right )$를 구하고, 이 결과를 논제 3-1의 내용과 연관시켜 설명하시오.
 
[논제 4]
$\left ( 1+x \right ) ^ {1/4}$의 근사식을 찾아보려고 한다.
[4-1] $|x| \leq \frac {1} {2}$ 일 때 부등식 $$| \left ( 1+x \right ) ^ {1/4} -1| \leq \frac {|x|} {2}$$ 가 성립함을 설명하시오.
[4-2] $|x| \leq \frac {1} {2}$ 일 때 부등식 $$| \left ( 1+x \right ) ^ {1/4} - \left ( 1+ \frac {1} {4} x \right ) | \leq \frac {3} {4} x ^ {2}$$  이 성립함을 설명하시오.
 
[논제 5] 임의의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=x ^ {3}$ 위의 점 $\left ( t,~t ^ {3} \right )$에서 점 $\left ( m \left ( t \right ) , \left\{ m \left ( t \right ) \right\} ^ {3} \right )$까지 곡선의 길이가 1이 되도록 $m \left ( t \right )$가 $t$의 함수로서 미분가능하다고 할 때, $$\lim\limits _ {t \rightarrow \infty } {t ^ {3} \left [ 1- \left\{ m ' \left ( t \right ) \right\} ^ {2} \right ]}$$ 의 값을 구하고 그 과정을 설명하시오.

더플러스수학학원
울산 남구 대공원입구로21번길 45-1 2층
https://naver.me/xIhg4CMX

더플러스수학학원 : 네이버

더플러스수학학원 신정지점
울산 남구 문수로423번길 8 309호
https://naver.me/FTOL1Hgt

더플러스수학학원 신정지점 : 네이버

 
서울대, 카이스트 심층면접, 수리논술 대비, 과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.
http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C
더플러스수학 https://www.youtube.com/@THEPLUSMATH/channels
더플러스수학 블로그 https://plusthemath.tistory.com/
더플러스수학 네이버블로그 https://m.blog.naver.com/plusthemath