[더플러스수학] 2009학년도 서울대 심층면접

[서울대 2009학년도 특기자 자연대]

실수에서 실수로 가는 함수 $ f $는 두 번 미분가능하고, 함수 $ f,~f ' ,~f '' $는 모두 실수에서 연속이다. 이 때 다음 물음에 답하여라.

(1) $$ g ( c)= \frac {2} {h ^ {2} } \int _ {0} ^ {h} {} \int _ {0} ^ {s} {} g ( t)dtds $$

를 만족하는 $ c $가 $ ( 0,h) $에 존재함을 보여라. 단, $ g ( x) $도 연속함수이다.

(2) $$ \frac {f ( x+h)+f ( x-h)-2f ( x)} {h ^ {2} } = \frac {f '' ( x+c)+f '' ( x-c)} {2} $$

인 $ c $가 $ ( 0,h) $에 존재함을 보여라.

(3) $$ \frac {f ( x+h)+f ( x-h)-2f ( x)} {h ^ {2} } =f '' ( x+a) $$인 $ a $가 $ ( -h,~h) $에 존재함을 보여라.

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힌트 (1) 함수 $ g ( x) $가 연속이므로 최대최소정리를 이용, 중간값의 정리를 쓰자.

(2) $ g ( t)= \left\{ f '' ( x+t)+f '' ( x-t) \right\} $로 두자.

(3) (2)를 이용하자.