[더플러스수학] 2005학년도 서울대 구술면접문제

[2005 서울대 구술]

$ x,~a $가 1보다 큰 실수일 때, $ \log _ {a} x $를 다음과 같이 정의할 수도 있다.

$$ \log _ {a} x= \frac { \int _ {1} ^ {x} {} \frac {1} {t} dt} { \int _ {1} ^ {a} {} \frac {1} {t} dt} $$

(1) 부등식

$ 0<\log _ {a} x < \frac {x } { \int _ {1} ^ {a} \frac {1} {t} dt} $

임을 증명하여라.

(2) 앞의 (1)을 이용하여 $$ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {} \frac {\log _ {a} x} {x} =0 $$임을 보여라.

(3) 앞의 (2)를 이용하여 $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \frac {n ^ {2005} } {2 ^ {n} } $$의 값을 구하여라.