2012학년도 아주대 수리논술 예시문제

[2012학년도 아주대 논술 예시문제]

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바퀴에 야광패널이 붙은 자전거가 어둠 속에서 지나가면 이 야광패널이 매우 독특한 곡선을 그리게 된다. 이 곡선을 수학적으로 정의하면 싸이클로이드(cycloid)곡선이 된다. 이 싸클로이드곡선은 직선 위를 미끄러지지 않고 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다.

싸이클로이드곡선을 방정식으로 나타낼 때는 매개변수를 이용한 방정식으로 나타내는 것이 편리하다.

위 그림에서, 원점에서 $ x $-축에 접하고 있는 반지름 $ r $인 원 $ C $가 $ x $-축을 따라 오른쪽으로 굴러 이동하여 점 $ P $에서 접하는 원 $ C ' $이 되었다고 하자, 그리고 원점과 접한 원 위의 점 $ A $는 이 이동으로 인해 접점 $ P $로부터 시계방향으로 $ \theta $만큼 돌아간 $ A ' $의 위치에 오게 되었다고 하자. $ A ' $의 좌표를 $ ( x,~y) $라 하면 이 싸이클로이드곡선의 방정식은 매개변수방정식

$$ x=r ( \theta -\sin ( \theta )) ,~ y=r ( 1-\cos ( \theta )) $$

로 주어진다. 이것은 선분 $ \overline {AP} $와 원호 $ \widehat{A ' P} $의 길이가 같고 $ r \theta $이기 때문에 $ x= \overline {AP} - \overline {A ' H} =r \theta -r\sin ( \theta )=r ( \theta -\sin ( \theta )) $이고 $ y= \overline {C ' P} - \overline {C ' H} =r-r\cos ( \theta )=r ( 1-\cos ( \theta )) $이기 때문이다. 이 방정식에 적절하게 적분을 적용하면, 싸이클로이드 곡선의 길이나 싸이클로이드곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

미적분학이 개발되기 전인 17세기 초반에 로베르발(Roberval)은 카발리에리(Cavalieri)의 원리를 적용하여 싸이클로이드곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했다.

카발리에리의 원리. 이탈리아의 수학자 카발리에리가 발견한 원리로서, 두 입체 $ V _ {1} ,~V _ {2} $를 정해진 한 평면과 평행인 임의의 평면으로 자를 때, $ V _ {1} ,~V _ {2} $의 잘린 부분의 넓이의 비가 항상 $ s~:~t $이면 두 입체 $ V _ {1} ~:~V _ {2} $의 부피의 비도 $ s~:~t $가 된다.

이 카발리에리의 원리는 두 평면도형 $ S _ {1} ,~S _ {2} $와 그 넓이에 대해서도 다음과 같이 성립한다: 정해진 한 직선에 평행인 임의의 직선으로 두 도형 $ S _ {1} ,~S _ {2} $를 자를 때, $ S _ {1} ,~S _ {2} $의 잘린 두 선분의 길이의 비가 항상 $ s~:~t $이면 $ S _ {1} ,~S _ {2} $의 넓이의 비도 $ s~:~t $이다

[문제 1-1] (10점) 반지름이 $ a $인 원 $ C $와 장축과 단축이 각각 $ a $와 $ b $인 타원 $ E $(예컨대, 방정식 $ \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $로 주어지는 타원)에 대해 카발리에리의 원리를 적용하여 타원 $ E $의 넓이를 구하라.

[문제 1-2] (15 점) 원이 한 바퀴 돌아 만들어진 싸이클로이드 곡선은 모두 닮은꼴임을 보여라. (두 곡선 $ S _ {1} $과 $ S _ {2} $가 닮은꼴이라 함은, $ S _ {1} $과 $ S _ {2} $를 적당히 위치시키고 적당한 점 $ O $를 잡으면 점 $ O $에서 시작하는 임의의 반직선이 곡선 $ S _ {1} $, $ S _ {2} $와 각각 만나는 점 $ P,~Q $에 대해 비 $ \overline {OP} : \overline {OQ} $가 일정하게 됨을 뜻한다.)

 

※ 다음 그림을 참조하여 [문제 1-3,4]에 답하라.

위 그림에서, 곡선$ AA ' C $ 는 $ A $에서 접하고 있던 반지름 $ r $인 원이 선분 $ \overline {AB} $ 를 따라 $ B $까지 굴러갈 때 원 위의 점 $ A $가 그린 싸이클로이드 곡선이고, 곡선 $ CC' A $는 $ C $에서 접하고 있던 반지름 $ r $인 원이 선분 $ \overline {CD} $를 따라 $ D $까지 굴러갈 때 원 위의 점 $ C $가 그린 싸이클로이드 곡선이다. 단, $ \overline {AD} $와 $ \overline {BC} $는 이 원들의 지름이고, $ A ' $과 $ C ' $은 그림과 같이 $ P $와 $ Q $에 동시에 접하는 반지름 $ r $인 원 위에 있다.

[문제 1-3] (15점) 선분 $ A ' C' $이 선분 $ AB $에 평행함을 보여라.

[문제 1-4] (10점) 카발리에리의 원리와 [문제 1-3]의 결과를 이용하여 싸이클로이드 곡선$ AA ' C $와 선분 $ AB $ 그리고 원의 지름 $ BC $로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하라.