2012학년도 아주대 수리논술 예시문제

[2012학년도 아주대 논술 예시문제]

---

바퀴에 야광패널이 붙은 자전거가 어둠 속에서 지나가면 이 야광패널이 매우 독특한 곡선을 그리게 된다. 이 곡선을 수학적으로 정의하면 싸이클로이드(cycloid)곡선이 된다. 이 싸클로이드곡선은 직선 위를 미끄러지지 않고 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다.

싸이클로이드곡선을 방정식으로 나타낼 때는 매개변수를 이용한 방정식으로 나타내는 것이 편리하다.

위 그림에서, 원점에서 $x$-축에 접하고 있는 반지름 $r$인 원 $C$가 $x$-축을 따라 오른쪽으로 굴러 이동하여 점 $P$에서 접하는 원 $C '$이 되었다고 하자, 그리고 원점과 접한 원 위의 점 $A$는 이 이동으로 인해 접점 $P$로부터 시계방향으로 $\theta$만큼 돌아간 $A '$의 위치에 오게 되었다고 하자. $A '$의 좌표를 $( x,~y)$라 하면 이 싸이클로이드곡선의 방정식은 매개변수방정식

$$x=r ( \theta -\sin ( \theta )) ,~ y=r ( 1-\cos ( \theta ))$$

로 주어진다. 이것은 선분 $\overline {AP}$와 원호 $\widehat{A ' P}$의 길이가 같고 $r \theta$이기 때문에 $x= \overline {AP} - \overline {A ' H} =r \theta -r\sin ( \theta )=r ( \theta -\sin ( \theta ))$이고 $y= \overline {C ' P} - \overline {C ' H} =r-r\cos ( \theta )=r ( 1-\cos ( \theta ))$이기 때문이다. 이 방정식에 적절하게 적분을 적용하면, 싸이클로이드 곡선의 길이나 싸이클로이드곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

미적분학이 개발되기 전인 17세기 초반에 로베르발(Roberval)은 카발리에리(Cavalieri)의 원리를 적용하여 싸이클로이드곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했다.

카발리에리의 원리. 이탈리아의 수학자 카발리에리가 발견한 원리로서, 두 입체 $V _ {1} ,~V _ {2}$를 정해진 한 평면과 평행인 임의의 평면으로 자를 때, $V _ {1} ,~V _ {2}$의 잘린 부분의 넓이의 비가 항상 $s~:~t$이면 두 입체 $V _ {1} ~:~V _ {2}$의 부피의 비도 $s~:~t$가 된다.

이 카발리에리의 원리는 두 평면도형 $S _ {1} ,~S _ {2}$와 그 넓이에 대해서도 다음과 같이 성립한다: 정해진 한 직선에 평행인 임의의 직선으로 두 도형 $S _ {1} ,~S _ {2}$를 자를 때, $S _ {1} ,~S _ {2}$의 잘린 두 선분의 길이의 비가 항상 $s~:~t$이면 $S _ {1} ,~S _ {2}$의 넓이의 비도 $s~:~t$이다

[문제 1-1] (10점) 반지름이 $a$인 원 $C$와 장축과 단축이 각각 $a$와 $b$인 타원 $E$(예컨대, 방정식 $\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1$로 주어지는 타원)에 대해 카발리에리의 원리를 적용하여 타원 $E$의 넓이를 구하라.

[문제 1-2] (15 점) 원이 한 바퀴 돌아 만들어진 싸이클로이드 곡선은 모두 닮은꼴임을 보여라. (두 곡선 $S _ {1}$과 $S _ {2}$가 닮은꼴이라 함은, $S _ {1}$과 $S _ {2}$를 적당히 위치시키고 적당한 점 $O$를 잡으면 점 $O$에서 시작하는 임의의 반직선이 곡선 $S _ {1}$, $S _ {2}$와 각각 만나는 점 $P,~Q$에 대해 비 $\overline {OP} : \overline {OQ}$가 일정하게 됨을 뜻한다.)

 

※ 다음 그림을 참조하여 [문제 1-3,4]에 답하라.

위 그림에서, 곡선$AA ' C$ 는 $A$에서 접하고 있던 반지름 $r$인 원이 선분 $\overline {AB}$ 를 따라 $B$까지 굴러갈 때 원 위의 점 $A$가 그린 싸이클로이드 곡선이고, 곡선 $CC' A$는 $C$에서 접하고 있던 반지름 $r$인 원이 선분 $\overline {CD}$를 따라 $D$까지 굴러갈 때 원 위의 점 $C$가 그린 싸이클로이드 곡선이다. 단, $\overline {AD}$와 $\overline {BC}$는 이 원들의 지름이고, $A '$과 $C '$은 그림과 같이 $P$와 $Q$에 동시에 접하는 반지름 $r$인 원 위에 있다.

[문제 1-3] (15점) 선분 $A ' C'$이 선분 $AB$에 평행함을 보여라.

[문제 1-4] (10점) 카발리에리의 원리와 [문제 1-3]의 결과를 이용하여 싸이클로이드 곡선$AA ' C$와 선분 $AB$ 그리고 원의 지름 $BC$로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하라.