[더플러스수학] 2011학년도 서강대 수리논술

다음 글을 읽고, 물음에 답하라.

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미분 가능한 두 함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $가 있을 때, 곱의 미분법에 의하면 $ f ( x)g ( x) $의 도함수는 다음과 같이 구해진다.

$$ \frac {d} {dx} \left [ f ( x)g ( x) \right ] =f ( x)g ' ( x)+f ' ( x)g ( x) $$

부정적분의 기호를 사용해서 위 식을 나타내면 다음과 같다.

$$ \int _ {} ^ {} {\left [ f ( x)g ' ( x)+f ' ( x)g ( x) \right ] dx=f ( x)g ( x)} $$ 또는

$$ \int _ {} ^ {} {} f ( x)g ' ( x)dx+ \int _ {} ^ {} {} f ' ( x)g ( x)dx=f ( x)g ( x) $$

위 식을 정리하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \int _ {} ^ {} {} f ( x)g ' ( x)dx=f ( x)g ( x)- \int _ {} ^ {} {} f ' ( x)g ( x)dx $$

이 식을 사용하는 적분법을 부분적분법이라 부른다. 또한 위 식에서 $ u=f ( x) $ 그리고 $ v=g ( x) $ 라 놓으면 $ du=f ' ( x)dx $ 이고 $ dv=g ' ( x)dx $ 이므로, 다음의 간편한 식을 얻게 된다.

$$ \int _ {} ^ {} {udv=uv- \int _ {} ^ {} {vdu} } $$

부분적분법은 많은 경우 피적분함수가 두 함수의 곱으로 이루어진 경우에 적용할 수 있다. 하지만 일반적인 곱의 적분법은 존재하지 않기 때문에 부분적분법을 사용하여 부정적분을 구할 수 있는 경우는 한정되어 있다. $ \int _ {} ^ {} {x\sin xdx} $ 를 예로 살펴보자. $ f ( x)=x $ 그리고 $ g ' ( x)=\sin x $ 로 놓으면 $ f ' ( x)=1,g ( x)=-\cos x $ 이므로 부분적분법에 의하여 아래의 식을 얻을 수 있다.

$$ \int _ {} ^ {} {x\sin xdx} =x ( -\cos x)- \int _ {} ^ {} { ( -\cos x)dx} $$

$$ =-x\cos x+ \int _ {} ^ {} {\cos xdx} =-x\cos x+\sin x+C $$

한편 $ f ( x)=\sin x $ 그리고 $ g ' ( x)=x $ 로 놓고 부분적분법을 사용하면 $ f ' ( x)=\cos x $ 이고 $ g ( x)=x ^ {2} /2 $ 이므로

$$ \int _ {} ^ {} {x\sin xdx} = \frac {x ^ {2} } {2} \sin x- \frac {1} {2} \int _ {} ^ {} {x ^ {2} \cos xdx} $$

를 얻게 되고, 이 식은 부정적분 $ \int _ {} ^ {} {x\sin xdx} $ 을 구하는데 전혀 도움이 되지 않는다. 따라서 부분적분법을 사용해서 부정적분을 구할 수 있는 경우라 하더라도 어느 것을 $ f ( x), $ 어느 것을 $ g ' ( x) $ 로 놓아야 할 것인가를 올바로 판단해야 한다. 일반적으로 피적분함수가 $ x ^ {n} $ 과 $ \sin x $ (또는 $ \cos x $, 또는 $ e ^ {x} $)의 곱일 때에는 $ f ( x)=x ^ {n} $ 그리고 $ g ( x)=\sin x $ (또는 $ g ( x)=\cos x $ 또는 $ g ( x)=e ^ {x} $)라 놓고 부분적분법을 반복 사용한다.

이제 부정적분 $ \int _ {} ^ {} {x\sin ( x ^ {2} )dx} $ 을 살펴보자. 피적분함수 $ x\sin ( x ^ {2} ) $은 $ x $와 $ \sin ( x ^ {2} ) $의 곱으로 표시되어 있지만 부분적분법으로는 $ \int _ {} ^ {} {x\sin ( x ^ {2} )dx} $ 을 구할 수 없다. 반면에 $ u=x ^ {2} $ 으로 치환하면 $ du=2xdx $ 즉 $ xdx= \frac {1} {2} du $ 가 되므로

$$ \int _ {} ^ {} {x\sin ( x ^ {2} )dx} = \frac {1} {2} \int _ {} ^ {} {\sin udu}  =- \frac {1} {2} \cos u+C=- \frac {1} {2} \cos ( x ^ {2} )+C $$

를 얻을 수 있다. 부분적분법을 정적분에 적용하면 다음 식을 얻는다.

$$ \int _ {a} ^ {b} {} f ( x)g ' ( x)dx= \left [ f ( x)g ( x) \right ] _ {a} ^ {b} - \int _ {a} ^ {b} {} f ' ( x)g ( x)dx $$

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【2-1】 함수 $ f ( x) $가 연속인 2계 도함수를 갖고, $ f ( 1)=f ( 2)=5 $ 이고 $ f ' ( 1)=3,f ' ( 2)=2 $ 일 때, $ \int _ {1} ^ {2} {xf '' ( x)dx} $ 의 값을 구하라.

 

【2-2】 $ n $ 이 2 이상의 자연수일 때

$ \int _ {} ^ {} {\sin ^ {n} xdx=- \frac {1} {n} \sin ^ {n-1} } x\cos x+ \frac {n-1} {n} \int _ {} ^ {} {\sin ^ {n-2} xdx} $

임을 설명하고 이를 이용하여 $ \int _ {\pi /2} ^ {\pi } {\sin ^ {2n} xdx} $ 의 값을 구하라.

 

【2-3】 $ a _ {n} = \int _ {\pi /2} ^ {\pi } {\sin ^ {n} xdx} $ 이라 놓을 때

$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {a _ {2n} } {a _ {2n+1} } } =1 $ 

이 성립함을 설명하라.

 

【2-4】 $ f ( x)= \frac {1} {\sqrt {2 \pi } } e ^ {-x ^ {2} /2} $ 가 표준정규분포의 확률밀도함수임을 이용하여, $ k $ 가 자연수일 때

$$ \lim\limits _ {t \rightarrow \infty } { \int _ {0} ^ {t} {x ^ {2k} e ^ {-x ^ {2} /2} dx= \frac { ( 2k)!} {k!2 ^ {k+1} } \sqrt {2 \pi } } } $$ 임을 증명하라. (단, 임의의 자연수 $ n $에 대하여 $ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } { \frac {x ^ {n} } {e ^ {x} } =0} $ 이다.)