[한양대수리논술] 2017 한양대 모의논술 풀이 [더플러스수학]

[문제 1번]

다음 제시된 두 함수 $f ( x)$와 $g ( x)$에 대한 물음에 답하시오. (50점)

$$f ( x)= \frac {1} {2-\sin x} - \frac {1} {2-\cos x} ,~ g ( x)= \frac {2} {4-\sin ^ {2} x} - \frac {2} {4-\cos ^ {2} x}$$

 

1. 모든 실수 $x$에 대해서 $f ( x)=f ( x+ \theta )$를 만족시키는 최솟값 $\theta$를 구하시오.

 

2. 방정식 $f ( x)=g ( x)$을 만족시키는 $x$값을 모두 구하시오.

 

3. 함수 $g ( x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

 

4. 부등식 $$\int _ {0} ^ { \frac {\pi } {4} } {f ( x)dx< \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {4} } {g ( x)dx} }$$ 가 성립함을 설명하시오.

 

 

 

[문제 2번]

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

함수 $f ( x)$는 임의의 실수 $a,~b$에 대하여

$$f ( a+b)= \frac {f ( a)f ( b)} {2017}$$

를 만족한다.

 

1. 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x) \geq 0$임을 보이고, 함수 $f ( x)$가 $x=0$에서 연속이면 모든 실

수 $a$에 대하여 $x=a$에서 연속임을 보이시오.

 

2. 함수 $f ( x)$가 $x=0$에서 미분 가능하면, 모든 실수 $a$에 대하여 $x=a$에서 미분 가능함을

보이시오.

 

[3~4] 함수 $f ( x)$의 역함수 $f ^ {-1} ( x)$가 존재한다.

3. 모든 양의 실수 $a,~b$에 대하여

$$f ^ {-1} \left ( \frac {ab} {2017} \right ) =f ^ {-1} ( a)+f ^ {-1} ( b)$$

임을 보이시오.

 

4. 함수 $f ( x)$가 $x=0$에서 미분 가능하고 $f ' ( 0) \neq 0$이라면, 함수 $f ^ {-1} ( x)$는 모든 양의 실수 $a$에 대하여 $x=a$에서 미분 가능함을 보이시오.

 

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[한양대수리논술] 2017학년도 한양대 모의논술 [더플러스수학]