[한양대수리논술] 2017 한양대 모의논술 풀이 [더플러스수학]

[문제 1번]

다음 제시된 두 함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $에 대한 물음에 답하시오. (50점)

$$ f ( x)= \frac {1} {2-\sin x} - \frac {1} {2-\cos x} ,~ g ( x)= \frac {2} {4-\sin ^ {2} x} - \frac {2} {4-\cos ^ {2} x} $$

 

1. 모든 실수 $ x $에 대해서 $ f ( x)=f ( x+ \theta ) $를 만족시키는 최솟값 $ \theta $를 구하시오.

 

2. 방정식 $ f ( x)=g ( x) $을 만족시키는 $ x $값을 모두 구하시오.

 

3. 함수 $ g ( x) $의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

 

4. 부등식 $$ \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {4} } {f ( x)dx< \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {4} } {g ( x)dx} } $$가 성립함을 설명하시오.

 

 

 

[문제 2번]

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

함수 $ f ( x) $는 임의의 실수 $ a,~b $에 대하여

$$ f ( a+b)= \frac {f ( a)f ( b)} {2017} $$

를 만족한다.

 

1. 모든 실수 $ x $에 대하여 $ f ( x) \geq 0 $임을 보이고, 함수 $ f ( x) $가 $ x=0 $에서 연속이면 모든 실

수 $ a $에 대하여 $ x=a $에서 연속임을 보이시오.

 

2. 함수 $ f ( x) $가 $ x=0 $에서 미분 가능하면, 모든 실수 $ a $에 대하여 $ x=a $에서 미분 가능함을

보이시오.

 

[3~4] 함수 $ f ( x) $의 역함수 $ f ^ {-1} ( x) $가 존재한다.

3. 모든 양의 실수 $ a,~b $에 대하여

$$ f ^ {-1} \left ( \frac {ab} {2017} \right ) =f ^ {-1} ( a)+f ^ {-1} ( b) $$

임을 보이시오.

 

4. 함수 $ f ( x) $가 $ x=0 $에서 미분 가능하고 $ f ' ( 0) \neq 0 $이라면, 함수 $ f ^ {-1} ( x) $는 모든 양의 실수 $ a $에 대하여 $ x=a $에서 미분 가능함을 보이시오.

 

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[한양대수리논술] 2017학년도 한양대 모의논술 [더플러스수학]