[연세대수리논술]2015학년도 연세대 수리논술

연세대 2015학년도 수리논술문제 풀이입니다.

https://tv.kakao.com/v/401942763

 

[연세대수리논술] 2015학년도 연세대 수리논술

다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[가] $C _ {0}$는 좌표평면 위의 원 $x ^ {2} +y ^ {2} =1$이다. [나] $n=1,2,3, \cdots$에 대하여 $C _ {n}$은 다음 조건을 만족하는 원이라고 귀납적으로 정의한다. ① $C _ {n}$은 좌표평면위의 $x>0$인 영역에서 $C _ {n-1}$과 접한다. ② $C _ {n}$은 쌍곡선 $y ^ {2} -x ^ {2} =1$의 $y>0$인 부분과 $y<0$인 부분에서 동시에 접한다. [다] $C _ {n}$의 반지름의 길이는 $r _ {n}$이다.

 

[1-1]

$C _ {1}$의 중심의 좌표와 $C _ {1}$과 쌍곡선 $y ^ {2} -x ^ {2} =1$이 접하는 점의 좌표를 구하시오. [5점]

 

[1-2]

모든 자연수 $n$에 대하여 $r _ {n-1} ,~r _ {n} ,~r _ {n+1}$사이의 관계식으로 수열 $\left\{ r _ {n} \right\}$의 점화식을 구하시오. [10점]

 

[1-3]

모든 자연수 $n$에 대하여 $C _ {n}$의 중심의 $x$좌표와 $C _ {n}$과 쌍곡선 $y ^ {2} -x ^ {2} =1$이 접하는 접점의 $x$좌표는 자연수임을 보이시오. [10점]

 

※ 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[가] 두 벡터 $\overrightarrow {u} = \left ( 0,0,1 \right )$와 $\overrightarrow {v} = \left ( 0,1,0 \right )$가 주어졌을 때, 원점 $\rm O \it \left ( 0,0,0 \right )$을 지나고 벡터 $\overrightarrow {w} = \left ( \cos \alpha \right ) \overrightarrow {u} + \left ( \sin \alpha \right ) \overrightarrow {v}$에 평행한 직선을 직선 $l$이라고 하자. 단, $\alpha$는 $0< \alpha < \frac {\pi } {2}$인 상수이다. [나] 공간위의 임의의 점 $\rm P$에 대하여 $\rm \overrightarrow {OP}$와 $\overrightarrow {w}$가 이루는 각을 $\theta \left ( 0 \leq \theta \leq \pi \right )$라고 하자. 점 $\rm P$를 직선 $l$을 축으로 회전하여 시각 $t$에는 원래 위치로부터 $2 \pi t$만큼 회전이동 한다. 이 때, $\rm P$가 회전이동한 점의 위치 벡터를 $\overrightarrow {r} \left ( t \right )$라고 하자. [다] 집합 $T$를 다음과 같이 정의한다. $$T=\left \{ t \in [0,~1) \left |~ \overrightarrow {r(t)} \bullet \overrightarrow v \leq 0 \right. \right \}$$ 실수 $t$에 좌표평면 위의 점 $\left ( \cos 2 \pi t,~\sin 2 \pi t \right )$를 대응시킬 때, $T$에 해당하는 호의 길이를 $L$이라고 하자.

 

[2-1]

$L=2 \pi$인 점 $\rm P$에 대하여 $\theta$값의 범위를 구하시오. [5점]

 

[2-2]

$\cos L$과 $\theta$의 관계식을 구하시오. ($\alpha$는 $0< \alpha < \frac {\pi } {2}$인 상수) [15점]

 

[2-3]

$\alpha$$= \frac {\pi } {6}$이고 $\rm P$$= \left ( 0,~1,~z \right )$일 때, $z=0$에서 $L$의 $z$에 대한 변화율을 구하시오. [15점]

 

 

 

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