[연세대수리논술]2015학년도 연세대 수리논술

연세대 2015학년도 수리논술문제 풀이입니다.

https://tv.kakao.com/v/401942763

 

[연세대수리논술] 2015학년도 연세대 수리논술

다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[가] $ C _ {0} $는 좌표평면 위의 원 $ x ^ {2} +y ^ {2} =1 $이다. [나] $ n=1,2,3, \cdots $에 대하여 $ C _ {n} $은 다음 조건을 만족하는 원이라고 귀납적으로 정의한다. ① $ C _ {n} $은 좌표평면위의 $ x>0 $인 영역에서 $ C _ {n-1} $과 접한다. ② $ C _ {n} $은 쌍곡선 $ y ^ {2} -x ^ {2} =1 $의 $ y>0 $인 부분과 $ y<0 $인 부분에서 동시에 접한다. [다] $ C _ {n} $의 반지름의 길이는 $ r _ {n} $이다.

 

[1-1]

$ C _ {1} $의 중심의 좌표와 $ C _ {1} $과 쌍곡선 $ y ^ {2} -x ^ {2} =1 $이 접하는 점의 좌표를 구하시오. [5점]

 

[1-2]

모든 자연수 $ n $에 대하여 $ r _ {n-1} ,~r _ {n} ,~r _ {n+1} $사이의 관계식으로 수열 $ \left\{ r _ {n} \right\} $의 점화식을 구하시오. [10점]

 

[1-3]

모든 자연수 $ n $에 대하여 $ C _ {n} $의 중심의 $ x $좌표와 $ C _ {n} $과 쌍곡선 $ y ^ {2} -x ^ {2} =1 $이 접하는 접점의 $ x $좌표는 자연수임을 보이시오. [10점]

 

※ 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[가] 두 벡터 $ \overrightarrow {u} = \left ( 0,0,1 \right ) $와 $ \overrightarrow {v} = \left ( 0,1,0 \right ) $가 주어졌을 때, 원점 $ \rm O \it \left ( 0,0,0 \right ) $을 지나고 벡터 $ \overrightarrow {w} = \left ( \cos \alpha \right ) \overrightarrow {u} + \left ( \sin \alpha \right ) \overrightarrow {v} $에 평행한 직선을 직선 $ l $이라고 하자. 단, $ \alpha $는 $ 0< \alpha < \frac {\pi } {2} $인 상수이다. [나] 공간위의 임의의 점 $ \rm P $에 대하여 $ \rm \overrightarrow {OP} $와 $ \overrightarrow {w} $가 이루는 각을 $ \theta \left ( 0 \leq \theta \leq \pi \right ) $라고 하자. 점 $ \rm P $를 직선 $ l $을 축으로 회전하여 시각 $ t $에는 원래 위치로부터 $ 2 \pi t $만큼 회전이동 한다. 이 때, $ \rm P $가 회전이동한 점의 위치 벡터를 $ \overrightarrow {r} \left ( t \right ) $라고 하자. [다] 집합 $ T $를 다음과 같이 정의한다. $$ T=\left \{ t \in [0,~1) \left |~ \overrightarrow {r(t)} \bullet \overrightarrow v \leq 0 \right. \right \}$$ 실수 $ t $에 좌표평면 위의 점 $ \left ( \cos 2 \pi t,~\sin 2 \pi t \right ) $를 대응시킬 때, $ T $에 해당하는 호의 길이를 $ L $이라고 하자.

 

[2-1]

$ L=2 \pi $인 점 $ \rm P $에 대하여 $ \theta $값의 범위를 구하시오. [5점]

 

[2-2]

$ \cos L $과 $ \theta $의 관계식을 구하시오. ($ \alpha $는 $ 0< \alpha < \frac {\pi } {2} $인 상수) [15점]

 

[2-3]

$ \alpha$$ = \frac {\pi } {6} $이고 $ \rm P$$= \left ( 0,~1,~z \right ) $일 때, $ z=0 $에서 $ L $의 $ z $에 대한 변화율을 구하시오. [15점]

 

 

 

#2015학년도 연세대수리논술#연세대수리논술#2015연세대논술#더플러스수학