[연세대수리논술] 2016학년도 연세대 수리논술

 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 자연수 $ n $에 대하여 집합 $ A _ {n} $을  $$A_n =\left \{ \frac{0}{2^n},~\frac{1}{2^n},~\cdots,~\frac{2^{n}-1}{2^n} \right \}$$ 이라 하자. 【나】 $ A _ {n} $의 임의의 원소 $ x $가 주어졌을 때, $ 0 $ 또는 $ 1 $의 값을 가지는 수열 $ a _ {1} ,~a _ {2} ,~a _ {3} , ~\cdots ,~a _ {n} $이 존재하여 항상 $$ x= \frac {a _ {1} } {2 ^ {1} } + \frac {a _ {2} } {2 ^ {2} } + \frac {a _ {3} } {2 ^ {3} } + \cdots + \frac {a _ {n} } {2 ^ {n} } $$ 으로만 표현되어진다. 이 때, 함수 $ f _ {j} ~:~A _ {n}~ \rightarrow~ \left\{ 0,1 \right\} $을 $ f _ {j} \left ( x \right ) =a _ {j} $로 정의하자. ($ j=1,~2,~3,~ \cdots ,~n $) 【다】 $ A _ {n} $을 정의역으로 가지는 함수 $ g _ {j} $를 $ g _ {j} \left ( x \right ) =2f _ {j} \left ( x \right ) -1 $로 정의한다.

 

문제 1-1

집합 $\left \{ x \in A_n \left| ~f_1  \left( x \right)=1 \right.\right \}$의 원소의 개수를 구하시오. (5점)

 

문제 1-2

$ n=10 $일 때, 집합 $\left \{ x \in A_{10} \left| f_1 (x)+f_2 (x) +\cdots+f_6 (x) \right. \right \}=4$ 의 원소의 개수를 구하시오.(5점)

 

문제 1-3

$ n=3 $일 때, 함수 $ g _ {j} $의 그래프 $ \left \{ \left(x,~g_{j} (x) \right) \left| ~x \in A_3 \right. \right \}$에 대하여 $ j=1,~2 $인 경우의 그래프를 좌표평면 위에 각각 나타내시오.(5점)

 

문제 1-4

$ m $이 $ n $보다 작거나 같은 자연수 일 때, 다음 값을 구하시오.(10점)

$$ \sum\limits _ {k=1} ^ {2 ^ {n} } \left\{ g _ {1} \left ( \frac {k-1} {2 ^ {n} } \right ) +g _ {2} \left ( \frac {k-1} {2 ^ {n} } \right ) + \cdots +g _ {m} \left ( \frac {k-1} {2 ^ {n} } \right ) \right\} ^ {2} $$

 

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 좌표공간에 반구면 $S= \left \{ \left( x,~y,~z\right) \left|~ x^2 +y^2 +z^2 =1,~z \geq 0 \right. \right \}$가 주어졌을 때, $ S $를 $ x $축을 회전축으로 하여 각 $ t $만큼 회전시킨 도형을 $ S _ {t} $라 하자. 【나】 도형 $ \left \{ \left(x,~y,~z \right) \in S_{t} \left| ~z \geq 0 \right. \right \}$의 $ xy $평면 위로의 정사영을 도형 $ R _ {t} $라 하자. 【다】 $ xy $평면 위에서 도형 $ R _ {t} $를 포함하고 각 변이 좌표축에 평행한 직사각형 넓이의 최솟값을 $ f \left ( t \right ) $라 하자. 【라】 $ xy $평면 위에서 도형 $ R _ {t} $에 포함되고 각 변이 좌표축에 평행한 직사각형 넓이의 최댓값을 $ g \left ( t \right ) $라 하자.

 

문제 2-1

$ t= \frac {\pi } {2} $일 때, 도형 $ R _ {t} $의 넓이를 구하시오.(5점)

 

문제 2-2

모든 실수 $ t $에 대해 함수 $ f \left ( t \right ) $를 구하고, 좌표평면 위에 그 그래프를 나타내시오.(10점)

 

문제 2-3

$ 0 \leq t \leq \frac {\pi } {2} $에서 함수 $ g \left ( t \right ) $를 구하시오.(10점)

 

문제 2-4

도형 $ R _ {t} $의 넓이가 $ \frac {\left ( 3- \sqrt {3} \right ) \pi} {6}  $일 때, $ g \left ( t \right ) $의 값을 구하시오.(10점)