[성균관대 수리논술] 2017학년도 성균관대 수리논술 자연1

[수학 1]

다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅱ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

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<제시문1>

함수 $ f ( x) $가 $ x=a $에서 미분가능할 때, 곡선 $ y=f ( x) $ 위의 점 $ \rm P$ $(a,~f ( a)) $에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$ y-f ( a)=f ' ( a) ( x-a) $$

<제시문2>

구간 $ [a,~b] $에서 연속인 두 곡선 $ y=f ( x),~y=g ( x) $와 두 직선 $ x=a,~x=b $로 둘러싸인 도형의 넓이는 $ \int _ {a} ^ {b} {} \left | f ( x)-g ( x) \right | dx $이다.

<제시문3>

실수 전체의 집합 $ R $에 대하여 함수 $ f:R \rightarrow R $를

$$ f(x)= \begin{cases} x^2 &(x \geq 0일~때) \\ -x^3 &(x<0일~때) \end {cases}$$

로 정의할 때, 곡선 $ y=f ( x) $ 위의 점 $ \rm A ( -1,~1) $에서의 접선이 $ y $축과 만나는 점을 $ \rm B $라고 하자. 점 $ \rm B $에서 곡선 $ y=f ( x) $에 그은 접선 중 점 $ \rm A $를 지나지 않는 접선의 접점을 $ \rm C $라 하자.

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[수학 1 -ⅰ] <제시문3>에서 점 $ \rm C $의 좌표를 구하고, 그 이유를 논하시오.

 

 

[수학 1 -ⅱ] <제시문3>에서 삼각형 $ \rm ABC $는 곡선 $ y=f ( x) $에 의해 두 부분으로 나누어진다. 이 중 점 $ \rm P ( 0,~-1) $를 포함하는 부분의 넓이를 구하고, 그 이유를 논하시오.

 

 

 

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[수학 2]

다음 <제시문1> ~ <제시문2>를 읽고 [수학 2 -ⅰ] ~ [수학 2 -ⅱ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

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<제시문1>

첫째항이 $ a $, 공비가 $ r $인 등비수열의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합 $ S _ {n} $은 다음과 같다.

$$S(n)= \begin {cases} \frac{a(r^n -1)}{r-1}&(r \neq 1일 ~때)\\ na &(r=1일~때) \end{cases}$$

<제시문2>

자연수 $ n $에 대하여 아래 그림과 같은 도로망이 있다.

단, 이 도로망 위를 이동할 때 한 번 지나간 지점은 다시 지날 수 없다. 예를 들어, $ n=2 $일 때, $ \rm A _ {1} $지점으로부터 $ \rm B _ {1} $지점까지 가는 방법은 다음과 같이 $ 3 $가지이다.

여기서, 이동 거리는 최단 거리일 필요는 없으며, 출발 지점은 한 번 지나간 지점으로 간주한다.

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[수학 2 -ⅰ] <제시문2>의 도로망에서 $ n=100 $일 때, $ \rm A _ {0} $지점으로부터 $ \rm B _ {100} $지점까지 가는 방법은 몇 가지인지 구하고, 그 이유를 논하시오.

 

 

[수학 2 -ⅱ] <제시문2>의 도로망에서 $ n=100 $일 때, 도로망 위쪽의 $ \rm A _ {0} ,~A _ {1} ,~A _ {2} ,~ \cdots ,~A _ {100} $ 각각의 지점에서 출발하여 $ \rm B _ {2} $지점까지 가는 방법의 수의 총합을 구하고, 그 이유를 논하시오. 예를 들어, $ n=2 $일 때 $ \rm A _ {0} ,~A _ {1} ,~A _ {2} $ 지점 중 하나에서 출발하여 $ \rm B _ {2} $지점까지 가는 방법의 수의 총합은 $ 10 $가지이다.

 

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[2017 성균관대수리논술] 2017학년도 성균관대 수리논술 자연1