고급수학
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[더플러스수학학원] 직선이 평면을 분할하는 개수, 평면이 공간을 분할하는 개수, 원이 평면을, 구가 공간을 분할하는 개수에 대하여 [울산과고기출수학과 공부이야기 2024. 10. 27. 12:02
울산옥동에 있는 울산과고 전문 더플러스수학학원입니다. 이번에는 수열에 관한 #울산과학고 기출문제에 대해 알아보려고 합니다. 직선이 평면을 최대 몇개로 분할하는지? 평면이 공간을 최대 몇개로 분할하는지에 대해 원리를 알아보고, 이것의 응용으로 원이 #평면을 분할하는 개수, 차원을 높여 구가 공간을 몇개로 분할하는지에 대해 알아보고자 합니다.먼저 울산과학고에서 2024년 1학년 2학기 중간고사에 다음과 같은 문제가 나왔습니다.6. 다음을 보고 물음에 답하시오 [총 5점](가) 평면 위의 하나의 원은 평면을 두 개로 분할한다.(나) 공간에서 하나의 구는 공간을 두 개로 분할한다.(1) $\displaystyle n$ 개의 원이 한 평면을 최대로 분할하는 개수를 $\displaystyle a_n$ 이라고 하자...
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[더플러스수학학원] 울산과고2학년 "내신등급 올리기" 프로젝트수학과 공부이야기 2024. 6. 25. 11:43
‘ 울산과학고 2학년 신입생 모집 ’ 대입을 위한 가장 중요한 시기가 왔습니다. 수학 내신 등급! 현재 등급에서 과연 몇 등급 더 올리고 싶으십니까?2학년 2학기가 바로 그 생각을 이루는 기회입니다. 5년전 도입한 THE플러스수학의 문제은행과 십 수년간 촬영해 온 개념강의를 접목하여 과고 3학년 진학 학생들의 2-2 고급수학 및 3-1 AP미적분학 내신 성적향상에 큰 도움이 되었다고 자신있게 말 할 수 있습니다. 학원강의 및 테스트, 학교수업, 학원강의 및 테스트, 학교수업의 무한반복으로 이루어진 이제까지의 학습!빠진게 무엇일까요? "학생들의 자기주도적인 학습"이것은 자기주도적 학습이 가능한, 또 수학공부가 잘 된 학생에게는 맞겠지요? 그렇지만 그런 학생은 소수일 뿐이죠? 이제 학생들! 현실을 인정할 때..
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[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -2수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 20:58
연립일차방정식의 풀이 방법에는 '가우스소거법', '역행렬'과 '크래머 공식' 등이 있다. 우리는 앞에서 수반행렬을 통해 역행렬을 구하는 방법을 보았다. 이것을 이용하여 크래머 공식을 유도하고자 한다. 간단한 연립방정식을 예를 들어 해를 구하고 그 과정에서 크래머 공식이 어떻게 쓰이는지 한 번 보자. \(\displaystyle \begin{cases} x+2y=7 \\ 2x+3y=1\end{cases}\) 이것을 행렬로 나타내면 \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\1\end{pmatrix}\) \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}..
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[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -1수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 16:39
행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 알아보자. 정의1. 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)에서 \(\displaystyle A\)의 각 원소 \(\displaystyle a_{ij}\)의 여인수 \(\displaystyle A_{ij}\)로 이루어진 행렬 \(\displaystyle \left(A_{ij} \right) _{n \times n}\)을 \(\displaystyle A\)의 여인수행렬 이라 한다. 또, \(\displaystyle A\)의 여인수 행렬의 전치행렬을 \(\displaystyle A\)의 수반행렬이라고 하고 \(\displaystyle adj A\)로 나타낸다. 즉, \(\displaystyle adj A = \left(A_..
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[더플러스수학] 고급수학1 det(AB)=det(A)det(B)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 26. 16:11
이 글에서는 \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A,~B\)에 대하여 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)임을 증명해 보도록 하자. 먼저 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬(특이행렬)일 때와 가역행렬일 때로 나누어서 증명한다. 먼저 비가역행렬일 때의 증명에 앞어서 다음의 보조정리를 증명하자. 보조정리1. 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬이면 행렬 \(\displaystyle AB\)도 비가역행렬이다. 주의하자. 행렬식의 성질 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)을 이용하여 위의 보조정리를 증명할 수 있다. 그러나 여기서는 쓰면 안된다. 왜냐하면 \(\displ..
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[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 24. 22:54
2021.08.23 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) 행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다. 다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 plusthemath.tistory.com 앞의 글에서 행렬식의 정의에 대하여 알아 보았다. 여기서는 행렬식의 성질을 고찰해 보자. \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A\)의 행렬식(determinant)는 \(\displaystyle A\)의 임의의 어느 한 행이나 열에 대해 여인수 전개해도 똑같으면 그 전개한 값을 행렬 \(\displaystyle..
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[더플러스수학] 필요충분조건-특이행렬과 고윳값 0수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 21. 15:30
문제의 상황 고급수학 연습문제 중 "행렬 \(\displaystyle A\)가 역행렬을 갖지 않을 필요충분조건은 행렬 \(\displaystyle A\)의 고윳값 중 \(\displaystyle 0\)이 있다." 영어로 "Show that a matrix \(\displaystyle A\) is singular if and only if \(\displaystyle 0\) is an eigenvalue of \(\displaystyle A\)" (증명) \(\displaystyle (\Longleftarrow )\) (증명1) 행렬 \(\displaystyle A\)가 고윳값 \(\displaystyle 0\)을 갖는다고 가정하자. 고윳값의 정의에 의해 \(\displaystyle A \vec x = \..
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[수학의 기초] 기저변환행렬 (2) [더플러스수학]수학과 공부이야기/선형대수학 2020. 9. 17. 20:50
기저변환행렬에 대한 정확한 이해!!! 기저 $\displaystyle \vec p , ~\vec q $의 집합을 $\displaystyle A$, 기저 $\displaystyle \vec {p'} , ~\vec {q'} $의 집합을 $\displaystyle B$라고 할 때, 기저 $\displaystyle A$를 $\displaystyle B$로 바꾸는 행렬 즉 기저변환행렬 $\displaystyle \left[ P \right]_{A}^{B}$은 다음과 같다. 기저 $\displaystyle A$에서의 좌표 $\displaystyle (x,~y)$를 기저 $\displaystyle B$에서의 좌표 $\displaystyle (x',~y') $로 바꾸는 행렬을 의미한다. 앞 글의 독자님의 질문을 예로 ..
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[질문과 답] $z^{10} =\bar{z}$인 실수가 아닌 복소수에 대하여....페이스북_네이버_질문_답변 2020. 6. 10. 17:22
(질문) 실수가 아닌 복소수 $\displaystyle z $에 대하여 $\displaystyle z ^ {10} - \overline {z} =0 $일 때, $\displaystyle 1+z+z ^ {2} + \cdots +z ^ {21} +z ^ {22} $의 값을 구하시오. https://youtu.be/M3PYqdiaf0Q 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 [정답] $\displaystyle 1 $ [풀이] $\displaystyle z ^ {10} = \overline {z} $에서 양변에 $\displaystyle \overline {z} ^ {10} =z $ 를 곱하면 $\displaystyle \left ( z \overline {z} \right ) ^ {10} =z \o..
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[수학의 기초] 기저와 기저변환 행렬수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 11. 11. 16:02
기저와 기저변환행렬이란?선형대수학 또는 고등학교 과정의 기하와 벡터 단원에서 기저(basis)란 용어가 등장한다.중$\cdot$고등과정에서 좌표를 말할 때, 그 속에서는 기저라는 내용이 암묵적으로 들어가 있다. 예를 들어 $\mathrm P(2,~3)$이란 좌표를 말할 때는 다음과정이 진행된다.먼저 원점(Origin)을 먼저 생각하고 원점을 지나는 서로 수직인 두 개의 축을 생각했을 때, 흔히 우리는 $x$축, $y$축을 말한다. $\mathrm P$의 좌표가 $(2,~3)$이란 말은 점 $\mathrm P$에서 $x$축에 내린 수선의 발의 눈금을 읽으면 $2$이고 $y$축에 내린 수선의 발의 눈금이 $3$이란 말이다. 이 눈금을 순서로 읽어서 $(2,~3)$으로 적는다. 여기서 순서로 쌍을 괄로로 묶는..