2019학년도 경희대 수리논술(토) [더플러스수학]

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I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[가] 두 초점 $\rm F ( \it c,~0)$, $\rm F ' ( - \it c,~0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$ ($a>c>0$)인 타원의 방정식은 $\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1$이다. (단, $b ^ {2} =a ^ {2} -c ^ {2}$)

[나] 두 변수 $x,~y$의 함수 관계가 변수 $t$를 매개로 하여

$$x=f ( t),~y=g ( t)$$

와 같이 나타날 때 변수 $t$를 매개변수라 하고, 위 함수를 매개변수로 나타낸 함수라고 한다.

[다] 점 $\left ( x _ {1} ,~y _ {1} \right )$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 $d= \frac {\left | ax _ {1} +by _ {1} +c \right |} {\sqrt {a ^ {2} +b ^ {2} } }$이다.

[라] 삼각함수에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

$\sin ( \alpha + \beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, $\sin ( \alpha - \beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$,

$\cos ( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$, $\cos ( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\tan \left ( \alpha + \beta \right ) = \frac {\tan \alpha +\tan \beta } {1-\tan \alpha \tan \beta }$, $\tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac {\tan \alpha -\tan \beta } {1+\tan \alpha \tan \beta }$

[마] 닫힌 구간 $[a,~b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S ( x)$인 입체도형의 부피 $V ( x)$는 $V= \int _ {a} ^ {b} {S ( x)dx}$이다. (단, $S ( x)$는 구간 $[a,~b]$에서 연속)

[바] 함수 $f ( x)$가 어떤 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 $x$에 대하여

(1) $f ' ( x)>0$이면 $f ( x)$는 그 구간에서 증가한다.

(2) $f ' ( x)<0$이면 $f ( x)$는 그 구간에서 감소한다.

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[논제 I] 제시문 [가]∼[바]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

타원 $\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1$ ($a>b>0$) 위의 점 $\rm A$에서의 접선 $l$에 대하여 다음 질문에 답하시오.(단, $\rm O$는 원점)

[논제 I-1] $a=2,~b=1$이라 하자. 중심이 원점이고 접선 $l$에 접하는 원의 넓이가 $2 \pi$일 때 제 $1$ 사분면에 있는 점 $\rm A$의 좌표를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

[논제 I-2] $0 \leq x \leq \frac {\sqrt {2} } {2} a$일 때, 타원 위의 점 $\rm A ( \it x,~y)$와 점 $\rm A$에서 $x$축에 내린 수선의 발 $\rm A \prime \it ( x,~0)$, 점 $\rm B ( \it -a,~0)$으로 만들어지는 삼각형 $\rm AA \prime B$의 넓이를 $S ( x)$라 하자. 닫힌 구간 $\left [ 0,~ \frac {\sqrt {2} } {2} a \right ]$의 임의의 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S ( x)$인 입체도형의 부피를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-3] $0<t< \frac {\pi } {2}$일 때, 타원 위의 점 $\rm A$$( a\cos t,~b\sin t)$에서의 접선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $\rm C$, $y$축과 만나는 점을 $\rm D$라 하자. 이때, 선분 $\rm CD$의 길이가 최소가 되는 $t$에 대하여 $\sin t$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-4] $0<t< \frac {\pi } {2}$일 때, 타원 위의 점 $\rm A$$( a\cos t,~b\sin t)$를 지나고 접선 $l$과 수직인 직선을 $l '$이라 하자. 직선 $l '$과 선분 $\rm OA$가 이루는 각 중 예각을 $\theta$라 할 때, 다음 질문에 답하시오.

(1) $\tan \theta$를 $t$에 관한 함수로 나타낼 수 있고 이 함수를 $f ( t)$라 하자. $\int _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } {f ( t)dt}$를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) $x=a\cos t$라 두면, $\tan \theta$를 $x$에 관한 함수로 나타낼 수 있고 이 함수를 $g ( x)$라 하자. $\int _ {0} ^ {a} {g ( x)dx}$를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (8점)

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