2019학년도 경희대 수리논술(토) [더플러스수학]

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I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[가] 두 초점 $ \rm F ( \it c,~0) $, $ \rm F ' ( - \it c,~0) $으로부터의 거리의 합이 $ 2a $ ($ a>c>0 $)인 타원의 방정식은 $ \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $이다. (단, $ b ^ {2} =a ^ {2} -c ^ {2} $)

[나] 두 변수 $ x,~y $의 함수 관계가 변수 $ t $를 매개로 하여

$$ x=f ( t),~y=g ( t) $$

와 같이 나타날 때 변수 $ t $를 매개변수라 하고, 위 함수를 매개변수로 나타낸 함수라고 한다.

[다] 점 $ \left ( x _ {1} ,~y _ {1} \right ) $과 직선 $ ax+by+c=0 $ 사이의 거리 $ d $는 $ d= \frac {\left | ax _ {1} +by _ {1} +c \right |} {\sqrt {a ^ {2} +b ^ {2} } } $이다.

[라] 삼각함수에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

$ \sin ( \alpha + \beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta $, $ \sin ( \alpha - \beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta $,

$ \cos ( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta $, $ \cos ( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta $

$ \tan \left ( \alpha + \beta \right ) = \frac {\tan \alpha +\tan \beta } {1-\tan \alpha \tan \beta } $, $ \tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac {\tan \alpha -\tan \beta } {1+\tan \alpha \tan \beta } $

[마] 닫힌 구간 $ [a,~b] $의 임의의 점 $ x $에서 $ x $축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $ S ( x) $인 입체도형의 부피 $ V ( x) $는 $ V= \int _ {a} ^ {b} {S ( x)dx} $이다. (단, $ S ( x) $는 구간 $ [a,~b] $에서 연속)

[바] 함수 $ f ( x) $가 어떤 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 $ x $에 대하여

(1) $ f ' ( x)>0 $이면 $ f ( x) $는 그 구간에서 증가한다.

(2) $ f ' ( x)<0 $이면 $ f ( x) $는 그 구간에서 감소한다.

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[논제 I] 제시문 [가]∼[바]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

타원 $ \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $ ($ a>b>0 $) 위의 점 $ \rm A $에서의 접선 $ l $에 대하여 다음 질문에 답하시오.(단, $ \rm O $는 원점)

[논제 I-1] $ a=2,~b=1 $이라 하자. 중심이 원점이고 접선 $ l $에 접하는 원의 넓이가 $ 2 \pi $일 때 제 $ 1 $ 사분면에 있는 점 $ \rm A $의 좌표를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

[논제 I-2] $ 0 \leq x \leq \frac {\sqrt {2} } {2} a $일 때, 타원 위의 점 $ \rm A ( \it x,~y) $와 점 $ \rm A $에서 $ x $축에 내린 수선의 발 $ \rm A \prime \it ( x,~0) $, 점 $ \rm B ( \it -a,~0) $으로 만들어지는 삼각형 $ \rm AA \prime B $의 넓이를 $ S ( x) $라 하자. 닫힌 구간 $ \left [ 0,~ \frac {\sqrt {2} } {2} a \right ] $의 임의의 $ x $에서 $ x $축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $ S ( x) $인 입체도형의 부피를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-3] $ 0<t< \frac {\pi } {2} $일 때, 타원 위의 점 $ \rm A $$ ( a\cos t,~b\sin t) $에서의 접선 $ l $이 $ x $축과 만나는 점을 $ \rm C $, $ y $축과 만나는 점을 $ \rm D $라 하자. 이때, 선분 $ \rm CD $의 길이가 최소가 되는 $ t $에 대하여 $ \sin t $의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-4] $ 0<t< \frac {\pi } {2} $일 때, 타원 위의 점 $ \rm A $$ ( a\cos t,~b\sin t) $를 지나고 접선 $ l $과 수직인 직선을 $ l ' $이라 하자. 직선 $ l ' $과 선분 $ \rm OA $가 이루는 각 중 예각을 $ \theta $라 할 때, 다음 질문에 답하시오.

(1) $ \tan \theta $를 $ t $에 관한 함수로 나타낼 수 있고 이 함수를 $ f ( t) $라 하자. $ \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } {f ( t)dt} $를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) $ x=a\cos t $라 두면, $ \tan \theta $를 $ x $에 관한 함수로 나타낼 수 있고 이 함수를 $ g ( x) $라 하자. $ \int _ {0} ^ {a} {g ( x)dx} $를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (8점)

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