[시립대수리논술] 2018학년도 시립대 모의논술

 

https://tv.kakao.com/v/402301572

[문제 1] (100점)

좌표평면에서 점 $\rm A ( -2,0)$을 지나는 직선이 원 $( x-1) ^ {2} +y ^ {2} =1$과 제1사분면의 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점 중에서 점 $\rm A$에 가까운 점을 $\rm P$라 하자. $\angle \rm PAO= \theta$라 할 때, $\lim\limits _ {\theta \rightarrow 0 ^ {+} } { \frac {\overline {\rm AP \it } -2} {\theta ^ {2} } }$의 값을 구하여라. (단, $\rm O$는 원점이다.)

 

[문제 2] (100점)

한 변의 길이가 $6$인 정사각형 $\rm ABCD$를 밑면으로 하고 높이가 $3$인 사각뿔 $\rm V-ABCD$에서 밑면의 중심을 $\rm O$라 하고, 삼각형 $\rm VAB$, $\rm VBC$의 무게중심을 각각 $\rm P$, $\rm Q$라 하자. 꼭짓점 $\rm V$의 밑면 위로의 정사영이 선분 $\rm AC$에 있다고 할 때, $\cos ( \angle \rm POQ)$의 최솟값을 구하여라.

 

[문제 3] (총 100점)

흰 공과 빨간 공이 각각 $1$개씩 들어 있는 주머니가 있다. 세 명의 학생 A, B, C가 A, B, C 순서로 주머니에서 $1$개의 공을 임의로 꺼내고, 공을 꺼낼 때마다 바로 공 $1$개를 다시 채워 넣는다. 이때 A, B, C가 채워 넣는 공이 빨간색일 확률은 $p$이고, 흰색일 확률은 $1-p$이다.

(a) B가 공을 채워 넣은 후 주머니에 흰 공과 빨간 공이 각각 1개일 확률을 구하여라. (50점)

(b) C가 꺼낸 공이 빨간 공일 확률을 구하여라. (50점)

 

 

[문제 4] (총 100점)

자연수 $n$과 세 함수

$$f ( x)=x2 ^ {x}$$ $$g ( x)=x-[x]$$ $$h ( x)= { \begin {cases} \frac {x} {n} ( x \geq 0)\\-x ( x<0)\end {cases} }$$

에 대하여, 합성함수 $y=g \circ f ( x)$의 그래프와 함수 $y=h ( x)$의 그래프와의 교점의 개수를 $a _ {n}$이라 하자. (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다.)

 

(a) 필요하면 $\lim\limits _ {x \rightarrow - \infty } {} x2 ^ {x} =0$을 이용해서, 함수 $y=f ( x)$의 그래프의 개형을 그려라. (40점)

(b) $$\sum\limits _ {k=1} ^ {n} \frac {a _ {k+1} ^ {2} } {a _ {k} a _ {k+2} }$$ 을 구하여라. (60점)