[시립대수리논술] 2018학년도 시립대 모의논술

 

https://tv.kakao.com/v/402301572

[문제 1] (100점)

좌표평면에서 점 $ \rm A ( -2,0) $을 지나는 직선이 원 $ ( x-1) ^ {2} +y ^ {2} =1 $과 제1사분면의 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점 중에서 점 $ \rm A $에 가까운 점을 $ \rm P $라 하자. $ \angle \rm PAO= \theta $라 할 때, $ \lim\limits _ {\theta \rightarrow 0 ^ {+} } { \frac {\overline {\rm AP \it } -2} {\theta ^ {2} } } $의 값을 구하여라. (단, $ \rm O $는 원점이다.)

 

[문제 2] (100점)

한 변의 길이가 $ 6 $인 정사각형 $ \rm ABCD $를 밑면으로 하고 높이가 $ 3 $인 사각뿔 $ \rm V-ABCD $에서 밑면의 중심을 $ \rm O $라 하고, 삼각형 $ \rm VAB $, $ \rm VBC $의 무게중심을 각각 $ \rm P $, $ \rm Q $라 하자. 꼭짓점 $ \rm V $의 밑면 위로의 정사영이 선분 $ \rm AC $에 있다고 할 때, $ \cos ( \angle \rm POQ) $의 최솟값을 구하여라.

 

[문제 3] (총 100점)

흰 공과 빨간 공이 각각 $ 1 $개씩 들어 있는 주머니가 있다. 세 명의 학생 A, B, C가 A, B, C 순서로 주머니에서 $ 1 $개의 공을 임의로 꺼내고, 공을 꺼낼 때마다 바로 공 $ 1 $개를 다시 채워 넣는다. 이때 A, B, C가 채워 넣는 공이 빨간색일 확률은 $ p $이고, 흰색일 확률은 $ 1-p $이다.

(a) B가 공을 채워 넣은 후 주머니에 흰 공과 빨간 공이 각각 1개일 확률을 구하여라. (50점)

(b) C가 꺼낸 공이 빨간 공일 확률을 구하여라. (50점)

 

 

[문제 4] (총 100점)

자연수 $ n $과 세 함수

$$ f ( x)=x2 ^ {x}$$ $$ g ( x)=x-[x]$$ $$h ( x)= { \begin {cases} \frac {x} {n} ( x \geq 0)\\-x ( x<0)\end {cases} } $$

에 대하여, 합성함수 $ y=g \circ f ( x) $의 그래프와 함수 $ y=h ( x) $의 그래프와의 교점의 개수를 $ a _ {n} $이라 하자. (단, $ [x] $는 $ x $를 넘지 않는 최대 정수이다.)

 

(a) 필요하면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow - \infty } {} x2 ^ {x} =0 $을 이용해서, 함수 $ y=f ( x) $의 그래프의 개형을 그려라. (40점)

(b) $$ \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \frac {a _ {k+1} ^ {2} } {a _ {k} a _ {k+2} } $$을 구하여라. (60점)