[연세대수리논술] 2011학년도 연세대 수리논술

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[연세대수리논술] 2011학년도 연세대 수리논술

<문제 1> 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

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[가] 단위원 $ x ^ {2} +y ^ {2} =1 $위를 점 $ \rm A ( 1,~0) $에서에서 출발하여 시계 반대 방향으로 움직이는 점 $ \rm P $의 시각 $ t $에서의 좌표를 $ ( x ( t),~y ( t)) $라고 하자. 타원 $ x ^ {2} +k ^ {2} y ^ {2} =1 $ (단, $ k>1 $인 실수)은 두 점 $ ( 1,~0),~ ( -1,~0) $에서 단위원에 접한다. 점 $ \rm P $에서 $ x $축으로 내린 수선이 타원과 처음 만나는 점을 $ Q $라고 하자.

 

[나] 점 $ \rm P $와 원점 $ \rm O $를 이은 선분이 타원과 만나는 점을 $ \rm R $이라고 하자. 선분 $ \rm OA $와 선분 $ \rm OP $가 이루는 각을 $ \theta $, 선분 $ \rm OA $와 선분 $ \rm OQ $가 이루는 각을 $ \alpha $라고 하자. 선분 $ \rm PQ $, 선분 $ \rm PR $과 타원의 호 $ \rm RQ $로 둘러싸인 도형의 넓이를 $ f $, 선분 $ \rm OQ $, 선분 $ \rm OR $과 타원의 호 $ \rm RQ $로 둘러싸인 도형 $ \rm OQR $의 넓이를 $ g $라 하자.

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<1-1> 점 $ \rm P$ $( x ( t),~y ( t)) $가 단위원 위의 점 $ \rm A ( 1,~0) $에서 출발하여 시계 반대 방향으로 시각 $ t $에 따라 일정한 속도로 돌고 있다. 선분 $ \rm OA $ 선분 $ \rm OQ $와 타원의 호 $ \rm AQ $로 둘러싸인 도형 $ \rm OAQ $의 넓이를 $ S ( t) $라고 하자. $ S ( t) $의 시간에 대한 변화율 $ \frac {dS} {dt} $가 상수임을 논리적으로 설명하시오. (15점)

 

<1-2> 각 $ \alpha $의 시간에 대한 변화율 $ \frac {d \alpha } {dt} $가 각 $ \theta $의 시각에 대한 변화율 $ \frac {d \theta } {dt} $와 같아지는 $ \theta $가 구간 $ 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } {2} $에서 적어도 하나 존재함을 논하고, 또한 이 때 $ \alpha $와 $ \theta $사이의 관계식을 구하시오.

또한 극한값 $$ \lim\limits _ {\theta \rightarrow \frac {\pi } {2} -0} { \frac { \frac {\pi } {2} - \theta } { \frac {\pi } {2} - \alpha } } $$를 구하시오.(20점)

 

<1-3> 극한값 $$ \lim\limits _ {\theta \rightarrow \frac {\pi } {2} -0} { \frac {f} {g} } $$를 구하시오. (25점)