[연세대수리논술] 2011학년도 연세대 수리논술

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[연세대수리논술] 2011학년도 연세대 수리논술

<문제 1> 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

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[가] 단위원 $x ^ {2} +y ^ {2} =1$위를 점 $\rm A ( 1,~0)$에서에서 출발하여 시계 반대 방향으로 움직이는 점 $\rm P$의 시각 $t$에서의 좌표를 $( x ( t),~y ( t))$라고 하자. 타원 $x ^ {2} +k ^ {2} y ^ {2} =1$ (단, $k>1$인 실수)은 두 점 $( 1,~0),~ ( -1,~0)$에서 단위원에 접한다. 점 $\rm P$에서 $x$축으로 내린 수선이 타원과 처음 만나는 점을 $Q$라고 하자.

 

[나] 점 $\rm P$와 원점 $\rm O$를 이은 선분이 타원과 만나는 점을 $\rm R$이라고 하자. 선분 $\rm OA$와 선분 $\rm OP$가 이루는 각을 $\theta$, 선분 $\rm OA$와 선분 $\rm OQ$가 이루는 각을 $\alpha$라고 하자. 선분 $\rm PQ$, 선분 $\rm PR$과 타원의 호 $\rm RQ$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $f$, 선분 $\rm OQ$, 선분 $\rm OR$과 타원의 호 $\rm RQ$로 둘러싸인 도형 $\rm OQR$의 넓이를 $g$라 하자.

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<1-1> 점 $\rm P$ $( x ( t),~y ( t))$가 단위원 위의 점 $\rm A ( 1,~0)$에서 출발하여 시계 반대 방향으로 시각 $t$에 따라 일정한 속도로 돌고 있다. 선분 $\rm OA$ 선분 $\rm OQ$와 타원의 호 $\rm AQ$로 둘러싸인 도형 $\rm OAQ$의 넓이를 $S ( t)$라고 하자. $S ( t)$의 시간에 대한 변화율 $\frac {dS} {dt}$가 상수임을 논리적으로 설명하시오. (15점)

 

<1-2> 각 $\alpha$의 시간에 대한 변화율 $\frac {d \alpha } {dt}$가 각 $\theta$의 시각에 대한 변화율 $\frac {d \theta } {dt}$와 같아지는 $\theta$가 구간 $0 \leq \theta \leq \frac {\pi } {2}$에서 적어도 하나 존재함을 논하고, 또한 이 때 $\alpha$와 $\theta$사이의 관계식을 구하시오.

또한 극한값 $$\lim\limits _ {\theta \rightarrow \frac {\pi } {2} -0} { \frac { \frac {\pi } {2} - \theta } { \frac {\pi } {2} - \alpha } }$$ 를 구하시오.(20점)

 

<1-3> 극한값 $$\lim\limits _ {\theta \rightarrow \frac {\pi } {2} -0} { \frac {f} {g} }$$ 를 구하시오. (25점)