[연세대수리논술] 2017학년도 연세대 수리논술

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[연세대수리논술] 2017학년도 연세대 수리논술

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

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[가] 다항함수 $ h ( x) $의 그래프 위의 점 $ ( a,~h ( a)) $에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$ y=h ' ( a) ( x-a)+h ( a) $$

[나] 다항함수 $ h ( x) $가

$ h ( x)= ( x-a) ^ {n} g ( x) $ (단, $ n $은 자연수이고, $ g ( x) $는 다항함수이다.)

로 나타내어질 때, 방정식 $ h ( x)=0 $은 $ x=a $를 근으로 갖는다고 한다.

특히, $ n \geq 2 $이면 방정식 $ h ( x)=0 $은$ x=a $에서 중근을 갖는다고 한다.

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[1-1] 곡선 $ y=x ^ {3} +1 $ 위의 점 $ ( 1,~2) $에서의 접선의 방정식을 구하시오. [4점]

 

[1-2] 다항함수 $ f ( x) $의 그래프 위의 점 $ ( a,~f ( a)) $에서의 접선의 방정식을 $ y=L ( x) $라 할 때, 방정식 $ f ( x)-L ( x)=0 $이 $ x=a $에서 중근을 가짐을 보이시오. [8점]

 

[1-3] 다항함수 $ f ( x) $의 그래프 위의 점 $ ( a,~f ( a)) $를 지나는 직선을 $ y=l ( x) $라 하자. 방정식 $ f ( x)-l ( x)=0 $이 $ x=a $에서 중근을 가질 때, 직선 $ y=l ( x) $는 곡선 $ y=f ( x) $ 위의 점 $ ( a,~f ( a)) $에서의 접선임을 보이시오. [8점]

 

 

[제시문 2]

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[가] 좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $ 1 $인 원 $ C $ 위의 점 $ ( \cos \theta ,~\sin \theta ) $에서의 접선을 $ l _ {\theta } $ 라 할 때, 집합 $ A $를 $ A= \left\{~ l _ {\theta } ~|~0 \leq \theta <2 \pi \right\} $라 하자.

[나] 좌표평면 위의 점 $ \rm P $가 집합 $ A $의 원소 중 오직 $ m $개의 원소와 만나도록 하는 점 $ \rm P $의 집합을 $ U _ {m} $이라 하자. 예를 들어, 집합 $ U _ {0} $ 은 집합 $ A $의 어떤 원소와도 만나지 않는 점의 집합이다. (단, $ m $은 음이 아닌 정수이다.)

[다] 좌표평면 위의 점 $ ( a,~b) $가 집합 $ U _ {2} $의 원소일 때, 점 $ ( a,~b) $를 지나는 원 $ C $위의 서로 다른 두 접선의 접점을 이은 직선을 $ L ( a,~b) $라 하자.

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[2-1] 음이 아닌 정수 $ m $에 대하여 집합 $ U _ {m} $을 구하시오. [10점]

 

[2-2] 집합 $ B $를 $$B= \left\{~ L ( a,~b)~|~a ^ {2} +b ^ {2} =10 ^ {2} ,~ ( a,~b) \in U _ {2} ~\right\} $$ 라 하자. 좌표평면 위의 점 $ \rm P $가 집합 $ B $의 원소 중 오직 $ m $개의 원소와 만나도록 하는 점 $ \rm P $의 집합 $ V _ {m} $을 구하시오. (단, $ m $은 음이 아닌 정수이다.) [10점]

 

 

[제시문 3]

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세 함수 $ p ( x),~q ( x),~r ( x) $가 모든 실수 $ x $에 대하여 $ p ( x) \leq q ( x) \leq r ( x) $이고, $ \lim\limits _ {x \rightarrow a} {p ( x)= \lim\limits _ {x \rightarrow a} {r ( x)= \alpha } } $이면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow a} {q ( x)= \alpha } $이다. (단, $ \alpha $는 실수이다.)

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[3-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $ f ( x) $가 $ f ( 1)=k $이고,

$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {f \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) =f ( 0)} $$을 만족시킨다. 모든 자연수 $ n $에 대하여

$$ f \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) = \left ( 1- \frac {1} { ( n+1) ^ {2} } \right ) \cdot f \left ( \frac {1} {2 ^ {n-1} } \right ) $$

일 때, $ f ( 0) $의 값을 구하시오.(단, $ k $는 상수이다.) [8점]

 

[3-2] 모든 실수 $ x $에 대하여 $ g ( x) \geq 0 $인 함수 $ g ( x) $가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $ x $에 대하여 $ x _ {1} <x _ {2} $이면 $ g ( x _ {1} )<g ( x _ {2} ) $이다.

(나) 모든 자연수 $ n $에 대하여 $$ g \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) \leq \frac {n} {2 ( n+1)} \cdot g \left ( \frac {1} {2 ^ {n-1} } \right ) $$이다.

 

[3-2-1] $ g ( 0) $의 값을 구하시오. [4점]

[3-2-2] $$ \lim\limits _ {m \rightarrow \infty } { \frac {g \left ( \frac {1} {m} \right ) -g ( 0)} { \frac {1} {m} } } $$의 값을 구하시오. (단, $ m $은 자연수이다.) [8점]